数学建模轧钢问题

轧钢问题
轧钢厂所做的工作是将粗大的钢胚变成合格的钢材(钢筋，板材等)，其过程一般分为粗轧（热轧）和精轧两道工序，第一道工序粗轧就是将钢坯轧成钢材的雏形，再经过精轧工序，将其轧成合格的钢材。

粗轧是将一长、宽、高分别为l0、b0、h0的钢坯轧成要求的l(>l0）、b(<b0)、h(<h0)钢材雏形。

要得到这种目标不可能一次轧成，要经过多次的翻轧，
对宽度的延伸有如下经验公式：
其中为钢坯轧前与轧后的高度差，称为压下，其是可
控的，通过调整轧机而得到；R为轧辊的半径；b为轧前钢
坯的宽度；就是轧后宽度的延伸量。

单位为毫米（mm）。

现场粗轧过程如下：
先将钢坯扎过去，再反向倒着轧回来；然后翻钢，即：将钢坯翻一个侧面，将高变为宽，
宽为高，再来回轧一遍；接着再翻钢，再来回轧一遍；再翻钢，轧过去，进入下一道工序。

这样整个粗轧过程中钢坯被轧了7次，每次我们都要调整轧机的压下，使得最终的产品达到
合格的要求。

由于轧机功率的限制，每次轧机的压下不能太大，有一个上限。

所谓的合格产
品是指最终的产品高和宽误差在0.5%之内。

每次轧制轧机所用的能量与所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下成正
比。

厂方希望知道每次轧制轧机的压下是多少时，生产出的产品为合格产品且使用的能量最
小。

试为该问题建立数学模型，并根据下列数据计算你的结果。

原始钢坯：长l0 = 5000mm，宽b0 = 488mm，高h0 = 326mm；最终产品：宽b7 = 235mm，高h7 = 215mm；轧辊半径：R = 405mm；每次压下最多不能超过90mm。

（注：这里的宽和高只用来方便说明问题，所以开始轧制时并非一定以326mm作为高）。