【精选】北师大版数学八年级上册 分式解答题单元测试卷(解析版)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．已知下面一列等式：
111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545
⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)
x x x x ++++++. 【答案】（1）一般性等式为
111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x
+. 【解析】
【分析】
（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
【详解】
解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545
⨯=-；…， 知它的一般性等式为111=(+11
n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1
n n n n ==⋅++， ∴原式成立； （3）
11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =
-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114
x x =-+ 244x x
=
+. 【点睛】 解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
2．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为
4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．
①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为
3分；②
1000(1)m mn
-． 【解析】
【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.
【详解】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220
x +． 解得：x ＝80．
经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．
∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．
（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009
y =. 经检验，10009y =
是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39
÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11
n mn n m m +=--分钟，
小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷
=-分． 故答案为：
1000(1)m mn
-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
3．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求2
41
x x +的值。

解：由2112x x =+知x ≠0，所以2112,2x x x x
+=+=即 ∴2
422221112222x x x x x x +⎛⎫=+=+-=-= ⎪⎝⎭，故241x x +的值为12 评注：该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目 已知2117x x x =-+，求2
421
x x x ++的值。

【答案】
163
． 【解析】
【分析】 首先根据解答例题可得21x x x -+=7，进而可得x +1x =8，再求2
421
x x x ++的倒数的值，进而可得答案．
【详解】 ∵21x x x -+=17，∴21x x x
-+=7，x +1x =8． ∵4221x x x ++=x 2+21x +1=（x +1x ）2﹣2+1=82﹣1=63，∴2
421x x x ++=163
． 【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答．
4．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与()212v v v ＜。

甲前一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间用速度1v ，另一
半的时间用速度2v 。

（1）甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为v v 甲乙、；则
=v 甲___________,=v 乙____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B 地？为什么？
【答案】（1）12121222
v v v v v v ++；；（2）乙先到达B 地． 【解析】
【分析】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V 甲；
先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V 乙
； （2）看甲、乙两人谁先到达B 地，因为路程一定，比较V 甲，V 乙的大小即可．
【详解】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
v 甲=12121221122
v v s
v v s s v v =++，v 乙=1212222
v a v a v v a ++=． （2）v 乙﹣v 甲=122v v +－1212
2v v v v +=21212()2()v v v v -+ ∵0＜v 1＜v 2，∴v 乙﹣v 甲＞0，乙先到B 地．
【点睛】
本题重点考查了列代数式和分式的混合运算，是一道难度中等的题目．
5．在计算23224
x x x x +-++-的过程中，三位同学给出了不同的方法： 甲同学的解法：原式=222222(3)(2)26284444
x x x x x x x x x x x +--+-----==----； 乙同学的解法：原式=3231312(2)(2)222
x x x x x x x x x x +-++--=-=++-+++=1； 丙同学的解法：原式=（x+3）（x ﹣2）+2﹣x=x 2+x ﹣6+2﹣x=x 2﹣4．
（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x 取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.
【解析】 试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案； （2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x 值无关，但是要注意所选取的x 不能使分式无意义.
试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的； 故答案为：丙，乙； （2）不合理， 理由：∵当x≠±2时，
22232(3)(2)22444x x x x x x x x x +-+--+=-+---=222262444
x x x x x x +--+-=--=1， ∴乙同学的话不合理，
6．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是a b （a 、b 均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得a m b m
++，则两个分数的大小关系是
a m
b m ++_____a b . （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
【答案】(1) 12；14；16；18；19；23；25；27；29；15
；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；
（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的
现象进行解答. 【详解】 解：（1）12、14、16、18、19，23、25、27、29、15；（2）a m a b m b
+>+； （3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数； （4）思路1：如图2所示，
由a b <，得12s s s s +>+，即ab bm ab am +>+，()().a b m b a m +=+，可推出a m a b m b
+>+； 思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
1a b a b b --=，1a m b a b m b m
+--=++，
因为a 、b 、0m >，且a b <，
故1a b - 1a m b m +>-+，即a m a b m b
+>+ （5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若a b
是假分数，会有怎样的结论？ ②a 、b 不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点睛】
本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1
3
后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的
13
时，已修建道路多少米？ （2）求原计划每小时修建道路多少米？ 【答案】（1）已修建道路600米；（2）原计划每小时抢修道路140米．
【解析】
【分析】
（1）全长1800，原计划已经完成13，单位“1”已知用乘法，已修道路=118003⨯=600米
（2）本题可以采用直接设，设原计划每小时修路为x 米，加快后每小时变为1.5x 米，等量关系为：原计划修路时间+提高后修路时间=总时间，列方程即可解出．
【详解】
解：（1）已修建道路600米；
（2）设原计划每小时抢修道路x 米， 根据题意得：()6001800600x 150x -++%＝10
解得：x ＝140，
经检验：x ＝140是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路140米．
【点睛】
方程的应用题是中考常考的类型题，设未知数一般有直接设和间接设两种，做题时找好等量关系尤为重要，分式方程解出后要检验增根的情况，排除不合适的解．
8．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元． （1）该商店第一次购进水果多少千克；
（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．
【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x 千克，则第二次购进水果2x 千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．
（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．
【详解】
解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，
（1000
x
+2）×2x=2400
整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．
经检验，x=100是原方程的解．
答：该商店第一次购进水果100千克．
（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950
整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．
答：每千克水果的标价至少是15元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
9．某商家用1200元购进了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元购进了第二批这种T恤，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．
（1）该商家购进的第一批T恤是多少件？
（2）若两批T恤按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果希望两批T恤全部售完的利润率不低于16%（不考虑其它因素），那么每件T恤的标价至少是多少元？【答案】（1）商家购进的第一批恤是40件；（2）每件恤的标价至少40元．
【解析】
【分析】
（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了5元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【详解】
（1）解：设购进的第一批恤是x件．
由题意，得12002800
5
2
x x
=-
解得x＝40．
经检验，x＝40是所列方程的解．
所以商家购进的第一批恤是40件．
（2）设每件的标价是y元
由题意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）解得y≥40．
即每件恤的标价至少40元．
【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程．
10．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式23411
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.
因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，
所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.
所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12
a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211
x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111
x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411
x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361
x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
（2）请将分式4225932
x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122
x x x x x +-=--++. 【解析】
【分析】
（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；
（2）将42593x x +-分解为22
(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩
，求出m 、n ，整理后即可得到答案.
【详解】
（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，
∵(1)(2)x x a b -++=22
222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，
∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩
， ∴22361
x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-； （2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，
∵22(2)(5)x x m n +++=42242
51025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++， ∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩
， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12
x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】
此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.。