[精品]2019高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2自我小测北师大版必修71

2.3 从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．已知a ＝x e 1＋2e 2与b ＝3e 1＋y e 2共线，且e 1，e 2不共线，则xy 的值为( )
A ．6
B ．23
C ．－6
D ．－23
2．设a ，b 为基底向量，已知向量AB ＝a －k b ，CB ＝2a ＋b ，CD ＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( )
A ．2
B ．－2
C ．10
D ．－10
3．若点O 是ABCD 的两条对角线的交点，且AB ＝4e 1，BC ＝6e 2，则3e 2－2e 1＝( )
A ．AO
B ．CO
C ．BO
D ．DO
4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若=PA PB PC AB ++，则( )
A ．点P 在△ABC 外部
B ．点P 在线段AB 上
C ．点P 在线段BC 上
D ．点P 在线段AC 上
5．已知AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( )
A ．43a ＋23b
B ．23a ＋43
b C ．23a －23b D ．－23a ＋23
b 6．如图所示，已知4=3
AP AB ，用OA ，OB 表示OP ＝__________.
7．在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若=A
B m A M ，
=AC nAN ，则m ＋n 的值为__________． 8．若e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2不能作为一组基底，则k 的值为__________．
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
参考答案
1．解析：由a ，b 共线，得a ＝λb (λ为实数)，即x e 1＋2e 2＝3λe 1＋λy e 2. ∵e 1，e 2不共线，
∴x ＝3λ，2＝λy ，且λ≠0，
∴xy ＝3λ·2λ
＝6. 答案：A
2．解析：AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a －k b )＋(－2a －b )＋(3a －b )＝2a －(k ＋2)b . ∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ使得=AB AD λ，
即a －k b ＝λ[2a －(k ＋2)b ]＝2λa －λ(k ＋2)b .
∵a ，b 为基底向量，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＝1，k ＝λ(k ＋2)，
解得λ＝12，k ＝2.
答案：A
3．解析：3e 2－2e 1＝1
1
22BC AB -＝1122AD AB -＝1
2BD ＝BO .
答案：C
4．解析：∵=PA PB PC AB ++，
∴PA PB PC AB ++-＝0，
即PA PB BA PC +++＝0，
∴PA PA PC ++＝0，
∴2=PA CP ，
∴点P 在线段AC 上．
答案：D
5．解析：设AD 与BE 的交点为F ，
则AF ＝23a ，BF ＝23b .
则AB BF FA ++＝0，得AB ＝23(a －b )，
所以=2=2()BC BD AD AB -＝23a ＋43b .
答案：B
6．解析：4
==3OP OA AP OA AB ++
＝414()=333
OA OB OA OA OB +--+. 答案：1433OA OB -+
7．解析：AO ＝12(AB AC +)＝m 2AM ＋n 2AN . ∵M ，O ，N 三点共线，
∴m 2＋n
2
＝1， ∴m ＋n ＝2.
答案：2
8．解析：当a ∥b 时，a ，b 不能作为一组基底，故存在实数λ，使得a ＝λb ， 即3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)，
∴6λ＝3，且k λ＝－4，
解得λ＝12
，k ＝－8. 答案：－8
9．(1)证明：假设a ，b 共线，则a ＝λb (λ∈R )，则 e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．
由e 1，e 2不共线，
得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，3λ＝－2，
即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，λ＝－23.
所以λ不存在，故a ，b 不共线，
即a ，b 可以作为一组基底．
(2)解：设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则
3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)
＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m ＋n ，－1＝－2m ＋3n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝1.故c ＝2a ＋b .。