机器人的运动控制

241运动控制
对于机器人手臂的运动来说，人们通常关注末端的运动，而末端运动乃是由 各个关节的运动合成
实现的。

因而必须考虑手臂末端的位置、姿态与各个关节位 移之间的关系。

此外，手臂运动，不仅仅涉及末端从某个位置向另外一个位置的 移动，有时也希望它能沿着特定的空间路径进行移动。

为此，不仅要考虑手臂末 端的位置，而且还必须顾及它的速度和加速度。

若再进一步从控制的观点来看， 机器人手臂是一个复朵的多变量非线性系统，各关节之间存在耦合，为了完成高 精度运动，必须对相互的影响进行补偿。

1.关节伺服和作业坐标伺服
现在来研究n 个自山度的手臂,设关节位移以n 维向量Q = enr
表示，也是第i 个关节的位移，刚性臂的关节位移和末端位置、姿态之间的关系 以下式给出：
(1)
reX”是某作业坐标系表示的m 维末端向量，当它表示三维空间内的位置姿态
时，m=6o 如式（1）所示，对刚性臂来说，山于各关节的位移完全决定了手臂 末端的位置姿态，故如欲控制手臂运动，只要控制各关节的运动即可。

设刚性臂的运动方程式如下所示：
r = M ⑷0 +力(</4)+rd + g(g) 式中，为手臂的惯性矩阵；/?（94）€卅为表示离心力和哥氏力的向 量，『€卅「杯为粘性摩擦系数矩阵；gS ）€W 为表示重力项的向量;
r =（m …兀）T €卅为关节驱动力向量。

机器人手臂的驱动装置是一个为了跟踪
U 标值对手臂当前运动状态进行反 馈构成的伺服系统。

无论何种伺服系统结构，控制装置的功能都杲检测各关节的 当前位置0及速度（八将它们作为反馈信号，最后直接或间接地决定各关节的驱 动力f 。

图1给出了控制系统的构成示意图。

来自示教、数值数据或外传感器的信号 等构成了作业指令，
控制系统根据这些指令，在U 标轨迹生成部分产生伺服系统 需要的U 标值。

伺服系统的构成方法因目标值的选取方法的不同而异，大体上可 以分为关节伺服和作业坐标伺服两种。

当U 标值为速度、加速度量纲时，分别称 之为速度控制或加速度控制，关于这些将在本节2•和3•中加以叙述。

2.4手臂的控制
(2)
图
1 刚性臂控制系统的构成
1） 关节伺服控制
讨论以各关节位移的形式给定手臂运动U 标值的情况。

令关节的U 标值为卅。

图2给出了关节伺服的构成。

若U 标值是以关节位移的形式给出的，那么如图2所示，各个关节可以独立构成 伺服系统，因此问题就变得十分简单。

U 标值可以根据末端U 标值『d 山式（1）
的反函数，即逆运动学（inv€rs€ kinematics）的计•算得出
臂末端，一面进行示教的，所以不必进行式（3）的计算，％是直接给出的。

如 果想让手臂静止于某个点，只要对9冷取定值即可，当欲使手臂从某个点向另一 个点逐渐移动，或者使之沿某一轨迹运动时，则必须按时间的变化使％发生变 化。

为了简单起见，假设驱动器的动态特性忽略不计，各个关节的驱动力-可以
控制裝a
作业指令
（数
fflft , 外樓感器）
"1
机器人手
如果是工业机器人经常采用的示教方法，那么示教者实际上都是一面看着手
直接给出。

这时，最简单的一种伺服系统如下所示:
(4)
匕是比例增益，褊是速度反馈增益。

对于全部关节，可以将式（4）归纳表
示为
式中，Kp=dbg （L ）ear"； K 厂血够伙W ）已艸S 这种关节伺服系统把每 一个关节作为简单的单输入、单输出系统来处理，所以其结构简单，现在的工业 机器人大部分都山这种关节伺服系统来控制。

但是，从式（2）中可知，从手臂 的动态特性来看，严格地说，每个关节都不是单输入、单输出系统，惯性项和速 度项在关节彼此之间存在动态耦合。

在式（5）所表示的关节伺服中，这些耦合 均被视为外部干扰来进行处理，为了减少外部干扰的影响，在保持稳定性范圉内 应该尽量将增益心（、褊设置得大一些。

但无论怎样加大增益，曲于重力项的影 响，手臂在静止状态下，各个关节仍会产生稳态误差，即将式（5）代入式（6） 中，若刁= 0 = 0,将产生下式所示的稳态误差e ：
w = %-§ = K 「g ⑷
有时为了使稳态误差为零，可在式（5）中再加上积分项，构成 ?■ = Kp （% - 乡）一 K,.q + K J （% - q W （7）
式中，为积分环节的增益矩阵，和Kp 、K,, 一样，它是一个对角矩阵。

传统上，上述伺服系统是用模拟电路构成的。

近年来，由于微处理器和信 号处理器等高性能、
低价格的汁算器件的普及，将伺服系统的一部分或全部改成 数字电路的所谓软件伺服已经很普遍了。

与模拟电路的悄况相比，软件伺服能进 行更精细的控制。

例如，不再让各个关节的增益心,、褊固定不变，而是让其按 照手臂不同姿态时所期望的响应特性而变化，用下式代替式（7）,通过对重力项 的计算，直接实现重力项的补偿
T = Kp （% - 9）一 K/i+g ⑷ 后续的内容中，都是在软件伺服假设的前提下展开讨论的。

如后面所述，软 件伺服系统方式还能
有比式（7）和式（8）更高级的控制方法，但是即使用式（7） 和式（8）的简单的控制方法，闭环系统的平衡点％也能达到渐进稳定，即经过 无限长的时间，0能收敛于％。

即在多数场合，式（7）和式（8）的控制方法已 经足够了。

T = Kplqd-q)-K\@ (5)
(6) (8)
2）作业坐标伺服控制
关节伺服控制的结构简单，对软件伺服来说，计算量少，采样时间较短，所以是工业机器人经常采用的方法，这一点已经在前面有所论述。

但在自山空间内对手臂进行控制时，在很多场合都希望直接给出手臂末端位置、姿态运动的显武表达。

例如，让手臂从某个点沿直线运动至另一个点就是这种情况。

在这种W况下，很自然会取末端姿态向量r的U标值殆作为手臂运动的U标值。

一旦得到/打利用上述武（3）变换为％,当然也能应用关节伺服方式。

但是，为此不但需要事前•求解末端目标值『打而且往往要在运动中对其加以在线修正，于是必须实时计算式（3）的逆运动学方程式。

此外，因为在关节伺服系统中各个关节是独立受控的，它们的实际响应结果导致的末端位置、姿态的响应比较难以预测，而且为了得到期望的末端响应，对各关节伺服系统的增益调节也十分困难。

因此，现在我们来研究不将丿2变为％,而把本身作为U标值来构成伺服系统。

山于在很多悄况下，末端位置、姿态丿2是用固定于空间内的某一个作业坐标系来描述的，所以把以丿》作为U标值的伺服系统称为作业坐标伺服。

下面举一最简单的作业坐标伺服的例子。

为此，首先将式（2）的两边对时间进行微分，山此可得下式：
(9)
式中，J{q}q = dfjdcf称之为雅可比矩阵，雅可比矩阵为g的函数。

r和刁通常如式（1）所示，为非线性关系。

与此相反，山式（9）可知，r和刁为
线性关系。

式中丿（0）是g的函数。

根据式（9）和虚功原理，可得下式: r = J{qYf
(10)
式中，J{qY表示丿（彳）的转置，当
m=6时，f = €卅，是
组合向量，包括作业坐标系所描述的三维平移力向量和以欧拉角等描述的r的姿态所对应的三维旋转力向量，式（10）表示与手臂末端的力和旋转力等效的各关节驱动力的关系式。

若取欧拉角a阳）作为r的姿态分量，则严竹为绕欧拉角各自旋转轴的力矩，这从直观上非常难以理解。

所以，在机器人学中，雅可比矩阵经常不是根据式（9）,而是根拯速度的关系直接按照下式来定义：
(11)
在式（M ）中，末端速度向量$的姿态分量不是姿态分量的时间微分描述, 而是用角速度向量0€卯来表示。

不过，在S 中，veE 是末端的平移速度，和r 的位置分量的时间微分一致。

式
（11）的矩阵人（g ）也称为雅可比矩阵，它表示 末端速度向量S 与关节速度0之间的关系。

虽然它不是从式＜9）原本的数学意 义出发的，但是在机器人学中通常称之为雅可比矩阵。

若采用式（ii ）所定义的雅可比矩阵，对应于式（10）右边的/就成为
S,人叫y ，f 的旋转力分量就变成绕三维空间内某些轴旋转的力矩 向量，这样从直觉就很容易理解。

有了上面一些预备知识，可以用下式给出一个作业坐标伺服的例子：
T = J ⑷丁 I Kp （町/ —厂）]—K\@ + g （q ）
此时对应的控制系统示于图3中，再考虑附加积分环节，即如
下式所示： r = JSUKp 鋪一 /■） + « J （□- f-yit] - K 、© （13）
如果将末端位置、姿态的误差向量r^-r 分解成位置和姿态分量，用 [£；厨r 表示，各个分量可以用ep = Pd-P ，《'=1%-久角一0九一灯来 表示。

是末端位置向量，标值，（G0』）是欧拉角或横摇角.纵 摇角、偏转角，（％,0”必）是其日标值。

山式（10）可知，与式（12）、式（13） 右边第一项中的Kp 有关的项产生的使r 打a 一致的潜在的力/ = 门 可视为是施加在末端上的。

式（12）、式（23）中手臂末端的当前位置、姿态r 可 根据当前的关节位移G ，由式（1）的正运动学（direct kinematics ）计算求得。

(12)
图3作业坐标伺服举例
为了从直观上便于理解，可以认为式（22）、式（13）的方法就是要把末端拉向U标值的方向。

另外它还有一个特点，就是不含逆运动学计算。

与式（7）、式（8）
一样，式（12）和式（13）表明闭环系统的平衡点是渐进稳定的。

3）姿态的误差表示
在式（12）或式（13）中，可以用式（11）中的雅可比矩阵4（g）代替式（9）中的
雅可比矩阵。

但此时$的姿态分量Q无对应的位置量纲来表示（e的积分值没有物理意义〉，故必须留意末端的误差，即姿态分虽^一厂的表示方法。

现令末端的姿态误差山
基准作业坐标系的姿态矩阵映〃€呎3心给出，即
=[n,0.a](14)
式中，儿。

＜€代表示姿态矩阵中的列向量，它们是基准坐标系表示的末端坐标
系中X轴，y轴，Z轴方向的单位向量。

姿态U标值也可以用姿态矩阵的形式来表示，即
(15)
在式（12）或式（13〉中，如果用雅可比矩阵4S）,则q-厂的姿态向量可以用下式给
出的％代替5：
(16)
耳=_Wx”d+oxOd+axdd]
从而得到与式（12）对应的式子如下：
r = £（d[Kp[幣可门一K詔 + g ⑷（17）
同样，用式（26）所定义的爲，式（13）可以变形为
爲= ksin0 (18)
式中，k是从吹转向吹阳的等效旋转轴方向的单位向量（图4）； 0表示绕此轴的
旋转角。

耳即是指向k方向的、大小为sin0的向量。

若用爲表示姿态的误差，虽
然姿态的误差角0超过刃2后爲的模反而会变小，当0 = ;r时变为6会产生错误
的结果，但是，如果假设姿态误差不太大9如在-刃2＜0＜刃2的范用内，那就没什么问题了。

若用欧拉角（或横摇角、纵摇角、偏转角）表示姿态，则式（10）中/对应的姿态分量在直观上就变得难以理解了，而且在表现奇异点方面也会出现问题。

用式（16）定义的耳虽然在直观上容易理解，在表现奇异点方面也没有问题，但是只有在姿态误差小的条件下才有效。

因此，这里最后介绍采用四元数
（quaternion）的姿态误差的表示法。

四元法作为欧拉参数（Euler parameters）为人们所熟知。

设从基准姿态向某一个别的姿态。

尽变化的等效旋转轴为绕
该轴的旋转角为。

则四元数用下式定义:
e . e n = cos —r £ = " sin —
2 2
(19)
在式（29）中要注意，等效旋转轴的向量
“无论是从基准坐标系，还是从用
吹I表示的坐标系，它的表达都是相同的，即吹卅=|3="。

这时，旋转矩阵与四元数$具有如下式所示的关系:
吹产⑵产一1” ++ Tj[£ xj) ( 20)
式中，［-X］为与向量的外积等效的变形对称矩阵；/为3x3单位矩阵。

式（20）也可反过来应用，即给出四元数，求解与之对应的旋转矩阵。

本书将与当前手臂末端姿态，及其U标姿态。

凡d所对应的四元数分别定义
为么=［〃”£：卩和鼻Z 。

于是，与从末端姿态児到日标姿态吹阳的
等效旋转相对应的四元数△0 = 15〃可以利用下式求出:
(21) (22)
式中，这时的等效旋转轴用或吹加表示的坐标系来描述。

因此，若考虑用基
准坐标系描述该等效旋转轴向量，设为△ £ = = 则可用
2
下式给出：
要注意的是，&与仅第三项的外积符号不同。

这里使用式（23）给出的 代替前面的石，虽然特性上它们同样是非线性的，但即使姿态的误差角0超过 兀/2,仍呈单调增加。

2. 速度控制
在］.中就关节伺服和作业坐标伺服的有关内容作了说明，手臂的目标值是以位Its 纲给 出的。

但是，有时手臂作业不用末端的位置和姿态来指立，而改成命令它从当前的位置向某 一个方向務动，例如手臂末端从当前位置垂直向上运动，或者只绕规宦轴旋转变化姿态，这 相当于使用操纵杆操纵遥控机械手的情况。

对于这种类型的运动指令，虽然也允许用位置量 纲的目标值给出，但必须沿着末端目标值运动的方向时时刻刻改变目标值。

在关节伺服的场 合还必须对每个末端目标值根据式（3）进行一次逆运动学计算，以求得关节目标值，显然 为此務花费很多计算时间。

对于这种运动指令，人们很自然地想到把末端速度作为目标值给 出。

末端速度r 或$与关节速度0Z 间具有如式（9）或式（11）所示的线性关系。

设或为 为末端速度的目标值。

假设手臂无冗余性，也不存在奇异状态，于是m 二m 式（9）或式（11） 这时实现/；,或》的关节速度q,=（q 小…a ）已W 可由下式
求出:
(25)
如果手臂具有冗余性，即n>m 时，或者手臂处于奇异状态下，不存在雅可 比矩阵的逆矩阵，那么就无法直接应用式（24）或式（25）。

在实际的计算中， 与其按式（24）或式（25）直接求解雅可比矩阵的逆矩阵，不如把式（24）或式
（25）看作是雅可比矩阵，写出系数矩阵的联立代数方程，然后用消去法去求解
»从il 算量的角度来看后者会更有利些。

我们可以把式（24）或式（25）视为把末端运动分解成必要的关节运动，故
△£ = 〃如-〃佔+£x% (23)
的雅可比矩阵为正则矩阵, £=JE ・d (24)
称之为分解速度控制（RMRC ： Resolved Motion Rate Control ）□式（24）、式（25） 的u 标是速度，与其说是这些式子本身在实施控制，倒不如将其视为以速度量纲 进行逆运动学计算更妥当。

和式（3） —样，应该把它们的作用看成是把末端空 间的U 标值变换为关节空间的U 标值。

如果在各个关节处具备独立跟踪U 标速度
的速度伺服系统，那么只要把式（24）或式（25）所求得的Qd 的各个元素作为乞个关节
移如f 作为目标值的情况0设末端速度的目标值用时间函数/；,（/）给出，而且关节目标值的初 始值为则在时刻t 的目标值为
用式（26）和式（27）计算qg 相当于式（3）的逆运动学计算的数值计 算，这个方法对用式
（3）的无解析解的手臂尤其有效。

不过，若反复用式（26）、 式（27）进行计算，存在着与U 标位置之间的位置积累误差增大的问题。

为了解 决这一问题，只要在式（26）中加上位置反馈即可，如下式所示：
么=丿（9尸[办+K0（z ；,-C] 对含雅可比矩阵厶的式（25）也可以采用同样的办法，不过此时应该将对 应于S 的姿态分量e 的末端姿态误差改换成式（26）中的兀，或者用式（23）的
表示，如下式所示：
Q 产+ 盘门 （29）
在式（28）或式（29）中，是从末端误差的角度来求解么的，因此将么作 为各个关节速度伺服系统的U 标值进行控制的方法，无法明确地区分是属于关节
如⑴=丿（讥『））讪）
(26) (27)
(28)
另外，式（24）和式（25）中的各个关节伺服系统也适用于本节1•中所涉及的把关节位
伺服系统的目标值即可。

因此•这种情况可以说是利用关节伺服进行的速度控制。

图5给出 了此时控制系统的构成。

伺服还是属于作业坐标伺服。

3.加速度控制
前而就将目标值设定为位置或速度的场合的手臂伺服系统的构成做了介绍。

但是在关节伺服的情况下，即使给出正确的目标值％、0#,实际的响应情况仍然被各个关节伺服系统的性能所左右。

通常的做法是在保证稳定的悄况下调大增益，减小与U标值的偏差，然而手臂的运动速度越快、加速度越大，则离心力、哥式力、惯性力和关节轴间耦合的影响也就越大，误差也越严重。

即使保证作业坐标伺服的式(12)和式(13)具有U标值的渐进稳定性，也无法保证过渡特性的好坏，而且随着手臂姿态的不同，响应特性还可能会发生变化。

这些问题之所以产生，是因为在迄今所考虑的控制策略中，并未涉及手臂动态特性的式(2)所致。

因此，在本小节中所叙述的方法是将U标值再追加加速度，即考虑手臂的动态特性，以显式的形式给出过渡特性的要求。

首先，设目标值为％、么、乙，即包括关节变量加速度，这时考虑采用如下的控制方法：
厂=M⑷a + K、,a - @) + Kp Sd —+h{q,今)+r? + g(g)( 30)
这是关节伺服加速度控制，图6表示伺服系统的结构。

在式(30)中，M(q)、h(q4)、
r、g(q)均和式(2)中的意义相同，式(30)相当于进行逆运动力学(ingrs€ dynamics) li算，以求出能实现山彳询=乙+Ky(么一g)+ Kp©/—q)所给出的
关节加速度的关节驱动力。

为简便起见，先假设M(q)、h{q,q)等的值可以正确计算。

把式(30)代入式(2)的左边整理后，得
M (q)l e + K& + K^e] = 0
式中，e = qd-q・因为M(q)是正定对称矩阵，故两边乘上M(g)T后得到
e + A\€+K”e = O
(31)
(32)
图6用关节伺服的加速度控制
适当选择位置增益Kp、速度增益K… 可以使e渐进收敛于0,使q'Zd达到一致。

瞬态响应特性可由Kp、Ky来确定。

例如•设Kv=kJ、Kp=kpl（/是Z/XZ/的单位矩阵），若k、、=23、k产此、则式（32〉的响应是角频率为0八阻尼系数为V的二阶系统响应.控制手臂运动时，一般不希望出现超调量，所以通常取歹=1。

这样在加速
度控制中之所以瞬态特性也能被满足，是因为通过离心力、哥氏力、重力等的补偿，使非线性手臂的动态特性被线性化，同时考虑了惯性项使系统解耦的结果。

因此，可以将式（30）的加速度控制视为本节4•中打算加以说明的动态控制（dynamic control）的一种方式。

式（30）所示的加速度控制由于能够给卫瞬态特性，所以这种控制策略非常有效，不过也应该指出它的问题是计算量非常大。

为了缩短采样时间，可将式（30）的部分计算省略, 采用下而简化的公式：
r = M[q,+K^ (Qd 一①+ Kp (%-§) + Ki J (% -讷](33)
式（33）中省略了力（如2）、rg、g（q）的计算，MeW如被M（q）取代，简化为仅山对角元素构成的常数矩阵。

M的对角元素最好选择M（Q）的对角元素的代表值。

此外，为了消除稳态误差，在式（33）中重新补上了积分项。

各种工业机器人减速比的数值比较大，故驱动器惯性的影响也会比较大，所以M（g）的对角元素比非对角元素大得多，而轴间耦合的影响相对变小。

因而在很多情况下，采用式（33）的近似控制策略能够满足计算的要求。

下面讨论U标值为Z；、" 乙的悄况，此时目标值包括了末端位置、姿态的加速度。

为此，首先应该求出末端加速度和关节加速度之间的关系。

将式（9）的两边对时间进行微分，即可得r = J{q）q + j（q}q（34）
式中，Ag)表示d[J(q)]/dt.
为了跟踪目标轨迹,把根据E所修正的末端加速度必龙以下式给出:
爲=兮 + K\. +Kp (?;- r) ( 35)
式中，K）八K。

是适当的増益矩阵：r是当前的末端速度，它由传感器测得的关节速度4
用式（9）求得。

从式（34）可以求得实现给泄的末端加速度巾的关节加速度为
无厂心尸心-丿⑷勿(36)
再由下式求出实现该关节加速度的关节驱动力: r = M ⑷么 dj + h （q, 0） + Tg + g （q ）
将式（35）~式（37）归纳为一个式子，得到 r = M ⑷丿（?尸［乙+心駡-户）+心（/;一0-/（4）0+力（（7冷）+口+£⑷
（38）
这就是作业坐标伺服的加速度控制，它与式（30）给出的关节伺服加速度控 制是相对应的。

我们假设正确地完成了式（37）的逆动力学计算，即M （q ）、
、r 、g （q ）的汁算结果正确，把式（37）代入式（2）中后可得下式:
(39)
即实际响应与给立加速度歹“哥一致。

把式（39）代入式（36）中后得r = E 歼 再把它彳弋 入式
（35）中后可得
◎ + K 启 + % = 0 式中，耳=^一尸。

式（40）是与关节伺服的式（32）相互相对应的。

式（35） Z
式（37）给出的作业坐标伺服，是为了在末端产生期望加速度而求解出各个关节的加速度, 因而称苴为分解加速度控制（resolved acceleration control ）。

它可以视为是由上述分解运动 控制向加速度的扩展。

但必须注意的是，分解速度控制只是为了把末端目标速度向关节速度 变换，而分解加速度控制则要考虑当前值和目标值之间的误差，并将之视为伺服系统的一部 分。

另外，在分解速度控制中，实际上无法保证分解的各■个关节目标速度正确地被实现，但 在分解加速度控制中，若正确掌握了手臂的动态特性模型，则如式（39）所示，指令加速度 将得到正确的实现。

图7表示了分解加速度控制的总体结构。

(37)
(40)
图7分解加速度控制
在式（36）中，若用J©代替丿（g），则13标值以打，几、他“给出，于是可用下式代替式（35）和式（36）：
如=丿⑷7【，〃 +心》-0 +岛罔同卩-厶（购］（41）
这就是原来由Luh等提出的分解加速度控制的方案。

另外，也可以将姿态分量的误差置换为式（23〉泄义的以代替爲。

如前所述，若姿态误差用爲来表示，则在产生特大姿态误差时增益会等效下降，瞬态特性恶化。

用^£虽然可以改善瞬态特性，但误差是非线性的这一条井无改变。

但是无论在什么情况下（用石）时除的特殊情况以外），理论上是保证姿态逐渐收敛于目标姿态。

另外，如有必要，也可以用四元数让姿态误差的响应特性成为线性关系。

4.轨迹控制
本小节中，将首先讨论目标轨迹的给左方法，然后介绍手臂高精度跟踪目标轨迹的方法, 即动态控制的方法。

1）轨迹控制方式
如果想让机器人手臂束端沿目标轨迹运动，有两种给注轨迹的方式：一种是所谓示教机器人中采用的示教再现方式；另一种是把目标轨迹用数值形式给出的数值控制方式。

所谓示教再现方式是在执行作业前，让手臂束端沿着实际目标值进行移动，同时将相应的数据和作业速度等其他信息一起存入机器人中，在执行时将所示教的动作再现，于是手臂末端就沿目标轨迹运动。

示教时手臂运动的方式也分为两种：一种是直接示教方式（操作考宜接用手握住机器人手臂末端使其做动作九另一种是远距离示教方式（用示教盒的按钮或
开关发出运动指令）。

在示教再现方式中，记忆再现轨迹的方式通常有点位控制｛PTP control: Point-To-
Point control）和连续路径控制（CP control： Continuous Path control）两种（图8）。

（1）P TP控制例如，点焊等作业，人们关注在示教点上对末端的位置和姿态立位的问题。

至于向该点运动的路径和速度等则不是主要的问题。

这种不考虑路径，而是一个接一个地在示教点处反复进行左位的控制就是PTP控制。

（2）C P控制例如，弧焊、喷漆等作业，必须控制机器人以示教的速度沿着示教的路径进行运动。

这样的控制称为CP控制。

按示教的方法不同CP控制又分为两种：其一是示教时让机器人沿着实际的路径运动，并毎隔一个微小的间距就大量记忆该路径上的位置，再现时把所记忆的点一个接一个地作为伺服系统的目标值给出，以达到路径跟踪的目的；另一个是和PTP控制一样，示教时只记忆路径上的主要点，再现时则在这些主要点之间用直线或圆弧来插补，il•算出每个微小间距的路径上的点，再把它们输出给伺服系统（图9）。

后者和前者相比，需要记忆的点数较少，路径修正也比较容易，因而系统具有灵活性，但必须对其进行插补修正。

图9带插补的CP控制
所谓数值控制方式，它和数控机床一样，是把目标轨迹以数值、数据的形式给出。

所谓数据，是把作业对象的CAD数据、在实施控制中所得到的来自传感器的测量数据等各种数据经过变换后给出的。

可见，数值控制方式比单纯的再现示教轨迹的示教再现方式更具有一般性、通用性、灵活性。

然而，把目标值以数值的形式给出可能会导致汁算时间过长，出现机器人装配误差、毎台设备本身的分散差带来新的问题等麻烦。