高中新课程导学学案.

§第一章集合与函数
§1.1集合
§1.1.1集合的含义与表示（第一课时）
【课标定向】
学习目标
通过实例了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系.；了解集合中元素的三个特性.
提示与建议
结合实例，通过思考、研究集合中元素的特征把握集合的特点，体会元素与集合的关系. 【互动探究】
自主探究
1.一般地，我们把研究对象统称为_____,把一些元素组成的总体叫做_____(简称为___).
2.给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么_______________.
3.一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,____________________.
4.只要构成两个集合的元素是_________的,我们就称这两个集合是相等的.
5.如果a是集合A的元素,可以记作______.
6.全体非负整数组成的集合记作( )
A. Z
B. R
C. N
D. Q
剖析探法
★讲解点一集合的概念
集合中的元素具有以下特征：
（1）确定性：作为集合的元素，必须是确定的.对于集合A的元素a，要么A
a∈，要么A
a∉，二者必居其一.如:所有“大于200的数”组成一个集合,而“较大的数”就不能构成一个集合,因为它的元素是不确定的,怎样的数才算较大没有明确的定义. (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的.
(3)无序性:集合中元素的排列与次序无关,如1,2和2,1构成的集合相同.
例题1下列各组对象:
(1)接近于0的数的全体;
(2)比较小的正整数的全体;
(3)平面上到点0的距离等于1的点的全体;
(4)正三角形的全体;
(5)2的近似值的全体.
其中能构成集合的组数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【思维切入】判断所给对象能否构成集合的依据就是集合元素的三个特征.满足集合元素的特征就能构成集合,如不满足就不能构成集合.
【解析】(1)(2)(5)不满足集合元素的特征,不能构成集合;(3)(4)构成集合,故选A.
【规律技巧总结】判断一组对象是否构成集合关键就是看所给对象是否满足集合中元素的特征.
例题2已知A={m,2
m,1},求m的取值范围. 【思维切入】既然m,2
m,1是集合三个元素,这三个元素就互不相同.
【解析】因为m,2
m,1是所给集合的元素,
所以
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
≠
≠
m
m
m
m
2
21
1
,
1
11
01
m
m m
m m
≠
⎧
⎪
≠≠-
⎨
⎪≠≠
⎩
且
且
所以0
≠
m且1
m≠±.
【规律技巧总结】解答本类问题,只要保证
所给元素满足集合元素的互异性即可，若求集合中参数取值问题，必须进行检验。

★ 讲解点二 元素与集合的关系
元素与集合有属于与不属于两种关系:如a 是A 的元素,就说a 属于集合A,记作A a ∈;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作A a ∉.
例题3 用符号∈或∉填空: (1)0____*
N ; (2)2____Z (3)
2
3
_____Q (4)1+π_____R . 【思维切入】首先要熟悉所给的符号分别代
表哪个集合,再判断元素是否是对应集合的元素.
【解析】(1) ∉ (2) ∉ (3) ∈ (4) ∈ 【规律技巧总结】 (1)一些常用数集的记法：
非负整数集 (或自然数集)记作N ;正整数集记作*
N 或+N ;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R .
(2) A a ∈与A a ∉取决于a 是不是集合A 的元素.根据集合中元素的确定性,可知对任何a 与A ,在A a ∈与A a ∉这两种情况中必有一种且只有一种情况成立. 精彩反思
集合中的元素具有三大特征：
①确定性：作为集合的元素，必须是确定的. ②互异性：在给定的集合中，任何两个元素
都是不相同的.
③无序性:集合中元素的排列次序无关. 其中互异性是判断集合元素个数,判断所给元素能否构成集合的依据;确定性是判断元素与集合关系的依据.解答有关的集合问题时需要我们密切关注集合中元素的这些特征.
【自我测评】
1.下列条件中能构成集合的是( ) A 世界著名科学家
B 在数轴上与原点非常接近的点
C 所有等腰三角形
D 全班品质好的同学
2.已知集合S 中三个元素c b a ,,是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形
3.给出下列三个关系:R ∈3,Q ∉5.0,N ∈0,其中正确的
个数是( ).
A 0
B 1
C 2
D 3 4.下列三个结论:
(1)集合N 中最小的数是1; (2)N a ∈-则N a ∈;
(3)N b N a ∈∈,,则b a +的最小值是2. 其中正确结论的个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3 5. 用符号∈或∉填空 (1)
7
2______
Q,(2)32_________N ，
(3)π__________ Q ，(4)2__________ R ， (5)9________Z ，(6)2)5(_________ N * ．
6.判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)学校中的年轻教师组成一个集合; (2)由数2
1
|,21|,46
,23,1-组成的集合中有5个元素;
(3)由c b a ,,组成的集合与由c a b ,,组成的集合是同一个集合.
【拓展迁移】
思维提升
7.说出下面集合中的元素： （1）小于12的质数的集合； （2）倒数等于其本身的数的集合.
视野拓展
数学三大难题（之一）
有20棵树，每行四棵，古罗马、希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新的突破吗？
§1.1.1集合的含义与表示
(第二课时 )
【课标定向】
学习目标
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的集合问题；
2.感受集合语言的意义和作用. 提示与建议
①用列举法表示集合时,注意元素不能重复,不能遗漏;②用描述法表示集合时首先要清楚集合中代表元素是什么,元素满足什么特征.③对比集合的两种表示方法的特点,可以达到准确掌握,灵活运用的目的.
【互动探究】
自主探究
1.把集合的元素________,并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.请用列举法表示“地球上的四大洋”组成的集合.
3.用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法,具体方法是:_____________________.
4.不等式37<-x 的解集中所含元素的共同特征是:______________,用描述法可以表示为_______. 剖例探法
★讲解点一 列举法
将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法就是列举法.使用列举法
时注意一下几点:
(1)元素间用分隔号“,”隔开; (2)元素不重复; (3)元素无顺序;
(4)对于含有较多元素的集合,如果元素有明显的规律,可以用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚后才能用删节号. 例题1 用列举法表示下列集合: (1) 方程12
=x 的实根组成的集合; (2) 小于5的所有自然数组成的集合. (3)小于1000的所有自然数组成的集合； (4)大于20的整数组成的集合.
【思维切入】从列举法的定义、注意事项入手,注意体现列举法的特征.
【解析】(1){-1,1}; (2){0,1,2,3,4}；
(3){0,1,2,3,…,999,1000}； (4){21,22,23,…}.
【规律技巧总结】①列举法表示集合时注意无序性、互异性.② 对于多元素集合可以用省略号表示,应用时要恰当.
★讲解点二 描述法
描述法就是把集合中的元素所具有的共同
特征叙述出来,写在大括号内.
格式为{代表元素|元素所满足的共同特征}. 用描述法表示集合时要注意:
(1)弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数,还是有序实数(点),还是其他形式.
(2)元素具有怎样的共同属性. 例题2 用描述法表示下列集合: (1)所有正奇数组成的集合; (2)所有偶数组成的集合. 【思维切入】弄清集合中的元素及怎样用数学或文字语言描述它们的共性. 【解析】(1){*,12|N n n x x ∈+=} (2){Z m m x x ∈=,2|}
【规律技巧总结】描述法表示集合的重点是共性的描述,代表元素只是形式.如(2)中的集合可以表示为{Z m m p p ∈=,2|}或
{Z m m q q ∈=,2|} 思维拓展 下面三个集合: (1)}1|{2
+=x y x ; (2)}1|{2+=x y y ;
(3)}1|),{(2+=x y y x
它们是不是相同的集合?如果不是,它们各自
的含义是什么? 【思维切入】对于描述法给出的集合,首先要清楚集合中代表元素是什么,元素满足什么共同特征. 【解析】由于三个集合的代表元素不同,所以三个集合不相同.
集合(1)代表元素是x ,表示满足条件
12+=x y 的所有x 组成的集合,所以}1|{2+=x y x =R.
集合(2)代表元素是y 表示满足条件
12+=x y 的所有y 组成的集合,所以}1|{2+=x y y =}1|{≥y y
集合(3)代表元素是点),(y x ,表示曲线
12+=x y 上的所有点组成的集合.
例题3 用适当的方法表示下列集合:
(1)由大于5小于9的自然数组成的集合; (2)不等式23>-x 的解组成的集合; (3)被3除余1的正整数的集合. 【思维切入】根据集合的元素的特点选择适当的方法.
【解析】(1){6,7,8}; (2)}5|{>x x ; (3)},13|{*N n n x x ∈+=.
【规律技巧总结】列举法和描述法是表示集合的两种基本方法，应注意其优缺点. (1)中集合也可以用描述法表示,集合表示方法一
般要符合简洁的原则. 精彩反思
列举法的优点是可以明确集合中元素及元
素个数.常用来表示有限集或有特殊规律的
无限集.描述法的优点是可以明确说明集合元素的共同特征,常用来表示无限集.
【自我测评】
1.下列集合表示法正确的是( ) A {1,2,2} B {全体实数} C {有理数} D }052{>-x
2.集合}5|{<∈x N x 的另一种表示方法是( )
A {0,1,2,3,4}
B {1,2,3,4}
C {0,1,2,3,4,5} D{1,2,3,4,5}
3.用符号∈或∉填空:
(1)32_______}11|{<x x (2)(-1,1)________}|{2x y y =; (3)(1,2)_________}1|),{(+=x y y x
【拓展迁移】
思维提升
4.用列举法表示下列集合: (1)}4|{2==x x A ;
(2)}3,1|{≤≥∈=x x N x B 且 (3)不大于6的非负整数组成的集合; (4)方程组⎩⎨⎧=+-=+0
30
y x y x 的解的集合.
视野拓展
数学三大难题（之二） 相邻两国不同着一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过计算机逐一理论完成，全面的人工推理尚待有志者。

§1.1.2集合间的基本关系
【课标定向】
学习目标
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中了解空集的含义；能用Venn 图表示集合的关系. 提示与建议
子集是描述两个集合关系的概念.集合A 是集合B 的子集的本质是:集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,无论是有限集还是无限集,只要是集合A 的元素就一定是集合B 的元素.
特别注意: ∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
【互动探究】
自主探究
1.用___________代表集合，这种图称为Venn 图．
2. 如果_____________，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集．记作：___________．
3. 若集合A B ⊆，_________，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）.
4.写出{1,2}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
5. 判断正误：
(1)空集没有子集． ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集． ( ) (3)任一集合必有两个或两个以上子集( )
(4)若B ⊆A ，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B ． ( ) 剖例探法
★讲解点一 子集与真子集
1.如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集．记作：()A B B A ⊆⊇或．读作：A 包含于B ，或B 包含A ．即任意x ∈A 都有x ∈B ⇔A B ⊆．
2.若集合A B ⊆，存在元素
x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作：
A B （或B A ）. 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.
A B ⇔A B ⊆，且存在x B x A ∈∉且. 3.子集的性质 ⑴规定：空集是任意集合的子集，即∅⊆A ．
所以空集是任意非空集合的真子集，即若A ≠∅，则
∅A ．
⑵传递性：若B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆；若A B ，B C ，则A C ． 例题1 写出{1,2,3}的所有子集,并指出哪些是真子集.
【思维切入】根据子集,真子集的定义求解. 【解析】∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}.
【规律技巧总结】这样的题目需要按照一定的顺序写,以防止遗漏.先写空集,再写含一个元素的,再写含两个元素的,以此类推. 例题2 已知集合A ＝{–1，3，2m –1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝____ 【思维切入】 B ⊆A,说明B 中的所有元素都属于A.3是A 的元素, m 2也是A 的元素,所以m 2＝一l 或者m 2＝2m —1.
【解析】∵B ⊆A ，∴3∈A,m 2∈A ．∴m 2＝一l(舍去)或m 2＝2m —1．解得m ＝1．∴m ＝1．
【规律技巧总结】解决这类问题,需要从分析集合间元素的关系入手,同时需要注意元素的互异性.
★讲解点二 集合相等
两个集合相等就是两个集合中元素都相同． 从子集的角度考虑就是: A B B A ⊆⊆且⇔A B = 例题3 已知集合{2,,}A x y =，
2{2,2,}B x y =,且A=B,求,x y 的值.
【思维切入】由A=B 可得2
2x x
y y =⎧⎨=⎩或22x y y x
⎧=⎨
=⎩,
解
后
要
验
证
2x y ≠≠,222x y ≠≠
【解析】由A=B 可得2
2x x y y =⎧⎨=⎩或2
2x y y x
⎧=⎨=⎩ 解得00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或1412
x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.
验证,当0,0x y ==时,A={2,0,0},这与集合中元素的互异性相矛盾.
所以1412
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=⎩.
【规律技巧总结】集合相等问题就是从元素入手,看元素满足什么条件才能保证两个集合相等.求出参数后需要验证参数是否与元素集合的特征相违背. 精彩反思
①.任取x ∈A 都有x ∈B ⇔A B ⊆； A B ⇔A B ⊆，且存在x B x A ∈∉且；
A B B A ⊆⊆且⇔A B =.
②.B A ⊆包括A=B 和A B.
③.∅和集合元素的特征是本部分容易忽略的地方,需要我们在学习的时候特别注意.
【自我测评】
1．用适当的符号填空： ⑴a_______{a,b,c}； ⑵0_______{x|x 2=0}；
⑶∅_____ {x ∈R|x 2+1=0}； ⑷{0，1}_______N ； ⑸{0}_______{x|x 2=x}；
⑹{2,1}______{x|x 2-3x+2=0}．
2.若A B ⊆,A C ⊆,且B={0,1,2,3}， C={0,2,4,5},则满足条件的集合A 可以是( )
A {0,1}
B {0,3}
C {2,4}
D {0,2}
3.若集合M={|6}x x ≤,5a =,则下列结论中正确的是( ) A {}
a M B
a
M
C {}a ∈M
D a ∉M
4设A={|10}x x -<<,
{|23}B x x x =<>或,则( )
A A ∈
B B B ∈A
C A B
D B A
5.已知A={菱形},B={正方形},C={平行四边形},则A,B,C 之间的关系是_______. 6．判断下列两集合之间的关系： A={1，2，4}，B={x|x 是8的约数}；
7.集合A ＝{x|－1<x<3，x ∈Z}，写出A 的真子集.
【拓展迁移】
思维提升
8.(1)分别写出下列集合的子集及其个数：Ф，{a}，{a,b}，{a,b,c}．
(2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素，则集合M 有多少个子集?
9.设集合},,{},,,1{2ab a a B b a A ==，且
B A =，求20092009b a +的值.
视野拓展
数学三大难题（之三）
任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）。

单色三角形中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门.
§1.1.3集合的基本运算
(第一课时 )
【课标定向】
学习目标
理解两个集合的并集与交集的含义;会求两个简单集合的并集与交集；弄清“或”、“且”的含义. 提示与建议
（1）符号“ ”像大桶收尽A 、 B 元素，符号“ ”像小网捞出A 、 B 公共元素． （2）并集与“或”相关，交集与“且”相关．
【互动探究】 自主探究
1.________________的集合，称为A 与B 的并集，记作：A ⋃B ．即A ⋃B=_________.
2.________________集合称为A 与B 的交集．记作：A ⋂B ．即A ⋂B=___________
3.求所给每组集合A,B 的并集C: ⑴A={1,3,5}，B={2,4,6}； ⑵A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}； ⑶A=Q ，B={x|x 是无理数}．
4. 求所给每组集合A,B 的交集C: (1)A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}； (2)A=Q ，B={x|x 是无理数}．
剖例探法
★讲解点一 并集的概念与运算
由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作：A ⋃B ．即A ⋃B={x|x ∈A ，或x ∈B}.
注意：A ⋃B 就是把A ，B 中的元素合在了一起，只不过相同元素只计一次. 性质：
(1) A ⋃ A= A, A ⋃∅==A (2) A ⋃B=B ⇔ A ⊆ B
例题1设集合A={x|-1≤x ≤2}，B={x|1<x<3}，求A ⋃B ． 【思维切入】为了方便的看出所求集合的并集可以借助于数轴,但要注意端点的虚实. 【解析】
A ⋃B={x|-1≤x ≤2或1<x<3}={x| -1≤x<3}
【规律技巧总结】用数轴表示集合时，重点考虑端点虚实，见阴影就收在并集内. 思维拓展
已知集合{|23}A x x =-<<,
{|33}B x x =-<<,求A ⋃B.
【解析】
∴A ⋃B={|33}x x -<<
【规律技巧总结】借助数轴求集合的并集时需要把各个集合端点的相对位置画准确. ★讲解点二 交集的概念与运算
由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合称为A 与B 的交集．记作：A ⋂B ．即A ⋂B={x|x ∈A ，且x ∈B}． 性质：
（1）A ⋂ A = A ，A ⋂∅=∅； （2）A ⋂B=A ⇔ A ⊆ B ．
例题2 设A={x|x 2–4x –5=0}，B={x|x 2=1}，求A ⋃B ，A ⋂B ．
【思维切入】集合A,B 分别对应方程的解集.二者的交集就是公共元素组成的集合. 【解析】A={–1，5}，B={–1，1}
A ⋃B={–1，1，5}，A ⋂B={–1}． 【规律技巧总结】求解由列举法给出的集合的交集和并集时注意集合元素的互异性. 思维拓展
已知A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ⋃B ，A ⋂B ．
【解析】A ⋃B={x|x 是等腰或直角三角形}； A ⋂B ={x|x 是等腰三角形，且x 是直角三角形}={x|x 是等腰直角三角形}．
讲解点三 并集、交集的性质及简单应用 1.并集的性质
;,)1(B B A A B A ⊇⊇ (2)A A A = ;
(3)A A =Φ ;(4)A B B A =. (5)若A B A = ,则A B ⊆. 2.交集的性质
(1)B B A A B A ⊆⊆ ,;(2)A A A = ;
(3)Φ=Φ A ;(4) A B B A =; (5)若A B A = ,则B A ⊆. 例题3
已知集合}12,3,1{--=m A ,},3{2
m B =,
若B A B = ,求m 的值.
【思维切入】由B A B = 知A B ⊆.再考虑元素之间的关系,即可解决.
【解析】由B A B = 知A B ⊆,则
122-=m m ,解得1=m .
【规律技巧总结】做题时注意A B A = ⇔B A ⊆与A B A = ⇔ B A ⊆. 精彩反思
注意并集与交集区别：
（1）通俗地说,并集就是不重复的收集了两个集合的所有元素;交集就是收集了两个集
· 3
-2
o
o
-3 o -1 2 1 3
x x
合的公共元素.
（2）并集与“或”相关，交集与“且”相关.
【自我测评】
1.设集合{|32}M m Z m =∈-<<,
{|13}N n Z n =∈-≤≤,则M
N =( )
A {0,1}
B {-1,0,1}
C {0,1,2}
D {-1,0,1,2} 2.设集合{|1}A x x =>-,
{|22}B x x =-<<,则A B =( )
A {|2}x x >-
B {|1}x x >-
C {|21}x x -<<-
D {|12}x x -<< 3.下面四个结论: (1)若()a A B ∈,则a A ∈; (2)若()a A
B ∈,则()a A B ∈;
(3)若a A ∈,且a B ∈,则()a A B ∈;
(4)若A
B A =,则A B B =.其中正确的
个数为( )
A 1
B 2
C 3 D4
4.已知A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则A B =______,A B =______
5.设{|13}A x x =≤≤,
{|02}B x x x =<≥或，
则A
B =______,A B =______
6.设{|33}A x x x =<->或,
{|14}B x x x =<>或,求A B .
【拓展迁移】 思维提升
7.设{(,)|21}A x y x y =-=,
{(,)|51}B x y x y =+=,求A B
视野拓展 西西弗斯串
在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是这块石头推上去就滚下来，永无休止。

著名的“西西弗斯串”就是根据这个故事而得名的。

什么是“西西弗斯串”呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这个数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共5个数），用这3个数组成一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数字串123再重复进行，仍得123.对这个程序和数的“宇宙”来说123就是一个数字黑洞。

§1.1.3集合的基本运算
(第二课时)
【课标定向】
学习目标
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽
象概念的作用.
提示与建议
1.求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下补集是不同的,补集和全集是两个相互依存不可分割的概念.
2.全集是对于研究问题而言的一个相对概念,它含有与研究问题有关的所有集合的全部元素,全集因研究问题而异.
【互动探究】
自主探究
1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为______.
2.对于一个集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合成为集合A 相对于全集U 的_________.
3.已知全集U= {1，2，3，4 },M={1,2}， 则C U M=__________.
4. 已知:全集
U= {|05,x x x Z <<∈ },M={1,2}， 则C U M=__________.
剖例探法
★讲解点一 补集
全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这给定的集合为全集.
若A 是全集U 的子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U
基本性质
Φ=⋂A C A U ，U A C A U =⋃，
A A C C U U =)(.
例题1设集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2，3｝，B=｛2，5｝，则A ∩ B=（ ）
A.｛2｝
B.｛2，3｝
C.｛3｝
D.｛1，3｝ 【思维切入】根据补集的定义先求出 B ，再进一步求A ∩ B.
【解析】因为U=｛1，2，3，4，5｝，B=｛2，5｝，所以A ∩ B={1，3，4}.
又A=｛1，2，3｝，所以A ∩ B={1，3}. 【规律技巧总结】求B 在U 中的补集就是将U 中属于B 的元素去掉.
思维拓展
如图，I 表示全集，图中的阴影部分表示的集合是（ ）. A.
（A∩B ）
B.
（A ∪B ）
C.（A∩ B ）∪（B∩ A ）
D.（A ∪B ）∩（B ∪ A ）
【思维切入】（方法1）图中阴影部分是两部分的并集，最易猜想的是C ，再对C 进行考查；
（方法2）对A 、B 、C 、D 逐个验证. 【解析】由图知，阴影部分是（A∩ B ）∪（B∩ A ），答案为C. 例题2 已知全集U={|3}x x ≥,集合A={|1}x x >,求A 的补集U C A .
【思维切入】数集之间的运算常借助于数轴,根据直观图形写出结果. 【解析】U C A ={|31}x x -≤≤.
【规律技巧总结】解答本类问题避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形完美结合之所在，需要密切注意集合端点的虚实.
例题3 已知集合A=｛x|x 2+ax+12b=0｝和B=｛x|x 2-ax+b=0｝，满足（A ）∩B=｛2｝，
A ∩B=｛4｝，U=R ，求实数a ，b 的值 【思维切入】（A ）∩B=｛2｝，∴2∈
B ，
2∉A ，2是x 2-ax+b=0的根；同理A ∩B=
｛4｝，∴4∈A ， 4
∉B ，
4是x 2
+ax+12b=0的根. 【解析】
（A ）∩B=｛2｝，∴2∈B ，2∉A ，A ∩B=｛4｝，∴4∈A ， 4
∉B ，
∴⎩⎨
⎧=++=+012b 4a 160
b 2a -4，∴a=78，b= -7
12.
【规律技巧总结】深刻理解体会补集的含义，从而看懂（A ）∩B=｛2｝，A ∩B=｛4｝所隐含的意义是成功解答本题的关键. 精彩反思
同一集合在不同全集下补集是不同的,补集和全集是两个相互依存不可分割的概念,求某一集合的补集的前提是明确全集.全集因研究问题而异,是一个相对确定的概念.
【自我测评】
1.若集合M={0,1},I={0,1,2,3,4,5},则I C M 为( )
A {0,1} B{2,3,4,5} C{0,2,3,4,5} D{1,2,3,4,5} 2.设U=R,A={|24}x x x <>或,则
U C A =( )
A {|24}x x x <>或
B {|24}x x <<
C }42|{≤≤x x
D {|24}x x x ≥≤或
3.设集合I={0,1,2,3,4}为全集,集合A={0,1,2,3},B={2,3,4}则
()()I I C A C B =( )
A{0} B{0,1}
C{0,1,4} D{0,1,2,3,4}
4.设集合S={三角形},A={直角三角形},则
S C A =_________
5.设全集U={1,2,3,4,5,6},U C A ={5,6},则A=___________
【拓展迁移】
思维提升
6.设全集U={x|-5≤x ≤ 5},A={x|2<x ≤5},则C U A =___________
视野拓展
代数学的西文名称algebra 来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。

该著作名为“ilm al -jabr wa'1 muqab alah”，原意是“还原与对消的科学”。

这本书传到欧洲后，简译为algebra 。

清初曾传入中国两卷无作者的代数学书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》（李善兰译，1853）
§1.2.1函数的概念
第一课时
【课标定向】学习目标学习用集合与对应关系的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了
解构成函数的三要素;会求一些简单函数的
定义域. 提示与建议
通过丰富的实例体会函数是描述变量间的依赖关系的重要的数学模型.
【互动探究】
自主探究
1.设A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系F,使对于集合A 中的任意一个实数x,在数集B 中都有_________的数f(x)和它对应,那么就称f:A B →为从集合A 到集合B 的一个函数.记作_________.其中,x 叫做________,x 的取值范围A 叫做函数的_______.与x 值对应的y 的值叫做________,它的集合叫做__________.
2.一次函数,(0)y ax b a =+≠的定义域为_______,值域为_________. 剖例探法
★ 讲解点一 函数概念的理解
在严格的数学定义中,函数就是从一个集合A 到另一个集合B 的对应关系,这种关系的特殊性在于:A 中的任何一个元素在集合B 中都有对应元素,且对应元素是唯一的.
例题1 判断下列对应能否表示从集合A 到集合B 的函数.
(1),,:||A R B R f x x ==→; (2),{|0},:||A R B x x f x x ==>→; (3),,:A R B R f A B ==→“求平方根”; (4),,:A N B R f A B ==→“求算术平方根”.
【思维切入】就是看从集合A 到集合B 的对应是否满足: A 中的任何一个元素在集合B 中都有对应元素,且对应元素是唯一的. 【解析】(1)满足函数定义的要求,所以是函数.
(2)不是函数,因为A 的“0”在B 中没有对应元素;
(3)不是函数,因为A 中元素的对应元素不唯一(正实数的平方根有两个).
(4)是函数.
【规律技巧总结】关注函数定义的要求的同时注意集合中特殊元素的对应元素的特点. 例题2 从甲地到乙地火车票价为80元,儿童乘火车时,按身高确定免票、半票或全票.票价情况如下表： 身高h/m
购票款w/元 1.1h ≤
0 1.1 1.4h <≤ 40 h >1.4
80
（1）写出购票款w 关于儿童身高h 的函数关系式；
（2）写出函数的定义域和值域（不妨假设全世界最矮的儿童0.5m ，最高的2.7m ）. 【思维切入】将身高和票价的对应关系用数学式子表示出来即可.
【解析】(1)0(0.3 1.1)40(1.1 1.4)80(1.4 2.7)h w h h ≤≤⎧⎪
=<≤⎨⎪<≤⎩
;
(2)函数的定义域为{|0.3 2.7}h h ≤≤;值域为{0,40,80}.
【规律技巧总结】当函数的定义域的不同部分对应不同的解析式时,我们常表示为这样的分段函数的形式.
★ 讲解点二 函数符号)(x f y =的理解 （1）符号)(x f y = 是“y 是x 的函数”的数学表示，除了用)(x f 外 ，还常用
)(),(),(x G x F x g 等。

（2）)(x f 与)1(f 的含义不同。

)(x f 是变量x 的函数，在一般情况下是一
个变量；而)1(f 是自变量为1时所对应的函数值，是一个常量。

例题3 已知函数()217f x x x =-- (1)求11(0),(),(
);711
f f f (2)求函数的定义域. 【思维切入】(1)只要将函数式中x 分别换成
11
0,,711
,求出值即可;(2)函数的定义域就是保证式子有意义的x 的取值集合.
【解析】(1)(0)1f =-;
1127
()2777f ==
; 117()210111111
f =--=. (2)要使函数有意义,则
0170
x x ≥⎧⎨
-≥⎩,即1
07x ≤≤.所以函数的定义域为1{|0}7
x x ≤≤. 精彩反思
理解函数概念,要注意函数三要素:定义域,值域,对应法则,其中对应法则是核心.通俗的说,f 就是对自变量x 进行“操作”的“程序”,按照这一“程序”从集合A 中任一x,可得出B 中唯一y 与之对应.同一f 可以操作不同的变量,如f(x)是对x 进行操作,而f(2
x )则是对2
x 进行操作.
【自我测评】
下列用图标给出的函数关系中,当x=6时,对应的函数值y 等于( )
x 01x <≤ 15x <≤ 510x <≤ 10x > y 1
2
3
4
A2 B3 C4 D 无法确定
2.在上面的图表中,函数的定义域是( ) A {|010}x x << B {|010}x x <≤ C {|0}x x > D {|10}x x <
3.已知函数1(1)
()3(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩
,则
5
()2f =( ) A 12 B 32 C 52 D 92
4.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y=_______,其定义域为____________.
5.已知函数2()52f x x x =-+,求: (1)(3)f ;(2)(2)f -;(3)()f a .
【拓展迁移】
思维提升
6.已知函数2()45,()10f x x x f a =-+=,求a 的值.
视野拓展
20世纪著名数学家诺伯特·维纳，在博士学位的授予仪式上，当执行主席当面询问他的年龄时，维纳的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、
3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。

这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。

”
§1.2.1函数的概念 （第二课时）
【课标定向】
学习目标
了解构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则；会用区间表示函数的定义域，值域. 提示与建议
1.两个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.
2.求函数的定义域就是求使这个函数有意义的自变量的取值集合.
3.“∞”是一个符号，而不是一个数.
4.区间表示的是连续数集，不连续的数集不能用区间表示.
【互动探究】
自主探究
1.把下列数集用区间表示： （1）{|1}x x ≥-； （2）{|0}x x <； （3）R .
2.函数1y x x =-+的定义域是( )
A {|1}x x ≤
B {|0}x x ≥
C {|01}x x x ≤≥或
D {|01}x x ≤≤ 剖例探法
★ 讲解点一 函数三要素的应用 函数的三要素指定义域，值域，对应法则. 两
个函数当且仅当它们三要素完全相同时，才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同.
例题1 试判断下列函数是否为同一函数: (1)||
()x f x x =
与1,0,()1,0;
x g x x ≥⎧=⎨-<⎩ (2)()1f x x x =+与()(1)g x x x =+;
(3)f 2（x)=x -2x-1与g 2（t)=t -2t-1; (4)()1f x =与0()(0)g x x x =≠.
【思维切入】对于两个函数, 当且仅当它们
三要素完全相同时，才表示同一函数.判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域，对应法则是否相同. 【解析】(3)是,(1)(2)(4)不是.
对(1)来说,()f x 的定义域为[0,)+∞,而
x)g
（的定义域为R;对于(2), ()f x 的定义域为[0,)+∞,而x)g
（的定义域为(,1][0,)-∞-+∞,定义域也不同; (4)中的()f x 的定义域为R, x)g
（的定义域为{|0}x x ≠,因此也不是同一函数.
(3)中两个函数尽管自变量一个用x 一个用
t 表示,但它们的定义域相同,对于定义域中的同一个变量,根据对应法则都能得到同一个函数值,因此二者是同一个函数.。