6一阶电路

电路的电流为:
i C duC dt
C
1
d
dt
t
1t
(U0e RC
)
U0 R
1t
e RC
电阻的电压为: uR uC U0e RC
4
对于零输入响应，电容电压： uC
1t
uC (0 )e RC
1t
U0e RC
其中时间常数 =RC，决定了过渡过程的进展速度
R为电容C两端的等效电阻
uc、 uR、Leabharlann i随时间变化的曲线29将单位冲激电流 i=i( t) 加到初始电压为0，且C=1F的电容，则
电容电压为： uC
1 C
idt 1
C
i (t)dt
1 C
1V
电容电压由0跃变为1V
同理将单位冲激电压 u=u( t) 加到初始值电流为0，且L=1H的
电感，则电感电流为： 1 iL L
1
udt
L
u
(t)dt
电感电压:
uL
L
di dt
t
RI0e
9
例：6-3
励磁电路如图，电压表量程为
50V，开关S动作之前电路为稳态。
t≥0断开开关。求(1)时间常数；(2)
电流的初始值i(0+)和开关断开后 的稳态值 i(∞)； (3)电流i和电压
35V
表处的电压 uV； (4)t=0+ 时刻， 电压表处的电压 uV (0+) 。
得：
RC duC dt
uC
US
为一阶线性非齐次微分方程
解为：uC uC uC
一、RC电路的零状态响应
其中非齐次方程的特解
uC
U
；对应齐次方程的通解
S
uC
t
Ae
因此： uC
US
t
Ae
代入初始条件uC(0+)=0, 得A= -US
得 : uC
US
t
USe
t
US (1 e )
i C duC
KVL方程：RC
duC dt
uC
0
为一阶线性齐次微分方程
方程的通解为： uC Ae pt
将通解代入方程，得到相应的
特征方程：RCp+1=0
特征根为: p 1
RC
将初始条件uc(0+)= uc(0-)=U0 代入通解得到：A= uc(0+) =U0
1t
1t
满足初始条件的方程的解为： uC uC (0 )e RC U0e RC
由此，一阶电路三要素法的表达式：
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
其中： f(0+)为初始值；f(∞)为稳态值；为时间常数
当激励为正弦电源时，有： t f (t) f (t) [ f (0 ) f (0 )]e
其中：f (t)是特解，为稳态响应； f (0 )是稳态响应的初始值
d (t) (t)
dt
对于线性电路，阶跃响应与冲激响应之间有如下关系：
h(t) ds(t) dt
t
s(t) h(t)dt
其中s(t)为某一电路的阶跃响应， h(t)为同一电路的冲激响应
34
一些一阶电路的阶跃响应与冲激响应
35
由表中可以找到一些对偶关系
36
例：6-7 P149 图示电路中 iL (0-)=0, R1=6, R2=4, L=100mH。 求冲激响应iL 和uL。
一般经3 ~5时间，可以认为过渡过程结束
5
时间常数 的几何求法
t0
BC AB
tan
uC (t0 ) duC dt tt0
U0e
1
U
0e
t0
时间常数的几何意义 t0
放电过程中电容储存的能量被电阻所消耗
WR
i2 (t)Rdt
0
(U
0
e
1 RC
t
)2
Rdt
U
0
2
0R
R
2t
e RC dt
v
K1
K2
子弹
E
R
100V 6k
K3
C 0.01F G
l =3m
21
6-5 一阶电路的阶跃响应 单位阶跃响应——电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应
单位阶跃函数——一种奇异函数 有时也称为开关函数
单位 阶跃 函数 特性
(t)= 0 t≤01 t≥0+
(t-t0)=
0 1
t≤t0t≥t0+
作用于电路的等效模型
t≤0t≥0+
(t)dt 1
单位冲激函数可以理解为单位脉冲函数的极限情况。
lim p(t) (t) 0
面积始终为1
27
( t - t0)表示发生在t = t0 时的单位冲激函数 ； K( t - t0)表示 发生在t = t0 时，强度为K的冲激函数 。
( t)
K( t)
1
K
O
t0
t
O
L di dt
解为： i
Ri
i
UmCOS(t
t
i i Ae
u
)
特解或强制分量 自由分量 时间常数 =L/R
而：i
Um Z
cos(t
u
)
其中：Z R2 (L)2， tan L
方程的通解为：i
Um Z
cos(t
u
R
)
t
Ae
代入初始条件iL(0+)=0
A
Um Z
cos( u
)
得：i
6-1 动态电路的方程及其初始条件
分析一阶电路过渡过程的方法： （1）经典法——建立电路的微分方程，由初始条件求解 （2）三要素法——确定三个要素后，套用一般表达求解
一、一阶电路的方程
t≥0, 回路的KVL方程：
Ri uC U S
RC电路
代入电容伏安特性：i C duC
dt
得：RC
duC dt
uC
US
1
RL电路
t≥0, 回路的KVL方程：
Ri uL uS
代入电感伏安特性：uL
L
di dt
得：L di i uS
R dt R
二、动态电路的初始值 —— 若取t=0 作为电路起始时刻，则t=0 时刻电路各个电量的值
当电源为有限值时，有以下换路定则：
对于电容，有 uc(0+)= uc(0-)
在t = =RC时S又由2合向1，
求 t ≥ 0时的电容电压 uC(t)
仿真：p143(6-6)
uC 的波形
25
电路激励Us可以用矩形脉冲表示：uS (t) U S (t) U S (t )
26
6-6 一阶电路的冲激响应 ——电路对于单位冲激函数输入的零状态响应
单位冲激函数的定义
(t) = 0
: uC
US
(U0
t
U S )e
时间常数 RC
或 : uC
t
U0e
t
U S (1 e
)
17
电容电压
: uC
US
(U0
t
U S )e
或 : uC
t
U0e
t
U S (1 e
)
一般情况下，一阶电路的全响应为： 全响应=（零输入响应）+（零状态响应） 全响应=（稳态分量）+（暂态分量）
解为： iL
iL
t
Ae
特解 iL IS
代入初始条件iL(0+)=0, 得A= -IS
所以得： iL
t
IS (1 e
)
Rt
IS (1 e L )
时间常数 =L/R
而:
uL
L diL dt
t
RI S e
,
iR
uL R
t
ISe
14
如果外激励是正弦电压 uS =Umcos(t+u) 电路微分方程：
任意时刻 t0 起始的阶跃函数
22
单位阶跃函数起始任意一个f(t) 的情况
f (t) (t t0 )
f(t) t≥t0 0 t≥t0
23
对于以下波形也可以用单位阶跃函数表示 f(t)
f (t) (t) (t t0 )
f (t) (t 1) (t 2 )
24
例：6-6
电路图示，开关S动作前电路 为稳态。t = 0 时，S由1合向2，
对于电感，有 iL(0+)= iL(0-)
2
例：6-1 (a)
已知U0 为直流电压源，当电路达 到稳定状态时开关S打开。试求 uc(0+)、 iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、 uR2(0+)
(b)
3
6-2 一阶电路的零输入响应
——没有外激励，由电路动态元件的初始值引起的响应
一、RC电路的零输入响应
US
t
e
时间常数 RC
dt R
12
t
uC U S U Se
t
US (1 e )
iC
duC
US
t
e
dt R
仿真：p133
US
t
USe
uC 、i 的波形
13
二、RL电路的零状态响应
初始电流: iL (0 ) iL (0 ) 0
电路微分方程：L R
di dt
i
IS
为一阶线性非齐次微分方程
电流i 的波形
仿真演示p135
16
6-4 一阶电路的全响应 ——由非零初始状态和外激励引起的响应
初始条件uc(0+)= U0
KVL方程：RC
duC dt
uC
US
为一阶线性非齐次微分方程
解为：uC uC uC
解得： uC
US
t
Ae
代入初始条件uC(0+)=U0, 得A= U0 -US
电容电压
Um Z
cos(t
u
)
Um Z
c os( u
t
)e
15
i
Um Z
cos(t
u
)
Um Z
c os( u
t
)e
uR
Ri
RUm Z
cos(t
u
)
RUm Z
cos( u
t
)e
uL
L di dt
U
m
L
Z
c
os(t
u
2
)
U
m
R Z
t
cos(u )e
其中：Z R2 (L)2， tan L
R
i’’
18
例：6-4
电路如图，试求S闭合后电路
2
的电流iL 和i 。
10V
4H 2A
仿真：p139(6-4)
iL 随时间变化的曲线 19
例：6-5
电路如图所示，试求S
由1合向2后电压uL 。
iL
随时间变化的曲线
仿真：p140(6-5)
uL 随时间变化的曲线 20
例加1
有一子弹侧速的装置如图所示。设最初电路已达稳 态，测速时子弹先将开关K1打开，飞行l 距离后至联 动开关K2- K3，使K2打开的同时闭合K3。若此时冲 击电流计G测出电容的电荷Q=3.45微库仑。求子弹 的速度v 。
0.189 5k 0.398H
10
例：[E7.5] 设开关动作之前电路已处于稳态，求所有时间的t >0 的 uo 和 i 。
仿真：e7-5
11
6-3 一阶电路的零状态响应 ——初始状态为零，由外激励引起的响应
t =0 时刻开关闭合，电路的
KVL方程：uR uC U S
代入：uR iR，
i C duC dt
iL (t)
1
t
e
L
1
t L
eR
L
32
电感电流：iL (t) 电感电压：uL (t
1
t
e
L
) u (t
)
1 L R
t L
eR
iL (t)
R L
t
e
或：uL (t)
L diL dt
R L
t
e
L
R
iL 和 uL 的波形
33
❖ 阶跃响应与冲激响应之间的关系
由于阶跃函数和冲激函数之间满足关系：
t
( )d (t) ,
方程的通解为： i Ae pt
相应的特征方程：Lp+R=0
特征根为： p R L
代入初始条件得：A= i(0+) =U0 /R0
Rt
t
所以： i i(0 )e L I0e
时间常数 =L/R
换路后的电路
8
换路后的电路
电路电流:
i
Rt
i(0 )e L
t
I0e
t
电组电压: uR Ri RI0e
(0
)
1 C
31
在 t ≥0+ 后如图(b), uC ()=0, =RC
由uC
(t
)
uC
()
[uC
(0
)
uC
t
()]e
t
uC (t) uC (0 )e
1
t
e
C
1
t
e RC
C
二、RL电路的冲激响应
(b) t≥0+
(a)
(b) t≥0+
分析方法同上，RL电路在冲激电压u 激励下的零状态响应iL为：
i (t),
t 0
上式在 0- 到0+ 的区间积分
C 0 duC dt
0 dt
u 0 C dt R 0
0
0
i
(t
)dt
要使上式成立，uC(t) 不可能为冲激函数，即
(a)
u 0 C dt 0
R 0
所以： C[uC (0 ) uC (0 )] 1
由于uC (0 ) 0,则：
uC
37
t0
t
单位冲激函数的两个主要性质：
(1)单位冲激函数( t) 对时间的积分等于单位阶跃函数 ( t)。
t
( )d (t)
反之，单位阶跃函数 ( t)对时间的微分等于单位冲激函数 ( t)
d (t) (t)
dt
28
(2) 单位冲激函数( t) 的“筛分性质”。
由于： (t) = 0
t≤0t≥0+
对于连续函数 f(t)
(t)dt 1
有： f (t) (t) f (0) (t)
因此： f (t) (t)dt f (0) (t)dt f (0)
同理有：
f
(t) (t t0 )dt
f
(t0 )
(t
t0 )dt
f
(t0 )
即冲激函数具有把一个连续函数在某一时刻(t=0 或 t=t0) 的值 “筛”出来的能力，即“筛分”性质或取样性质。
1 L
1A
电感电流由0跃变为1A
注意：当冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，在 t=0- 到t=0+ 区间内，使电容电压或电感电流发生跃变。 一阶电路冲激响应的求解，在于计算在冲激函数作用下的 uC(0+) 或 iL(0+)。