江苏省淮安市高三数学第四次调查测试卷

江苏省淮安市高三数学第四次调查测试卷
2007.5
本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题）、填空题（第11题～第16题）、解答题（第17题～
21题）三部分.本次考试时间为120分钟.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
()(1)
k k n k
n n P k C P P -=- 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡的指定位置。

1．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =
，{}2,3,4,5,6,7B =，则集合A
B 的真子集个数为 （ ）
A 32个
B 31个
C 64个
D 63个 2．已知条件p ：),0(log )(tan +∞=在x x f α内是增函数，条件q ：2
4
π
απ
<
<，则p 是q 成立的（ ）
A 充要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分又不必要条件
3．若把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量()()0,>-=m m m a 平移，使所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是
（ ） A
6π
B
3π C
32π D 6
5π 4．下列命题正确．．的是 （ ） A 垂直于同一平面的两个平面互相平行
B 经过平面α的一条斜线的平面β与平面α一定不垂直
C 若a ，b 是异面直线，则过直线a 一定不能作与直线b 垂直的平面
D 若平面α，β相交但不垂直，则平面α内任意一条直线都与平面β不垂直
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()04858<--S S S S ，则 （ ） A 76a a > B 76a a < C 76a a = D 06=a 6．已知二项式（n x x x
)1
-的展开式中含有4x 的项， 则n 的一个可能值是 ( ) A 6
B 9
C 8
D 10
7．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数222-+++-=y x y x z 的最大值为( )
A 12
B 9
C 4
D 3 8．已知二面角l αβ--的平面角为θ,PA α⊥，PB β⊥，A B 、为垂足，设1PA =
，PB =
A B 、到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是 ( )
A
B
C D
9．已知函数x x f x
2log )3
1()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足
0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；
③c d <；④c d >中有可能成立的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 10．已知实数{
}2
210
,1010m n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}0
1
2
,,1,2,3,4,5,6a a a ∈，且
606=+n m ，则实数对()n m ,表示平面上不同点的个数为 ( )
A 32个
B 30个
C 62个
D 60个 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卡的指定位置. 11．将一组样本数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得到一组新的样本数据. 若求得新的
样本数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原样本数据的平均数为 ▲ ，方差为 ▲ 。

12．已知函数3
2
()31f x x ax ax =-++在区间(,)-∞+∞内存在极值，则实数a 的取值范围为 ▲ 。

13．已知平面内的向量OA 、OB 满足：|OA |=|OB |=1， OA 与OB 的夹角为3
π，又OP =x OA +y OB ，
01x ≤≤，12y ≤≤，则点P 的集合所表示的图形面积为 ▲ 。

14．已知椭圆221925
y x +=上的点i P 与7i P -（i =1,2,3）关于x 轴对称，且F 为该椭圆的一个焦点，则126PF P F P F +++= ▲ 。

15．如图为类似课本研究性学习课题《杨辉三角》中的竖直平面内一些通道， 图中粗线条均表示通道，一钢珠从入口处自上而下沿通道自由落入乙．
处 的概率是 ▲ 。

（第15题图）
入口
16．已知直线22223n y x x y m =++=和圆相切，其中m 、,||5n N m n +∈-≤，试写出所有满
足条件的有序实数对(m ，n )： ▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请将解题过
程写在答题卡指定的方框内。

17．（本小题满分12分）
已知△ABC
20BA AC ⋅+=。

（Ⅰ）求A tan 的值；
（Ⅱ）求
)
4
cos(12cos 2sin 22sin 22
A A
A A --+π
的值。

18．（本小题满分14分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆E 上的任意一点，
满足12PF PF ⋅的最小值为
2
12
a ，过1F 作垂直于椭圆长轴的弦长为3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，求22F A F B ⋅的取值范围．
A
E F
D
B C G P 19．(本小题满分14分)
如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA=AD=2，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点。

（Ⅰ）求证：PB ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求异面直线EG 与BD 所成的角；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得A 点到平面EFQ 的距离为0.8，若
存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由。

20．(本小题满分14分)
已知R t ∈，函数.2
1)(3
tx x x f +-
= （Ⅰ）当t=1时，求函数)(x f y =在区间[0，2]的最值； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2]上是单调函数，求t 的取值范围；
（Ⅲ））是否存在常数t ，使得任意6|)(|]2,2[≤-∈x f x 都有恒成立，若存在，请求出t ，若不
存在请说明理由.
21． (本小题满分16分)
设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合： ①2
1;2
n n n a a a +++≥
②,.*N n M a n ∈≤其中 M 是与n 无关的常数. （Ⅰ）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，442,20a S ==，证明：{}n S W ∈； （Ⅱ）设数列{}n b 的通项为W b n b n n n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围； （Ⅲ））设数列{}n c 的各项均为正整数，且{}n c W ∈，试证1n n c c +≤。

[参考答案]
一、选择题：
二、填空题：
11．40.6,1.1 12．(,0)(9,)-∞+∞ 13
14．30 15． 38
16．
（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答题： 17．（Ⅰ）
1
||||sin 2
S AB AC A ∆=
⋅⋅= ① …………………
2分 又
20BA AC ⋅+=
， ∴||
||cos 2.AB AC
A ⋅⋅=
② ………………
4分
由①、②得tan A = (6)
分
（Ⅱ）
)
4
cos(12cos 2sin 22sin 22
A A
A A --+π
A
A A A sin cos )
cos (sin 2+-=
………………………………………
8分 A
A tan 1)
1(tan 2+-=
……………………………………………………………………
10分 =
4=-+ …………………………………………………………………………
12分
18．（Ⅰ）设点P 00(,)x y ，则100200(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--，
22
2
2222120
02c PF PF x c y x b c a
∴⋅=-+=+-，22
2120
1,02PF PF a x a ⋅≥≤≤ 2
2
21,22b c a a c ∴-=∴=，又2222223
1,,2
c y b b y a b a a +=∴=±∴=，
2
2
4,3a b ==，∴椭圆的方程为：22
143
x y +
= …………………………………………7分
（Ⅱ）当过1F 直线
AB 的斜率不存在时，点3
3(1,),(1,)22A B ---，则2212
F A F B ⋅=-； 当过1F 直线
AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =+， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1)
143
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ 得：2222(43)84120k x k x k +++-=
22121222
8412
,4343k k x x x x k k --+=⋅=++ …………………………………………10分 2221212121222
2
2
121222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
79757
(1)(1)()(1)4344(43)
F A F B x x y y x x k x x k k x x k x x k k k ∴⋅=--+=--+++-=++-+++==-
++ 2227
0,34
k F A F B ≥∴-≤⋅<
……13分 综合以上情形，得：227
34
F A F B -≤⋅< ……………………………………………………14分
19、(解法一)（Ⅰ）取AB 中点H ，连结GH ，HE ，∵E ，F ，G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴GH ∥AD ∥EF ，∴E ，F ，G ，H 四点共面. ……………………1分 又H 为AB 中点，∴EH ∥PB. 又EH ⊂面EFG ，PB ⊄平面EFG ，
∴PB ∥平面EFG. ………………………………4分 （Ⅱ）取BC 的中点M ，连结GM 、AM 、EM ，则GM//BD ，
∴∠EGM （或其补角）就是异面直线EG 与BD 所成的角.……6分 在Rt △MAE 中， 622=+=
AM EA EM ，
同理6=EG ，又GM=22
1
==
BD GM ，………………7分 ∴在△MGE 中，63
2
626262cos 222=
⋅-+=⋅-+=∠GM EG ME GM EG EGM ………………8分
故异面直线EG 与BD 所成的角为arccos
6
3
， ………………………………9分
（Ⅲ）假设在线段CD 上存在一点Q 满足题设条件，过点Q 作QR ⊥AB 于R ，连结RE ，则OR ∥AD ，
∵ABCD 是正方形，△PAD 是直角三角形，且PA=AD=2，∴AD ⊥AB ，AD ⊥PA ， 又AB ∩PA=A ，∴AD ⊥平面PAB. ……………………………………10分 又∵E ，F 分别是PA ，PD 中点，∴EF ∥AD ，∴EF ⊥平面PAB. 又EF ⊂面EFQ ，∴面EFQ ⊥面PAB. ………………………………11分 过A 作AT ⊥ER 于T ，则AT ⊥平面EFQ ，
∴AT 就是点A 到平面EFQ 的距离. ………………………………12分
设(02)CQ x x =≤≤，则,2,1BR CQ x AR x AE ===-= 在8.01
)2(1
)2(,22=+-⋅-=⋅=
∆x x RE AE AR AT EAR Rt 中， …………………………
13分 解得.32=
x 故存在点Q ，当CQ=3
2
时，点A 到平面EFQ 的距离为0.8. ……………………… 14分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （0，0，1），F （0，1，1），G （1，2，0）. （Ⅰ）),0,1,0(),2,0,2(-=-=FE PB )1,1,1(-=FG …………1分 设FG t FE s PB +=， 即)1,1,1()0,1,0()2,0,2(-+-=-t s ，
.2,2,0,
2==⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=-=∴t s t s t t 解得
.,,,22共面与不共线与又FG FE PB FG FE FG FE PB ∴+=∴ ...............3分 EFG PB 平面⊄ ，∴PB ∥平面EFG. (4)
分
（Ⅱ）∵)0,2,2(),1,2,1(-=-=BD EG , …………………………………………5分
6
3
2
2642|
|||,cos =
⋅+-=
⋅⋅>=<∴BD EG BD EG BD EG ， ……………………… 8分
故异面直线EG 与BD 所成的角为arcos 6
3
. …………………………………… 9分
（Ⅲ）假设线段CD 上存在一点Q 满足题设条件，令m DQ m m CQ -=≤≤=2),20(则 ∴点Q 的坐标为（2－m ，2，0），).1,2,2(--=∴m EQ ……………………………………10分 而)0,1,0(=EF ， 设平面EFQ 的法向量为),,(z y x n =，则
⎪⎩⎪⎨⎧=--⋅=⋅=⋅=⋅.0)1,2,2(),,(,0)0,1,0(),,(m z y x EQ n z y x EF n ⎩
⎨⎧=-+-=∴.02)2(,0z y x m y
令)2,0,1(,1m n x -==则， ……………………………………………………12分 又)1,0,0(=AE ， ∴点A 到平面EFQ
的距离8.0)
2(1|2|2
=-+-=
=
m m d ，……13分
即916)2(2
=-m ，23
10
,31032>==
=∴m m m 或不合题意，舍去. 故存在点Q ，当CQ=3
2
时，点A 到平面EFQ 的距离为0.8. ……………………14分
20． (Ⅰ)0123)(,21)(23=+-='+-
=x x f x x x f ，3
6=∴x ………………2分 当]2,0[∈x 时，2)2()(,9
6
2)36()(min max -====f x f f x f ， …………4分 （Ⅱ）,23
023)(22x t t x x f ≥≥+-
='得)(,6x f t ≥∴是单调增函数； ………………6分 由,2
3023)(2
2x t t x x f ≤≤+-='得0,()t f x ∴≤是单调减函数； ………………8分
（Ⅲ）|)(|x f 是偶函数，对任意]2,2[-∈x 都有6|)(|≤x f 成立
⇔
对任意]2,0[∈x 都有6|)(|≤x f 成立 1°由（Ⅱ）知当0≤t 或6≥t 时，)(x f 是定义域上的单调函数，
对任意]2,0[∈x 都有6|)(|≤x f 成立516|42|6|)2(|≤≤-⇔≤-⇔≤⇔t t f
01≤≤-∴t 时，对任意]2,2[-∈x 都有6|)(|≤x f 成立 …………10分
2°当06t <<时，)2(2121)(23t x x x tx x f --=-
=，由23
6023)(2<==+-='t
x t x x f 得 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∴36,0)(t x f 在上是单调增函数⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡2,36t 在上是单调减函数，∴对任意]2,0[∈x 都有成立6|)(|≤x f ⎪
⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-⇔⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⇔3322430516962516)36(6
|)2(|t t t t t f f 3
2
243
0≤<∴t 时，对任意]2,2[-∈x 都有6|)(|≤x f 成立 ………………12分 综上可知，
当1t -≤≤
对任意]2,2[-∈x 都有6|)(|≤x f 成立 .……14分
21、（Ⅰ）设等差数列{n a }的公差是d ，则1132,4620a d a d +=+=，解得18,2a d ==- 所以n n d n n na S n 92
)
1(21+-=-+
= ……………………………………2分 由
)]1(18)1(2)2(9)2()9[(21
222212+-+++++-+-=-+++n n n n n n S S S n n n =－1＜0 得
,2
12++<+n n n S S S 适合条件①；又481)29(922
+--=+-=n n n S n ，所以当n =4或5时，n
S 取得最大值20，即n S ≤20，适合条件②。

综上所述， {}n S W ∈…………………………………………4分
（Ⅱ）因为n n n n n n n b b 25252)1(511-=+--+=-++，所以当n ≥3时，01<-+n n b b ，此时数列{}n b 单调递减；当n =1，2时，01>-+n n b b ，即123b b b <<
因
此
数
列
{}
n b 中的最大项是
37
b =，所以
M
≥
7………………………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在正整数k ，使得1+>k k c c 成立，
由数列{}n c 的各项均为正整数，可得1111-≤+≥++k k k k c c c c 即 ……………10分
因为2)1(22,2
1212
-=--≤-≤≤+++++k k k k k k k k k c c c c c c c c c 所以 ……11分
由 2112111212,2,1k k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c c +++++++++≤-><-=≤-及得故 …13分
因为
32)1(22,2
11112323
1-≤-=--≤-≤≤++++++++++k k k k k k k k k k c c c c c c c c c c 所以 依次类推，可得)(*N m m c c k m k ∈-≤+ ……………………………………………15分
又存在M ，使k c M ≤，总有M m <，故有0k m c +<，这与数列（n c ）的各项均为正整数矛盾！
所以假设不成立，即对于任意n N +
∈,都有1+≤n n c c 成立. ………………16分。