2012年北京市高考数学理科试卷及答案解析

2012北京理科高考试卷及答案解析精校版
一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3--
｝ C. ﹙2
,33
-﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组02
02x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π
- C.6
π
D. 44π-
3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16
5.如图. ∠ACB=90º，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2
AD AB CD =g D.2
CE EB CD =g
6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.2865+ B. 3065+ C.56125+ D.60125+
8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前m
A.5
B.7
C.9
D.11
二.填空题共6小题。

每小题5分。

共30分. 9.直线21x t y t =+⎧⎨
=--⎩ (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α
α=⎧⎨=⎩
(α为参数)的交点个数为
10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若11
2
a =，23S a =，则2a = ，n S =
11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1
cos 4
B =-，则b =
12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线2
4y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60º.则OAF V 的面积为
13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB u u u r u u u r
g
的值为
14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，有()0f x <或
()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，使得()()0f x g x <g 则m 的取值范围是
三、解答题公6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=。

（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2）
求f （x ）的单调递增区间。

16. （本小题共14分）
如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C ⊥CD,如图2.
（1）求证：A1C ⊥平面BCDE ；
（2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？
说明理由 17．（本小题共13分）
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活
图2
图1
A C
C
B
垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ﹥0，a+b+c=600.当数据a ，b ，c 的方差2
s 最大时，写出a ，b ，c 的值（结论不要求证明），并求此时2
s 的值。

（注：2
222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++-L ：
，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数） 18．（本小题共13分）
已知函数2
()1f x ax =+（0a >），3
()g x x bx =+
（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； （2）当2
4a b =时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值，
19．（本小题共14分） 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m ∈R) （1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。

20．（本小题共13分）
设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m ，n)为所有这样的数表构成的集合。

对于A ∈S(m,n),记ri(A)为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），Cj(A)为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）： 记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

对如下数表A ，求K （A ）的值；
（2）设数表A ∈S （2,3）形如
求K （A ）的最大值；
（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2,2t+1），求K （A ）的最大值。

一、选择题
1、D
2、D
3、B
4、C
5、A
6、B
7、B
8、C 二、填空题
9、2 10、1；24n n
+
11、4 12 13、1 14、(4,2)--
三、解答题 15．(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x
f x x x x x x
--=
==-
{}π
sin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛
⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭
Z ，，
（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．
（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
，k ∈Z
16． 解：（1）Q CD DE ⊥，1A E DE ⊥
∴DE ⊥平面1ACD ，又Q 1A C ⊂平面1ACD ， ∴1A C ⊥DE
又1
AC CD ⊥， ∴1A C ⊥平面BCDE
（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，
，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，
∴(103A B =-u u u r
，，,()1210A E =--u u u u r ，，
设平面1A BE 法向量为()n x y z =r
，，
则1100
A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r
∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩
∴2
z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴(12n =-r ，
又∵(10M -，
∴(10CM =-u u u u r ，
∴cos ||||CM n CM n θ⋅====⋅u u u u r r u u u u r r
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒
（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，
则(10A P a =-u u u r
，，，()20DP a =u u u r ，，
设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =u u r
，，
则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
∴11
1112z x ay
⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴()
136n a =-u u r ， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=u u r r
，
∴31230a a ++=，612a =-，2a =-
∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直
17．（1）由题意可知：
4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403
=100010
y C
（3）由题意可知：22221
(120000)3
s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =．
18．（1）由()1c ，为公共切点可得：
2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，
∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+， ∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3
3a b =⎧⎨
=⎩
． （2）Q 24a b =，∴设3221
()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++
则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26
a
x =-；
Q 0a >，∴26
a a -<-，
∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫
-+∞ ⎪
⎝⎭，上单调递增，且()(0)12a h h -== ①若12a
--≤，即2a ≤时，最大值为2
(1)4
a h a -=-；
②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
③若16a --
≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
．
19．（1）原曲线方程可化简得：22
18852
x y m m +=-- 由题意可得：88528058
02m m m
m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：7
52m <<
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：2
2(21)16240k
x kx +++=，
2
=32(23)k ∆-，解得：2
32
k >
由韦达定理得：21621
M N k
x x k +=
+①，22421M N x x k =+，②
设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，
MB 方程为：62M M kx y x x +=
-，则316M M x G kx ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
u u u r ，，()2N N AN x x k =+u u u r ，，
欲证A G N ，，三点共线，只需证AG u u u r ，AN u u u r
共线
即
3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

20．（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =- ∴()0.7k A =
（2）先用反证法证明()1k A ≤：
若()1
k A >
则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >
同理可知0b >，∴0a b +> 由题目所有数和为0 即1a b c ++=- ∴11c a b =---<- 与题目条件矛盾 ∴()1k A ≤．
易知当0a b ==时，()1k A =存在 ∴()k A 的最大值为1
另解：因为数表中所有数和为0，1a b c ∴++=-，10a b c +=--≤，1c a b =---
1()1r A a b =--，2()1r A a b =--，1()1c A a =+，2()1c A b =+，3()2c A a b =++
()1k A a ∴=+或()1k A b ∴=+，当0a b ==，1c =-时，()k A 取到最大值1。

（3）()k A 的最大值为
212t t ++.首先构造满足21
()2
t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211
...1, (2)
t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,2
2,2,12,22,211
...,...1(2)
t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+.
经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且
1221
|()||()|2
t r A r A t +==
+， 2121121
|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，
1221121
|()||()|...|()|122
t t t t t c A c A c A t t +++-+====+
=
++.
下面证明
212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21
()2
t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.
设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.
考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此
()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =≤⋅++-=+-+=++-+<，
故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾.。