八年级等腰三角形分类讨论

分类讨论
全等三角形 等腰三角形 直角三角形中的分类讨论
一、腰或底边不确定时需讨论
1．等腰三角形两边长为3 cm 和5 cm ，则它的周长是( C )
A ．11 cm
B ．13 cm
C ．11 cm 或13 cm
D ．以上答案都不正确
2．已知等腰三角形的两边长分别为a ，b ，且a ，b 满足＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( A )
A ．7或8
B ．6或10
C ．6或7
D ．7或10
3、如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是。

二、顶角或底角不确定时需讨论
4．等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( D )
A ．50°
B ．65°
C ．80°
D ．50°或80°
5．等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____80°或20°_．
6．已知△ABC 中，∠A ＝40°，则当∠B ＝___ 70°或100°或40°____时，△ABC 是等腰三角形．
三、三角形形状不确定时需讨论
7．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是( D )
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．30°或150°
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为___63°或27° _________．
9．△ABC 的高AD ，BE 所在的直线交于点M ，若BM ＝AC ，求∠ABC 的度数．
b
a
y x
A O
解析. 两种情况考虑：当∠ABC 为锐角时，
如图1所示，∵AD ⊥DB ，BE ⊥AC ，
∴∠MDB ＝∠AEM ＝90°，∵∠AME ＝∠BMD ，∴∠CAD ＝∠MBD ，
在△BMD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°
∠DBM ＝∠DAC ，BM ＝AC
∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，
∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°
当∠ABC 为钝角时，如图2所示，∵BD ⊥AM ，BE ⊥AC ，
∴∠BDM ＝∠BEC ＝90°，∵∠DBM ＝∠EBC ，∴∠M ＝∠C ，在△BMD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠BDM ＝∠ADC ＝90°
∠M ＝∠C ，
BM ＝AC
∴△BMD ≌△ACD(A .A .S .)，∴AD ＝BD ，即△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，则∠ABC ＝135°
.∴综上所述，∠ABC ＝45°或135°
10、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形周长为： .
四、由题目条件的不确定性引起的分类讨论
11．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( C )
A ．7
B ．11
C ．7或11
D ．7或10
12．已知O 为等边△ABD 的边BD 的中点，AB ＝4，E ，F 分别为射线AB ，DA 上一动点，且∠EOF ＝120°，若AF ＝1，求BE 的长．
解析：当F 在线段DA 的延长线上，如图1，作OM ∥AB 交
AD 于M ，∵O 为等边△ABD 的边BD 的中点，∴OB ＝2，∠D ＝∠ABD ＝60°，∴△ODM 为等边三角形，∴OM ＝MD ＝2，∠OMD ＝60°，∴FM ＝FA ＋AM ＝3，∠FMO ＝∠BOM ＝120°，∵∠EOF ＝120°，∴∠BOE ＝∠FOM ，而∠EBO ＝180°－∠ABD ＝120°，∴△OMF ≌△OBE ，∴BE ＝MF ＝3；
当F 点在线段AD 上，如图2，同理可证明△OMF ≌△OBE ，则BE ＝MF ＝AM －AF ＝2－1＝1.∴综上所述，BE ＝3或1
13．已知点P 为线段CB 上方一点，CA ⊥CB ，PA ⊥PB ，且PA ＝PB ，PM ⊥BC 于M ，若CA ＝1，PM ＝4.求CB 的长．
14、在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于 6或10
解析： 此题分以下两种情况：①如图1，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎨⎧∠N ＝∠BMP ∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB
，
∴△PMB ≌△PNA ，∴PM ＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝3，∴BC ＝7；
②如图2，过P 作PN ⊥CA 于N ，∵PA ⊥PB ，∴∠APB ＝90°，∵∠NPM ＝90°，
∴∠NPA ＝∠BPM ，在△PMB 和△PNA 中，⎩⎨⎧∠N ＝∠BMP
∠NPA ＝∠BPM PA ＝PB
，∴△PMB ≌△PNA ，∴PM
＝PN ＝4＝CM ，BM ＝AN ＝5，可得BC ＝9.综上所述，CB ＝7或9
自主练习：
1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________
2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.
3.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角是______度.
5.为美化环境，计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
6. 如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）．
（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′；
（2）在图2中，点D，E为格点（小正方形的顶点），则线段DE=；若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形，标出所有的点F．
7.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（－2，2），试在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标
8、平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A．5 B．6 C．7 D．8 9、如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是5或4或5．
10、平面直角坐标系中，点A（2，2），B（32，32），动点C在x轴上，若以
A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ B ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的一个底角的
度数是（ B ）
A ．45°
B ．22.5°或67.5°
C ．45°或135°
D ．45°或67.5°
12、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中，A （10，0），C （0，
4），D 为OA 的中点，P 为BC 边上一点．若△POD 为等腰三角形，
则所有满足条件的点P
的坐标为 （2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．
13、已知，等腰三角形的一条边长等于6cm ，另一条边长等于4cm ，则此等腰三角形的周长是__14cm 或16cm .
等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和18，则这个等腰三角形的腰长 为 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的是
23、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，若动点P 从点C 开始，按C →A →B →C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，CP 把△ABC 的周长分成相等的两部分．
（2）当t 为何值时，CP 把△ABC 的面积分成相等的两部分，并求出此时CP 的长；
（3）当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？
答案：（1）6；（2）5；（3）3或5.4或6或6.5
如图，在△ABC 中，∠B =60°，AB=12㎝,BC =4㎝,现有一动点P 从点A 出发，以2㎝/秒的速度沿射线
AB 运动，试回答下列问题：
（1）运动几秒时△PBC 为等腰三角形？
（2）运动几秒时△PBC 为直角三角形？
P C B A P
C B A
15．如图钢架中，∠A=n°，依次焊上等长的钢条P1P2，P2P3，……，来加固钢架，若P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上4根，则n的取值范围是18°≤n＜22.5° .
16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是 .
附件1：律师事务所反盗版维权声明
如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：
①AD=EC；②BM=BN；③ MN∥AC；④EM=MB。