《试卷3份集锦》济南市某名校2017-2018年九年级上学期数学期末考前模拟试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B'的坐标是( )
A ．(3，2)
B ．(－2，－3)
C ．(2，3)或(－2，－3)
D ．(3，2)或(－3，－2)
【答案】D 【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．
【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的
14， ∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B 的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（−3，−2）．
故答案为：D ．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．
2．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF ①≌;OGE FGC ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14
；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．③④
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案. 【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，
,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，
90MON ∠︒＝，
COM DOF ∴∠∠＝，
COE DOF ASA ∴≌（）
， 故①正确；
90EOF ECF ∠∠︒②＝＝，
∴点,,,O E C F 四点共圆，
∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，
∴OGE FGC ∽，
故②正确；
③COE DOF ≌，
COE DOF S S ∴＝，
14
OCD ABCD CEOF S S
S ∴==正方形四边形， 故③正确； COE DOF ④≌，
OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒＝，
EOF ∴是等腰直角三角形，
45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，
EOG COE ∠∠＝，
OEG OCE ∴∽，
::OE OC OG OE ∴＝，
2•OG OC OE ∴＝，
122
OC AC OE EF ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，
,CE DF BC CD ＝＝，
BE CF ∴＝，
又Rt CEF 中，222CF CE EF +＝，
222BE DF EF ∴+＝，
22•OG AC BE DF ∴+＝，
故④错误，
故选B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.
3．如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．140°
D ．150°
【答案】C 【解析】试题分析：如图，延长AC 交EF 于点G ；∵AB ∥EF ，∴∠DGC=∠BAC=50°；
∵CD ⊥EF ，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C ．
考点：垂线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质
4．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝70°，AB ＝3，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）
A ．13π
B ．23π
C ．76π
D ．43
π 【答案】A
【分析】连接OE ，由菱形的性质得出∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝AB ＝3，得出OA ＝OD ＝1.5，由等腰三角形的
性质和三角形内角和定理求出∠DOE ＝40°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】连接OE ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠D ＝∠B ＝70°，AD ＝AB ＝3，
∴OA ＝OD ＝1.5，
∵OD ＝OE ，
∴∠OED ＝∠D ＝70°，
∴∠DOE ＝180°﹣2×70°＝40°，
∴DE 的长= 40 1.511803
ππ⨯=. 故选:A.
【点睛】
此题考查菱形的性质、弧长计算，根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长.
5．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，则下列结论正确的是（ ）
①0b <；②240b ac ->；③a c b +<；④0c >
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x ＜1，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【详解】∵二次函数的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，故④正确；
∵0＜−2b a
＜1， ∴b ＞0，故①错误；
当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，
∴a ＋c ＜b ，故③正确；
∵二次函数与x 轴有两个交点，
∴△＝b 2−4ac ＞0，故②正确
正确的有3个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．
6．如图直线y ＝mx 与双曲线y=
k x
交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =1S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值．
【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S △ABM ＝1S △AOM ＝1，S △AOM ＝
12|k|＝1， 则k ＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝1．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y ＝k x
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
7．若反比例函数y=k x 的图象经过点（2，﹣1），则k 的值为（ ） A ．﹣2
B ．2
C ．﹣12
D ．12
【答案】A 【解析】把点（1，-1）代入解析式得-1=
2
k ， 解得k=-1．
故选A ． 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，P 是AB 上一点，将△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E ，且在AD 上，BE 交PC 于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（ ） ①BP ＝BF ；②若点E 是AD 的中点，那么△AEB ≌△DEC ；③当AD ＝25，且AE ＜DE 时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin ∠PCB ＝310；⑤当BP ＝9时，BE•EF ＝1．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C 【分析】①根据折叠的性质∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，从而证明BE ⊥CG 可得BE ∥PG,推出∠BPF
＝∠BFP ,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD 的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE ≌△DCE;③先根据题意证明△ABE ∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE 即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出
△ECF ∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin 值;⑤连接FG,先证明▱BPGF 是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF ∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE ·EF ．
【详解】①在矩形ABCD ，∠ABC ＝90°，
∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，
∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，
∵BE ⊥CG ，
∴BE ∥PG ，
∴∠GPF ＝∠PFB ，
∴∠BPF ＝∠BFP ，
∴BP ＝BF ；
故①正确；
②在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，
∵E 是AD 中点，
∴AE ＝DE ，
在△ABE 和△DCE 中，
=90AB DC A D AE DE =⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCE (SAS )；
故②正确；
③当AD ＝25时，
∵∠BEC ＝90°，
∴∠AEB+∠CED ＝90°，
∵∠AEB+∠ABE ＝90°，
∴∠CED ＝∠ABE ，
∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABE ∽△DEC ， ∴AB DE AE CD
=， 设AE ＝x ，
∴DE ＝25﹣x ， ∴122512
x x -=， ∴x ＝9或x ＝16，
∵AE ＜DE ，
∴AE ＝9，DE ＝16；
故③正确；
④由③知：CE
20==，BE
15==， 由折叠得，BP ＝PG ，
∴BP ＝BF ＝PG ，
∵BE ∥PG ，
∴△ECF ∽△GCP ， ∴EF EC PG CG
=， 设BP ＝BF ＝PG ＝y ， ∴152025
y y -=，
∴y ＝253， ∴BP ＝25
3， 在Rt △PBC 中，PC ＝2
2222525251033PB BC ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
， ∴sin ∠PCB ＝25
1032510
103
PB PC ==； 故④不正确；
⑤如图，连接FG ，
由①知BF ∥PG ，
∵BF ＝PG ＝PB ，
∴▱BPGF 是菱形， ∴BP ∥GF ，FG ＝PB ＝9，
∴∠GFE ＝∠ABE ，
∴△GEF ∽△EAB ，
∴EF GF AB BE
=， ∴BE•EF ＝AB•GF ＝12×9＝1；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，4个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．
9．如图，点D 是ABC 中BC 边的中点，DE AC ⊥于E ，以AB 为直径的
O 经过D ，连接AD ，有下列结论：①AD BC ⊥;②EDA B ∠=∠;③12
OA AC =;④DE 是O 的切线.其中正确的结论是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．②③
D ．①②③④
【答案】D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O 为AB 的中点，得出AO 为AB 的一半，故AO 为AC 的一半,选项③正确；由OD 为三角形ABC 的中位线，根据中位线定理得到OD 与AC 平行，由AC 与DE 垂直得出OD 与DE 垂直，ODE 90∠=︒，选项④正确；由切线性质可判断②正确.
【详解】解：∵AB 是圆的直径，∴ADB 90∠=︒，∴AD BC ⊥，选项①正确；
连接OD,如图，
∵D 为BC 的中点，O 为AB 的中点，∴DO 为ABC 的中位线，
∴OD AC ，
又∵DE AC ⊥，∴DEA 90∠=︒,∴ODE 90∠=︒,∴DE 为圆O 的切线，选项④正确；
又OB=OD,
∴ODB B ∠∠=，
∵AB 为圆的直径，∴ADB 90∠=︒
∵EDA ADO 90∠∠+=︒
∴BDO ADO 90∠∠+=︒
∴EDA B ∠∠=，选项②正确；
∴AD 垂直平方BC ，
∵AC=AB，2OA=AB ∴1OA 2
AC =，选项③正确 故答案为：D.
【点睛】
本题考查的知识点主要是圆的切线的判定及其性质，圆周角定理及其推论，充分理解各知识点并能熟练运用是解题的关键.
10．用配方法解方程x 2﹣2x ﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A ．（x+1）2＝6
B ．（x+2）2＝9
C ．（x ﹣1）2＝6
D ．（x ﹣2）2＝9
【答案】C
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：由原方程移项，得
x 2﹣2x ＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x 2﹣2x+1＝1
∴（x ﹣1）2＝1．
故选：C ．
【点睛】
此题考查利用配方法将一元二次方程变形，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.
11．若函数2(0)y ax bx c a =++≠其几对对应值如下表，则方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数）根的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2 【答案】C 【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x 轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．
【详解】由表格可得，二次函数的图象与x 轴有2个交点
则其对应的一元二次方程20ax bx c ++=根的个数为2
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键． 12．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值是( )
A．4
5
B．
3
5
C．
3
4
D．
4
3
【答案】C
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【详解】∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
根据勾股定理，BC=2222
1068
AB AC
-=-=
tanB=
63
84 AC
BC
==．
故选C．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，正方形ABEF与正方形BCDE有一边重合，那么正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O 旋转得到的，则图中点O的位置为_____．
【答案】点B或点E或线段BE的中点．
【分析】由旋转的性质分情况讨论可求解；
【详解】解：∵正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，
∴若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点B；
若点A与点D是对称点，则点B是旋转中心是BE的中点；
若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点E；
故答案为：点B或点E或线段BE的中点．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用分类讨论是本题的关键．
14．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留
根号）．
【答案】3（5﹣1） 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（512
-）叫做黄金比． 【详解】根据黄金分割点的概念和AC ＞BC ，得：AC=
51-AB=51-×6=3（5﹣1）． 故答案为：3（5﹣1）．
15．关于x 的一元二次方程2340x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________．
【答案】43
k < 【分析】根据根的判别式即可求出答案；
【详解】解：由题意可知：224(4)4316120b ac k k =-=--⨯⨯=->
解得：43
k < 故答案为：43k <
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用． 16．如图，平行四边形ABCD 的一边AB 在x 轴上，长为5，且∠DAB ＝60°，反比例函数y ＝23和y ＝33x
-分别经过点C ，D ，则AD ＝_____．
【答案】1
【分析】设点C （23x ，则点D （3,2x -23x ），然后根据CD 的长列出方程，求得x 的值，得到D 的坐标，解直角三角形求得AD ．
【详解】解：设点C （23x ），则点D （3,2x -23， ∴CD ＝x ﹣（32
x -）＝52x
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝5，
∴
5
2
x＝5，解得x＝1，
∴D（﹣3，3），
作DE⊥AB于E，则DE＝3，
∵∠DAB＝60°，
3
2
sin603
2
DE
AD
∴===
︒
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．
17．如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则
OC
CD
的值为__________
【答案】
2
2
【分析】由旋转角的定义可得∠DCM=75°，进一步可得∠NCO=60°，△NOC是30°直角三角形，设DE=a，将OC，CD用a表示，最后代入即可解答．
【详解】解：由题意得∠DCM=75°，∠NCM=∠ECD=45°
∴∠NCO=180°-75°-45°=60°
∴∠ONC=90°-60°=30°
设CD=a，2a
∴OC=
1
2
2a
∴22
OC CD a ==
． 【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，抓住旋转的旋转方向、旋转角，找到旋转前后的不变量是解答本题的关键． 18．若
53a b =，则332a b a b
--的值为__________． 【答案】43
【分析】直接利用已知得出53b a =，代入332a b a b
--进而得出答案． 【详解】∵53
a b = ∴53
b a = ∴332a b a b --=552b b b b --=43
故填：43. 【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个.
（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？ （2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）50元；（2）该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【分析】（1）设该商品的售价是每个x 元，根据利润=每个的利润×销售量，即可列出关于x 的方程，解方程即可求出结果；
（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，根据利润=每个的利润×销售量即可得出y 关于x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）设该商品的售价是每个x 元，
根据题意，得：()()30600104010000x x ---=⎡⎤⎣⎦，
解之得：150x =，280x =（不合题意，舍去）.
答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；
（2）设该商品的售价为每个x 元，利润为y 元，则
()()2y x 3060010x 4010x 1300x 30000=---=-+-⎡⎤⎣⎦()2
106512250x =--+， ∴当65x =时，利润y 最大，最大利润是12250元.
答：该商品的售价为每个65元时，商场销售该商品的平均月利润最大，最大利润是12250元.
【点睛】
本题是一元二次方程和二次函数的应用题，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题关键.
20．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行902km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，求A ，C 两港之间的距离．
【答案】（90+303）km ．
【分析】过B 作BE ⊥AC 于E ，在Rt △ABE 中，由∠ABE ＝45°，AB ＝902，可得 AE ＝BE ＝22
AB ＝90km ，在Rt △CBE 中，由∠ACB ＝60°，可得CE ＝33
BE ＝303km ，继而可得AC ＝AE+CE ＝90+303． 【详解】解：根据题意得，∠CAB ＝65°﹣20°＝45°，∠ACB ＝40°+20°＝60°，AB ＝90
， 过B 作BE ⊥AC 于E ，
∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°，
在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝45°，AB ＝902，
∴AE＝BE＝
2
2
AB＝90km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝3
BE＝303km，
∴AC＝AE+CE＝90+303，
∴A，C两港之间的距离为（90+303）km．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．
21．西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，3≈1.732)
【答案】12.20米
【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．
【详解】设AB=x米．
Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．
Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°
3
=x米．
CD=BD﹣BC=(1
3
-，
解得：3
即3米．
∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，
∴AM=AB﹣3≈12.20(米)．
答：这棵树高12.20米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题． 22．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ． （1）如图（1），连接AF 、CE ．
①四边形AFCE 是什么特殊四边形？说明理由；
②求AF 的长；
（2）如图（2），动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．
【答案】（1） ①菱形，理由见解析；②AF ＝1；（2） 43
秒． 【分析】（1）①先证明四边形ABCD 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
②根据勾股定理即可求AF 的长；
（2）分情况讨论可知，P 点在BF 上；Q 点在ED 上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）①∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠CAD ＝∠ACB ，∠AEF ＝∠CFE ．
∵EF 垂直平分AC ，
∴OA ＝OC ．
在△AOE 和△COF 中，
CAD ACB AEF CFE A C O O ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOE ≌△COF(AAS)，
∴OE ＝OF(AAS)．
∵EF ⊥AC ，
∴四边形AFCE 为菱形．
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝(8﹣x)cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得
16+(8﹣x)2＝x2，
解得：x＝1，
∴AF＝1．
（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC＝QA，
∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝1t，QA＝12﹣4t，
∴1t＝12﹣4t，
解得：t＝4
3
．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝4
3
秒．
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．
23．小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
【答案】（1）如图，BE为所作；见解析；（2）小亮（CD）的影长为3m．
【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，连
接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【详解】（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：
（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子，
AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6，
∵AB ∥OP ，
∴△EBA ∽△EOP ， ∴,AB EB OP EO =即1.6 1.2,1.2 2.4
OP =+ 解得OP ＝4.8，
∵CD ∥OP ，
∴△FCD ∽△FPO ，
∴CD FD OP FO =，即1.64.86
FD FD =+， 解得FD ＝3
答：小亮（CD ）的影长为3m ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
24．数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5
米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．
4米，台阶的高度均为3．3米，宽度均为3．5米．求大树的高度AB ．
【答案】3.45米
【分析】根据平行投影性质可得：1.50.92MN =；1.52 4.6
AB =. 【详解】解：延长DH 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于N ．
可求 3.4BM =，0.9DM =．
由1.50.92MN =，可得 1.2MN =． ∴ 3.4 1.2 4.6BN =+=． 由
1.52 4.6AB =，可得 3.45AB =． 所以，大树的高度为4．45米．
【点睛】
考核知识点：平行投影.弄清平行投影的特点是关键.
25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．
（1）求证：△DOB ∽△ACB ；
（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；
（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）1；（3）5013
． 【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD ＝x ，CD ，BD ，BO 用x 表示出来，所以可得BD 长.(3)同（2）原理，BD ＝B′D ＝x,
AB′，B′O ，BO 用x 表示,利用等腰三角形求BD 长.
试题解析：
（1）证明:∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝90°，
∴∠ACB ＝∠DOB ＝90°,
又∵∠B ＝∠B ．∴△DOB ∽△ACB ．
（2）∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC,DO ⊥AB,
∴DO ＝DC,
在 Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝,8，∴AB ＝10,
∵△DOB ∽△ACB,
∴DO ∶BO ∶BD ＝AC ∶BC ∶AB ＝3∶4∶1,
设BD ＝x ，则DO ＝DC ＝35x ，BO ＝45x, ∵CD ＋BD ＝8，∴35
x ＋x ＝8，解得x ＝,1，即：BD ＝1． （3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，
BO ＝B′O ＝45
x ，BD ＝B′D ＝x, ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,
∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,
∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，
∴x ＋
45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013
， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.
②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆. ③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；
如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.
(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（1），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.
(1)
26．在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，且点M 不与B、C 重合，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；
②若点P，Q，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为：．
【答案】（1）详见解析；（1）①详见解析；②BP=AB．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（1）①连接BD，如图1，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；
②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；
【详解】（1）解：补全图形如图1：
（1）①证明：连接BD，如图1，
∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ ，
∴AQ=AP ，∠QAP=90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB ，∠DAB=90°，
∴∠1=∠1．
∴△ADQ ≌△ABP ，
∴DQ=BP ，∠Q=∠3，
∵在 Rt △QAP 中，∠Q+∠QPA=90°，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，
∵在 Rt △BPD 中，DP1+BP1=BD1， 又∵DQ=BP ，BD 1=1AB 1，
∴DP 1+DQ 1=1AB 1．
②解：结论：BP=AB ．
理由：如图 3 中，连接 AC ，延长 CD 到 N ，使得 DN=CD ，连接 AN ，QN ．
∵△ADQ ≌△ABP ，△ANQ ≌△ACP ，
∴DQ=PB ，∠AQN=∠APC=45°，
∵∠AQP=45°，
∴∠NQC=90°，
∵CD=DN ，
∴DQ=CD=DN=AB ，
∴PB=AB ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴
27．计算:()1
46023045cos sin tan -︒--︒+︒.
【答案】2
【分析】首先计算各锐角三角函数值，然后进行计算即可.
【详解】原式11142122
-=⨯
--⨯+ =2-1+1 2=
【点睛】
此题主要考查锐角三角函数的相关计算，牢记锐角三角函数值是解题关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB a =，宽BC b.=将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b (= )
A ．2：1
B 2：1
C ．33
D ．3：2
【答案】B 【分析】根据折叠性质得到AF ＝12AB ＝12a ，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF ＝，即12
a b b a ＝，然后利用比例的性质计算即可．
【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF ，
∴AF ＝12AB ＝12
a ， ∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似， ∴AB AD AD AF ＝，即12
a b b a ＝， ∴a ∶b 2.
所以答案选B.
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．关于反比例函数y=2x
，下列说法中错误的是（ ） A ．它的图象是双曲线
B ．它的图象在第一、三象限
C ．y 的值随x 的值增大而减小
D ．若点（a ，b ）在它的图象上，则点（b ，a ）也在它的图象上
【答案】C
【分析】根据反比例函数y=
2x
的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析、解答． 【详解】A ．反比例函数2y x =的图像是双曲线，正确； B ．k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；
C ．在每一象限内，y 的值随x 的增大而减小，错误；
D ．∵ab=ba ，∴若点（a ，b ）在它的图像上，则点（b ，a ）也在它的图像上，故正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
3．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A ．120°
B ．180°
C ．240°
D ．300° 【答案】B
【详解】试题分析：设母线长为R ，底面半径为r ，
∴底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=πrR ，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr 2=πrR ，
∴R=2r ，
设圆心角为n ，有180
n R =2πr=πR ， ∴n=180°．
故选B ．
考点：圆锥的计算
4．如图，CD 是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．70°
【答案】C 【解析】试题分析：如图，连接AD ． ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）； 在Rt △ABC 中，∠CAD=90°，∠1=30°， ∴∠DAB=60°； 又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等）， ∴∠2=60°
考点：圆周角定理
5．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣2＝0，配方后得到的方程是（ ）
A ．（x ﹣3）2＝2
B ．（x ﹣3）2＝8
C ．（x ﹣3）2＝11
D ．（x+3）2＝9
【答案】C
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】∵x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣6x＝2，
∴（x﹣3）2＝11，
故选：C．
【点睛】
考查了配方法解方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（）
A．1
2
B．
3
4
C．
3
8
D．
7
16
【答案】C
【分析】先分别求出正方形和三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案. 【详解】正方形的面积=1×4=4
三角形的面积=
1113 14111212
2222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=
∴落在△ABC内部的概率=33
4
28÷=
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是概率的求法，解题的关键是用面积之比来代表事件发生的概率.
8．如图，在△ABC中，点D，E 分别在边AB，AC 上，且
1
3
AE AD
AB AC
==，则S△ADE：S四边形BCED 的
值为（）
A．1：3B．1：3 C．1：8 D．1：9
【答案】C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED 的值．
【详解】∵
1
3
AE AD
AB AC
==，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
9．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案．
【详解】由题意得，
A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似，
B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；
C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B 中矩形不是相似多边形
D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；
故选C ．
【点睛】
本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例．两个条件缺一不可.
10．抛物线24y x =+与y 轴的交点坐标是（ ）
A ．（4，0）
B ．（-4，0）
C ．（0，-4）
D ．（0，4）
【答案】D
【解析】试题分析：求图象与y 轴的交点坐标，令x=0，求y 即可．
当x=0时，y=4，
所以y 轴的交点坐标是（0，4）．故选D ．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
11．如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念和识别．
【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D 是中心对称图形，A 、C 是轴对称图形，D 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
故选D ．
【点睛】
本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形．
12．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=42∠ACB 最大时，b 的值为（ ）
A ．226+
B ．226-+
C ．242+
D ．242 【答案】B
【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可.。