6.3等比数列 5年高考3年模拟教学课件

例1
已知正项数列{an}满足
a2 n1
-6
an2
=an+1an,若a1=2,则数列{an}的前n项
和Sn=
.
解析
∵
a2 n1
-6
an2
=an+1an,
即
a2 n1
-an+1an-6
an2
=0,
∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0,
∵an>0,∴an+1=3an,即
an1 an
=3,又a1=2,
=…=2n(a2-2a1)≠0,
∴
an2 2an1 an1 2an
=2,∴{an+1-2an}是等比数列.
(2)由(1)可得an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n,∴
an1 2n1
-
an 2n
=
1 2
,∴
an 2n
是首项为
1 2
,公差
为
1 2
的等差数列,∴
an 2n
=
n 2
,则an=n·2n-1.
(5){an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,TT2nn
,T3n
T2n
,…成等比数列.
(6)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与
man bn
仍为等比数列,
其中m是不为零的常数.
(7)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 S偶 =q;
an1 an
=q(q为非零常数,n∈N*)或
an an1
=q(q为非零常数且n≥2,n
∈N*),则数列{an}是等比数列.
2.等比中项法:若数列{an}中,an≠0且
a2 n1
=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等
比数列.
3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n ∈N*),则数列{an}是等比数列. 4.前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k-k·qn(k为常数且k≠0,q≠0, 1),则数列{an}是等比数列. 其中前两种方法常用于证明等比数列,后两种方法常用于选择题和填空题中.
an1 an
∈(0,1),
∴a1<0,0<q<1.故选A.
答案 A 方法总结 {an}是等比数列,公比为q(q≠1),熟记下列结论能快速解题: 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}为递增数列; 当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}为递减数列.
方法技巧
方法1 等比数列的基本运算技巧
答案 A
考向基础
考点二 等比数列的性质及应用
1.等比数列{an}满足aq110, 或0a1q0, 1 时,{an}是递增数列;满足
0a1q0,
或
1
aq110,
时,{an}是递减数列.
2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数
为奇数时,还等于中间项的平方.
3.等比数列的一些结论:
n
)
=
a1 an 1 q
q
.
例1
已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=
5 2
,a2+a4=
5 4
,则
Sn an
=
()
A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1
解析 设等比数列{an}的公比为q,
∵
a1 a2
a3 a4
5, 2 5, 4
∴
a1 a1q2 a1q a1q
高考数学（北京专用）
6.3 等比数列
考点清单
考点一 等比数列的有关概念及运算
考向基础
1.等比数列的通项公式
通项公式
通项公式的推广
an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系)
① an=amqn-m (揭示任意两项之间的关系)
2.等比数列{an}的前n项和公式
(1)当q=1时,Sn=② na1 .
(2)当q≠1时,Sn=
若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.
例2 已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an. (1)求证:{an+1-2an}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.
解析 (1)证明:由an+2=4an+1-4an得an+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1)
∴{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
∴Sn= 2(1 3n ) =3n-1.
13
答案 3n-1
考向二 等比中项的运用
例2 成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3,6,13
后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5,则数列{bn}的通项公式为 ( )
A.bn=2n-1
B.bn=3n-1
(1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成
的新数列仍然是等比数列.
(2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q=-1且k
为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.
(3)若{an}是等比数列,则{λan},{|an|}皆为等比数列,公比分别为 ① q和|q| (λ为非零常数). (4)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的 ② k次幂 .
a1(1 qn 1 q
)
=
a1 qan 1 q
.
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a
与b的等比中项,即③ G=± ab (a,b同号).
(1)a,G,b成等比数列⇔G2=ab(ab>0). (2)同号的两个数才有等比中项.
考向突破
考向一 求等比数列的an与Sn
5, 2
35 4
① ,②
由①÷②可得
1 q
q2 q3
=2,∴q=
1 2
Байду номын сангаас
,代入①解得a1=2,
∴an=2×
1 2
n1=
4 2n
,Sn=
2
1
1 2
1 1
n
=4×1
1 2n
,
∴
Sn an
=
4 1 4
2n
1 2n
2
=2n-1,故选D.
答案 D
方法2 等比数列的判定
1.定义法:若
C.bn=2n-2
D.bn=3n-2
解析 设成等差数列的三个正数分别为2-d,2,2+d,
则{bn}中的b3,b4,b5分别为5-d,8,15+d,
∴64=(5-d)(15+d),即d2+10d-11=0,
解得d=1或d=-11(舍),则b3=4,b4=8,b5=16,
∴q=
b4 b3
=2,∴b1=1,∴bn=2n-1.故选A.
1.方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题可迎刃而解. 2.分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当
q=1时,数列{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,数列{an}的前n项和Sn=
a1
(1 q 1 q
S奇
若项数为2n+1,则 S奇 a1 =q.
S偶
4.当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,这时k=
a1
③ 1q .
5.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{an}中,am,an,ap,aq的关系 为④ am·an=ap·aq .
考向突破
考向 等比数列中的常用性质
例 已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ( ) A.a1<0,0<q<1 B.a1<0,q>1 C.a1>0,0<q<1 D.a1>0,q>1
解析 ∵Sn<0,∴a1<0,
又数列{an}为递增等比数列,∴an+1>an,且|an|>|an+1|,
则-an>-an+1>0,则q=