中考数学总复习 专题8 几何综合探究题数学课件

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8
.
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2
3
4
1.(2018·安庆外国语学校模拟(mónǐ))如图1,△ABC,△DEF都为等腰直角三角
形,摆放时,点A在边DF上,且A为DF中点,边BC、DE在一条直线上,连接BF,AE.
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3
4
(1)找出图1中所有的全等三角形.
类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
∴∠ACE=∠MBE=30°.
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°.
连接AM,∵AE=EM=MB,
∴∠MEB=∠EBM=30°,
∠AME= ∠1MEB=15°.
2
∵∠CME=90
°,
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM.∴AC=AM.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
1
1
∴S=S△APQ+S△BPQ=2×(-m -5m)×(-m)+2×(-m2-5m)×(m+5)
5
=-
2
2
5 2 125
+ ,
2
8
5
m+
∴当 m=-2时,S 最大,
5 35
125
即当点 P -2,- 4 时,△ABP 面积最大,最大面积为
41
3
.
1
2
3
4
2.(2018·安徽名校三模)两个完全相同且重合放置(fàngzhì)的△ABC和△DEC,如
图1,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)固定△ABC,使△DEC绕点C旋转(xuánzhuǎn),当点D恰好落在AB边上时,如图2.
填空:①线段DE与AC的位置关系是
;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是
(3)证明:方法一:同(2)可得∠CBA=45°.
∴∠CAB=∠ADE=45°.
∵△DAE≌△CEM,
1
∴DE=CM=ME=2BD=DM,∠ECM=45°.
∴△DEM为等边三角形,∴∠EDM=60°.
∴∠MBE=30°.
∵
∠MCB+∠ACE=45°,∠CBM+∠MBE=45°,
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4
(2)AE=BF,理由如下(rúxià):连接AD,
∵△ABC,△DEF都为等腰直角三角形,D是BC中点,
∴AD=BD,DF=DE,∠ADB+∠ADF=∠FDE+∠ADF,
即∠BDF=∠ADE,
∴△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
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(lèixíng)
一
二
三
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
(1)证明:∵AB∥CB1,
∴∠BCB1=∠B=∠B1=30°,
∴∠A1CD=90°-∠BCB1=60°,∠A1DC=∠BCB1+∠B1=60°,∴△A1CD是等边三角形;
1
2
3
4
(3)当BC=2,在(2)的条件下,当α=90°时,AE值最大,如图所示:当DE旋转到AD的
延长线时线段(xiànduàn)AE最长,设EF三等分点为G,过点G做GH⊥AE,连接AG,
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2
4
3
2
①当 EG∶GF=1∶2 时,HG∶DF=1∶3,HG=3,∵HG=HE,
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
分析:(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半得出结论.(2)利用三角形的外
角等于不相邻的两内角之和推导出相关角的关系,从而求出相关角.(3)通过已知条
0 = 25-5-5,
= 1,
解得
0 = + -5,
= 4.
∴抛物线的表达式为y=x2+4x-5.
方法2:∵抛物线与x轴交于B(-5,0)和C(1,0),
∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x-1),
又∵抛物线与y轴交于A点,∴A(0,-5),
把A(0,-5)代入y=a(x+5)(x-1),得-5=-5a,∴a=1,
4
7
∴DH=3,AH=3.
在 Rt△AHG 中由勾股定理得 AG=
53
3
.
4
②当 EG∶GF=2∶1 时,HG∶DF=2∶3,HG=3,∵HG=HE,
2
5
∴DH=3,AH=3,
在 Rt△AHG 中由勾股定理得 AG=
所以 A 到 EF 三等分点的距离为
53
3
41
3
.
或
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(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP
的面积最大,求出此时点P的坐标和ΔABP的最大面积.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
解:(1)方法1:把B(-5,0)和C(1,0)代入y=ax2+bx-5,得
了数学探究的过程和方法(fāngfǎ),体现了对数学活动经验的关注,也体现了对培
养学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的关注.预计2019年仍是用与全
等或相似有关的几何综合探究题压轴.
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题型概述
(ɡài shù)
方法
(fāngfǎ)
指导
几何综合探究题灵活多变,一般并无固定的解题模式或套路.解决这类问题的
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
类型一
类比拓展探究题
例1(2018·安徽,23)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一
点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
(2)解:∵∠BAC=50°,∴∠ADE=40°.
∵CM=MB,∴∠MCB=∠CBM.
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM.
同理,∠DME=2∠EBM,
∴∠CME=2∠CBA=80°,
∴∠EMF=180°-80°=100°.
∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x-1)=x2+4x-5.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
(2)∵A(0,-5),AD∥x轴,点E关于x轴的对称点在直线AD上,
∴点E的纵坐标为5,
∴点E到直线AD的距离为10.
把y=-5代入y=x2+4x-5,得
-5 + = 0,
= -1,
解得
= -5,
= -5.
∴直线AB的表达式为y=-x-5.
设点P的坐标为(m,m2+4m-5),
作PQ∥y轴,交直线AB于点Q,
∴Q(m,-m-5).
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,
∴PQ=-m-5-(m2+4m-5)=-m2-5m.
设△ABP的面积为S,
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
类型四
年份、题
考查类型
考 查 点
号
本题主要考查正方形与直角三角形三角
2017,23 形的判定与性质
2016,23 考查线段垂直平分线、全等三角形、相似
三角形、等边三角形、直角三角形性质
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
图形变换探究题
例2(2011·安徽)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时
类型二
针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.
(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于D,证明:△A1CD是等边三角形;
-5=x2+4x-5,
解得x1=-4,x2=0(舍),∴D(-4,-5),AD=4.
1
∴S△EAD=2×4×10=20.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,k≠0,
把B(-5,0)和A(0,-5)代入,得
1.类比、拓展
以正六边形为载体,考查正多边形的性质,
探究题
2014,23 平行四边形的判定,菱形的判定,全等三角
形的判定,等边三角形的判定
考查平行线的性质,相似三角形的判定及
2013,23 性质,角平分线的性质,全等三角形的判定
及性质
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
考查类型
2.图形变换
探究题
年份、题
考 查 点
号
考查线段垂直平分线性质、等腰三角形性
2015,23 质、全等三角形、相似三角形、特殊角三
角函数值,旋转性质
3.几何和函
数综合探究 2011,23
题
考查全等三角形的判定与性质,勾股定理,
正方形的性质,二次函数最值
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(2)如图2,连接AA1,BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1,S2.求
证:S1∶S2=1∶3;
(3)如图3,设AC中点为E,A1B1中点为P,AC=a,连接EP,当θ=
°时,EP
长度最大,最大值为
.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(2)证明:由旋转的性质可知
AC=CA1,∠ACA1=∠BCB1,BC=CB1,∴△ACA1∽△BCB1,
∴S1∶S2=AC2∶BC2=12∶( )2=1∶3;
3
(3)120
3
a
2
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
类型三
件,结合(1)(2)利用垂直同一条直线的两直线平行得到证明;或先通过三角形全
等得到边的关系,最后通过“两边对应成比例且夹角相等”证明
△FME∽△FNA即可.
(1)证明:∵M为BD中点,
1
Rt△DCB 中,MC=2BD.
1
Rt△DEB 中,EM=2BD.∴MC=ME.
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(2)把△DEF绕点D顺时针旋转α°(0°<α°<180°)后(如图2),判断线段BF,AE的数量
(shùliàng)关系,并说明理由.
(3)若BC=2,在(2)的条件下,当α=
°时,AE值最大?并求此时点A到EF三等
分点的距离(画出示意图,并写出求算过程).
解:(1)△ABD≌△ACD;△ABF≌△CAE;△FBD≌△EAD.
方法:
一是根据条件,结合已学的知识、数学思想方法,通过分析、归纳逐步得出
结论,或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解;
二是关注前面几个小题在求解过程的解题思路和方法,会对最后一小题的求解
有一定(yīdìng)的借鉴作用,还可以把前面几个小题的结论作为已知条件,为最后
一问的求解提供帮助.
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∴DE=DM=EM,∴△DEM 是等边三角形.
∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.
1
∴FM=2EF.
1
∵AE=CM,N 是 CM 中点,∴MN=2AE.
∴FM∶FE=NM∶AE,即FM∶FE=FN∶FA,
∵∠MFE=∠NFA,∴△FME∽△FNA,
∴∠FME=∠FNA,∴AN∥CM.
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∵N为CM中点,∴AN⊥CM.
∵CM⊥EM,∴AN∥CM.
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类型
类型
类型
(lèixíng)
(lèixíng)
(lèixíng)
一
二
三
方法二:∵△DAE≌△CEM,CM=EM,∠AED=90°,
∴AE=DE=EM=CM,∠CME=90°,
1
则由(1)知:EM=2BD,
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题型概述
(ɡài shù)
方法
(fāngfǎ)
指导
几何综合探究题型连续5年作为安徽中考压轴题.主要涉及利用三角形相似或
全等的判定及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常
涉及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽中考
对几何推理与证明能力考查的必然体现.把观察、操作、证明融于一体,展示
几何图形与函数相结合探究题
例3(2018·山东菏泽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴
于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求△EAD的面
积;