2019届福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查理科数学(附带详细解析)

外…………○学校内…………○绝密★启用前
2019届福建省厦门市高中毕业班第二次质量检查理科数学
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．在复平面内，复数342i
z i
+=+（i 为虚数单位）所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{
}
2
60A x Z x x =∈+-≤， {}
1B x x =≥，则A B =I （ ） A ．{}
12x x ≤≤
B ．{|13}x x ≤≤
C ．{}1,2
D ．{}1,2,3
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3542a a a +=+，则7S =（ ） A ．14-
B ．7-
C ．7
D ．14
4．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．
14
D ．
34
5．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据
○…………装…………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………………线…………○……
A ．华为的全年销量最大
B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的
销量
C ．华为销量最大的是第四季度
D ．三星销量最小的是第四季度
6．已知O 为坐标原点，双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，焦距为C 的一条渐近线被以F 为圆心，OF 为半径的圆F 所截得的弦长为2，则C 的方程是（ ）
A ．2
214
y x -=
B ．22
1416x y -=
C ．2
214x y -=
D ．2
2
119
y x -=
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．238π+
B ．
934
8π
+ C ．12π+
D ．
122
π
+
8．在同一平面中，AD DC =u u u r u u u r
，2BE ED =u u u r u u u r ，若AE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r
（m ，n R ∈），则m n +=（ ） A ．
2
3
B ．
34
C ．
56
D ．1
9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，曲线()y f x =在点
()
()
0,0
f处的切线的倾斜角为2
3
π
，则曲线()
y f x
=在点()
()
2,2
f
--处的切线方程为（）
A．y=-B．y=+C．
33
y x
=+
D．
33
y x
=--
10．已知抛物线2
:2(0)
E y px p
=>，直线l过E的焦点，交E于,A B两点，且A在x 轴上方，M是E的准线上一点，AM平行于x轴，O为坐标原点，若
||
4
||
OM
OB
=，则l的斜率为（）
A
．
4
3
-B．
3
4
-
C．
3
4
D．
4
3
11．已知数列{}n a的前n项和为
n
S，
1
1
3
a=，当2
n≥时，n a，1
n
S-，
n
S成等比数列，若
19
21
m
S<，则m的最大值为（）
A．9 B
．11 C．19 D．21
12．在长方体111
ABCD A B C D
-中，2
AB=，3
AD=，12
AA=，E是
1
AA的中点，F是棱AD上一点，1
AF=，动点P在底面1
1
1
1
D
C
B
A内，且三棱锥P BEF
-与三棱锥1
B D EF
-的体积相等，则直线CP与
1
BB所成角的正切值的最小值为（）
A B C D
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．设x，y满足约束条件
220
20
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
则z x y
=-的最小值是__________. 14．在“2022北京冬奥会”宣传活动中，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A、B、C三
…
…
…
…
○
…
…
※
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
…
…
…
…
○
…
…
个项目的志愿者活动，每个项目至少需要1名志愿者，则共有__________种不同的方案.
（用数字填写答案）
15．函数()3sin4cos
f x x x
=+，若直线xθ
=是曲线()
y f x
=的一条对称轴，则
cos2sin cos
θθθ
+=________.
16．若函数()()()
222
210
x x
f x a e a x e x x a
--
=++++>的最小值为2
ln3ln2
a a
++，
则a的取值范围是__________.
三、解答题
17．在ABC
V中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22cos
b c a C
-=.
（1）求A；
（2）若a=sin sin s in
B C B C
+=，求ABC
V的面积.
18．如图，在四棱锥P ABCD
-中，//
AB CD，AD CD
⊥，2
AB AD
==，4
CD=，
1
PD=，平面PAD⊥平面ABCD，二面角P CD B
--为60︒.
（1）求证：PA⊥平面PCD；
（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.
19．2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、
不能弱化”.某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A种产品；项目
二使用乙种机器生产B种产品.甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙
两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台.该企业调查
了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：
以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率.
（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；
（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产.据统计：当投入项目一的生产专用资金为a 万元时，生产A 产品获利的概率是
3
4
，且一年获利
3
10a 万元；亏损的概率是14，且一年亏损110
a 万元.当投入项目二的生产专用
资金为a 万元时，
生产B 产品获利的概率是2
3
，且一年获利25
a 万元；亏损的概率是13，
且一年亏损1
5
a 万元.你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由.
20．已知椭圆2
2:14
x E y +=，A ，C 分别是E 的上顶点和下顶点.
（1）若B ，D 是E 上位于y 轴两侧的两点，求证：四边形ABCD 不可能是矩形； （2）若B 是E 的左顶点，P 是E 上一点，线段PA 交x 轴于点M ，线段PB 交y 轴于点N ，9
4
BM AN =
，求MN . 21．已知函数()2x
x f x ae
e x b =-++（0a >，b R ∈）
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意0a >，()f x 恰有一个零点，求b 的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线1
C 的方程为2
4y x =.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极
坐标方程为2cos ρθ=.l 交1C 于A ，B 两点（A 在x 轴上方），2C 交极轴于点P （异于极点O ）.
（1）求2C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；
（2）若S 为PA 的中点，T 为2C 上的点，求ST 的最小值. 23．已知函数()|2|f x ax =-.
（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；
（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简复数可得z ，可得复数z 对应点，可得答案． 【详解】 解析：()()342346384
2255
i i i z i i i i +-+-++===++=
， 对应的点为()2,1，所以，在第一象限， 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题． 2．A 【解析】 【分析】
先求出集合A ，然后再求A B I 【详解】
解析：{}
{}323,2,1,0,1,2A x Z x =∈-≤≤=---
{}1,2A B =I
故选：A. 【点睛】
本题考查集合的描述法和求两集合的交集，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式（或性质）由条件3542a a a +=+可得42a =，然后利用等差数列前n 项和公式结合等差数列性质可求解答案. 【详解】
解析：由3542a a a +=+，得：1112432a d a d a d ++=+++， 即132a d +=，即42a =， 所以()177477142
a a S a +===
故选：D 【点睛】
等差数列的通项公式，等差数列的性质.属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
由圆的面积公式及几何概型中的面积型得：点取自阴影部分的概率为1044
104
P π
=得解.
【详解】
解析：由图可知各正方形的边长为：1，1，2，3，5，8，
矩形ABCD 的面积为：1813104S =⨯=， 阴影部分面积为： ()2110449256444
S π
ππππππ+++++=
=
， 所求概率为：
10441044
P π
π==
故选: B 【点睛】
本题主要考查了与面积有关的几何概型的概率公式的简单应用，属于基础试题． 5．
A
【分析】
根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】
根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；
每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】
本题主要考查对销量百分比堆积图的理解． 6．A 【解析】 【分析】
根据点到直线的距离公式，可求出点F 到渐近线的距离刚好为b ，由圆的知识列出方程，通
过焦距为a ，b 即可得到双曲线方程． 【详解】
O 为坐标原点，双曲线22
22:1x y C a b
-=的右焦点为F ，焦距为c =
C 的一条渐近线被以F 为圆心，OF 为半径的圆F 所截得的弦长为2，因为点F 到渐近线的
距离刚好为b ，所以可得1=即有2b =，则1a =，
所以双曲线方程为：2
2
14
y x -=．故选A ．
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力． 7．D 【解析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，左边为圆柱，底面半径为
1
2
，高为2，右边为长方体，长、宽、高分别为4、3、1，再由圆柱及长方体的体积公式求解． 【详解】
解析：由三视图，该几何体为一个圆柱与一个四棱柱的组合体，
12431=1242
V π
π⨯⨯+⨯⨯+=
故选：D 【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题． 8．A 【解析】 【分析】
运用平面向量基本定理和平面向量的三角形法则，可解决此问题． 【详解】
解析：由AD DC =u u u r u u u r
，可知，D 为AC 的中点，
1123AE AD DE AC DB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
＝
()
1123
AC AB AD =+-u u u
r u u u r u u u r 111232AC AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r 1133
AB AC =+u u u
r u u u r
则13m =，13
n =，所以2
3m n +=
故选：A
【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则和基本定理的简单应用，属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】
由R 上的奇函数可得()00f =，结合奇函数的导数为偶函数，可得()f x 在2x =-处的切线斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程． 【详解】
因为()f x 是奇函数，所以，()()f x f x =--， 由()()2f x f x -=,得()()2f x f x -=-- 即()()2f x f x +=-，
所以，()()()42f x f x f x +=-+=. 即()f x 是周期为4的函数，
由()()2f x f x -=得()()11f x f x -=+，图象关于1x =对称，
所以，曲线()y f x =在点()0,0处的切线与点()2,0处的切线的倾斜角互补， 而在点()2,0-的切线和点()2,0处的切线平行，
因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，()00f =，()()200f f ==， 线()y f x =在点()2,0-处的切线的倾斜角为
3
π
，
切线方程为：
)2y x =+=+ 故选：B. 【点睛】
本题考查导数的运用,求切线方程，考查函数的奇偶性，以及直线方程的运用，考查化简运算能力，属于中档题． 10．D 【解析】 【分析】
设直线l 的方程为2p x my =+
，设点()()1122,,,A x y B x y ，则点1,2p M y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，将直线l 的方程与抛物线E 的方程联立，列出韦达定理，计算直线OB 和OM 的斜率得知，,,O B M 三点共线，再由已知条件得出124y y =-，代入韦达定理可得出m 的值，从而求出直线l 的斜率. 【详解】
解：设点()()1122,,,A x y B x y ，则点1,2p
M y ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
，如下图所示，
抛物线E 的焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设直线AB 的方程为2p x my =+，
将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，
得22
20y mpy p --=，
由韦达定理得212122,y y mp y y p +==-，
直线OM 的斜率为
1122
OM y y k p p =
=--， 直线OB 的斜率为
2212222212222OB OM
y y y p p k k y p x y p y p
=
====-=-，
所以，,,O B M 三点共线，
||
4||
OM OB =，则4OM OB =-u u u u r u u u r ，所以，124y y =-， 则12232y y y mp +=-=，得223
mp
y =-
， 2
222
21222164439mp m p y y y p ⎛⎫=-=-⨯=-
=- ⎪⎝⎭
， 结合图形可知，直线AB 的斜率为正数，所以，3
4
m =， 因此，直线l 的斜率为143
m =. 故选：D. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题. 11．A 【解析】 【分析】
由2n ≥时，n a ，1n S -，n S 成等比数列，有()2
1n n n S a S -=，即可化为
111
111
n n S S --=---，可求出n S 的表达式，再通过解不等式可得答案. 【详解】
解析：因为2n ≥时，n a ，1n S -，n S 成等比数列， 所以，()2
1n n n S a S -=，
即()()2
11n n n n S S S S --=-，即121n n n S S S --=⋅ 所以1
12n n S S -=
-，即11111
1122n n n n S S S S -----=-=--
所以
()1111111211
11111
n n n n n n S S S S S S -------+-===----- 所以，
111
111
n n S S --=--- 所以，11n S ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
是等差数列， 所以，11
12
n n S =---， 即21
21n n S n -=
+所以，
21192121
m m -<+， 解得10m <，所以，m 的最大值为9. 故选：A 【点睛】
本题考查了等比数列的性质、等差数列的通项公式、构造法求数列的通项公式等、属于中档题． 12．C 【解析】 【分析】
过1D 构造与平面BEF 平行的平面，得出P 的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的P 的位置． 【详解】
解析：因为11P BEF B D EF D BEF V V V ---==，设11C G =，1C C 的中点为M ， 则1//D G BF ，//MG EF ，因为1D G ⊄平面BEF ，BF ⊂平面BEF ， 所以1//D G 平面BEF ，MG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，
所以//MG 平面BEF ，又因为1D G GM G =I ， 所以平面1//D GM 平面BEF ，
所以P ∈平面1D GM ，因为P ∈底面1111D C B A ， 因为平面1D GM I 平面11111A B C D D G =， 所以P 在底面1111D C B A 的轨迹为线段1D G ，
在平面1111D C B A 内，过点1C 作1C H 垂直于1D G ，垂足为H ，连接CH ， 则1C CH ∠为直线CP 与1BB
所成的最小角，所以111tan C H C CH C C ∠==
故选：C
【点睛】
本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题． 13．2- 【解析】 【分析】
由题意作平面区域，化z x y =-为y x z =-，从而结合图象求最小值． 【详解】
解析：不等式组表示的平面区域如下图所示， 目标函数z x y =-可化为y x z =-， z 表示直线y x z =-在y 轴上截距的相反数.
当直线y x z =-在y 轴上截距最大值时，z 有最小值. 由图可知直线y x z =-经过点()0,2A 时，z 取得最小值为2-
故答案为：2-
【点睛】
本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用,属于基础题. 14．36 【解析】 【分析】
先分组，然后全排列进行计算即可． 【详解】
解析：依题意，有一个项目有2名志愿者，4人分组人数为：2、1、1，
所以，方案有：23
4336C A =种.
故答案为：36 【点睛】
本题主要考查计数问题的应用，先分组后排列是解决本题的关键．属于中档题.
15．
1925
【解析】 【分析】
引入辅助角ϕ,根据对称性的性质可得,sin()1θϕ+=±,从而2
k π
θϕπ+=+,k Z ∈,
结合诱导公式和二倍角公式可求得. 【详解】
因为()3sin 4cos f x x x =+34
5(sin cos )55
x x =+, 令3cos 5ϕ=
,4sin 5
ϕ=,
则()5(sin cos cos sin )f x x x ϕϕ=+5sin()x ϕ=+, 因为直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴, 所以,2
k k Z π
θϕπ+=+∈,
所以2
k π
θπϕ=+
-,k Z ∈,
所以222k θππϕ=+-,k Z ∈,
所以cos 2cos(22)cos 2k θππϕϕ=+-=-22
372cos 12()15
25
ϕ=-+=-⨯+=
, 11143sin cos sin 2sin(22)sin 2sin cos 22255k θθθππϕϕϕϕ==+-===⨯12
25
=,
所以cos2sin cos θθθ+=71219252525
+=. 故答案为:1925
. 【点睛】
本题考查了三角函数的辅助角公式,函数的对称性,诱导公式和二倍角公式,属于中档题.
16．32,e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
将函数()f x 整理为()()()2
x x
f x ae x ae x --=+++，然后换元设()e x t
g x a x -==+，
讨论()g x 的单调性得到()g x 的值域，在由二次函数的最值得到参数范围. 【详解】 解析：
()()()2
x
x f x ae x ae x --=+++，设()e x
t g x a x -==+，
则()2
y h t t t ==+，()1x g x ae -'=-+，
当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 在(),ln a -∞上单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()ln ,a +∞上单调递增，
()ln ln 1g a a =+，x →+∞时，()g x →+∞，
所以，()g x 的值域为[)ln 1,a ++∞，即[)ln 1,t a ∈++∞， 又因为()()2
min ln 3ln 2ln 1h t a a h a =++=+，
所以1
ln 12
a +≥-
，解得32a e -≥. 故答案为：32,e -⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查根据二次型函数的最值求参数和利用导数讨论函数单调性从而得到函数的值域，考查换元的方法，属于难题.
17．（1）3
A π
=（2【解析】 【分析】
(1)由余弦定理有222
cos 2a b c C ab
+-=
，将条件代入得222b c a bc +-=，再用余弦定理可得答案.
(2)由条件结合正弦定理可得sin 2
b B =
，sin 2c
C =，再代入条件
sin sin s in B C B C +=中可得b c +=，再由余弦定理可得到bc 的值，从而
得到ABC V 面积 【详解】
解法一：（1）在ABC V 中，由余弦定理得，222
cos 2a b c C ab
+-=，
又因为22cos b c a C -=，所以222b c a bc +-=，
所以2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，
又因为()0,A π∈，所以3
A π
=
.
（2）在ABC V 中，由正弦定理得
sin sin sin b c a
B C A
==，
因为a =
3
A π
=
，所以sin 2
b B =
，sin 2c C =，
又因为sin sin s in B C B C +=，所以b c +=， 因为2222cos a b c bc A =+-，即()2
23a b c bc +-=， 所以22610b c bc --=，解得1
2bc =
或13
bc =-（舍去），
所以，ABC V 的面积1sin 2ABC S bc A =
=
△. 解法二：（1）在ABC V 中，由正弦定理得
sin sin sin b c a
B C A
==， 又因为22cos b c a C -=，得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C +-=，所以2cos sin sin A C C =， 因为sin 0C >，所以1
cos 2A =， 又因为()0,A π∈，所以3
A π
=.
（2）同解法一. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想.属于中档题.
18．（1）见解析（2 【解析】 【分析】
（1）证明CD ⊥平面PAD 可得AD CD ⊥，且ADP Ð为二面角P CD B --的平面角，计算出PA ，可根据勾股定理得出AP DP ⊥，可得AP ⊥平面PCD .
（2）建立空间坐标系，求出平面PAC 的法向量n r
,则cos ,n PB r u u u r 为直线PB 与平面PAC
所成角的正弦值． 【详解】
解：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD
平面PAD I 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，CD AD ⊥. 所以CD ⊥平面PAD ，
因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥， 又因为AD CD ⊥，
所以ADP Ð即为二面角P CD B --的平面角，所以60ADP ∠=︒， 又因为在ADP △中，1PD =，2AD =
，由余弦定理得AP = 所以222AD PD AP =+，所以AP DP ⊥，
又因为CD ⊥平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD AP ⊥， 又因为CD DP D =I ，所以AP ⊥平面PCD . （2）在平面PAD 内过点P 作PO AD ⊥.垂足为O ，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为2AB AD ==，4CD =，1PD =
，sin 602
PO PD =︒=
， 所以3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,4,02C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
3,2,2PB ⎛= ⎝⎭u u u r
，3,0,2PA ⎛= ⎝⎭
u u u r ，()2,4,0AC =-u u u r ，
设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =r
，
所以00n PA n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v
，即3022240
x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩
， 取2x =，则平面PAC
的一个法向量为(n =r
.
记直线PB 与平面PAC 所成角为θ
，则sin cos ,119n PB n PB n PB
θ⋅===⋅r u u u r
r u u u r
r u u u r ，
所以直线PB 与平面PAC .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直、空间角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等,属于中档题. 19．（1）见解析（2）项目一的风险更小，该企业应投资项目一. 【解析】 【分析】
（1）根据题意维修费用满足二项分布，得出数学期望；
（2）分别计算投资两项目的利润期望和方差，根据期望和方差大小得出结论． 【详解】
解：（1）依题意，100万元可购买甲种机器
100
502
=台， 一台甲种机器一年内需要维修一次的频率为
160
0.8200
=. 记这50台机器一年内需要维修的次数为X ，则()~50,0.8X B ， 所以，500.840EX =⨯=次，
所以，一年内该企业维修费用的数学期望为()25002500250040100000E X EX ==⨯=元，
即一年内该企业维修费用的数学期望为10万元. （2）若该企业投入项目二，则可购买乙种机器100台，
记1台乙种机器需要的维修费用为Y 元，则Y 的可能取值为0，1000，2000， 且()00.1P Y ==，()10000.8P Y ==，()20000.1P Y ==. 所以，随机变量Y 的分布列为
所以，00.110000.820000.11000EY =⨯+⨯+⨯=元，
所以，一年内这100台乙种机器维修费用的数学期望为()100100100000E Y EY ==元， 即一年内这100台乙种机器维修费用的数学期望为10万元.
所以，若该企业投资项目二，则企业的生产专用资金为1110100101000--=万元. 由（1）知，若该企业投资项目一，则一年内该企业维修费用的数学期望为10万元， 所以，企业的生产专用资金为1110100101000--=万元. 若该企业投资项目一，记一年的收益为ξ万元， 则随机变量ξ的分布列为
所以()31
30010020044
E ξ=⨯
+-⨯=万元； 若该企业投资项目二，记一年的收益为η万元， 则随机变量η的分布列为
所以()21
40020020033
E η=⨯
+-⨯=万元. 又因为()()22
31
3002001002003000044
D ξ=-⨯
+--⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()22
214002002002008000033D η=-⨯+--⨯=⎡⎤⎣
⎦，
所以E E ξη=，D D ξη<，
所以，项目一的风险更小，该企业应投资项目一. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及其期望、方差等基础知识；考查学生的阅读理解能力、运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识，属于中档题． 20．（1）见解析（2
）MN = 【解析】 【分析】
（1）()11,B x y ，计算BA ，BC 的斜率的乘积，根据斜率公式即可证明. （2）设()00,P x y ，分别求出直线,PA PB 的方程，求出点,M N 的坐标，再根据
9
4
BM AN =
，结合点P 在椭圆上即可求出． 【详解】
解法一：（1）依题意，()0,1A ，()0,1C -.
设()11,B x y ，则10x ≠，且221114
x y +=，
设直线BA ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，
则2
2
1111
1222
111111111414
x y y y k k x x x x --+-⋅=⋅===-≠-， 所以BA 与BC 不垂直，所以四边形ABCD 不可能是矩形.
（2）设()00,P x y ，则00x >，00y <，且22
0014
x y +=，
所以直线00
1:1y PA y x x -=
+，令0y =，得001x
x y =-，
所以00,01x M y ⎛⎫
⎪-⎝⎭
， 直线()00:22y PB y x x =
++，所以0020,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
， 又因为9
4
BM AN =，所以00002921142x y y x ⎛⎫+=- ⎪-+⎝⎭，所以004910x y +-=. 由0022
004910
14
x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2
00145323200x x --=， 解得085x =
或04029x =-（舍去）， 所以8
3,5
5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()1,0M ，10,3N ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，故MN =. 解法二：（1）假设四边形ABCD 为矩形，
因为A ，C 关于原点对称，所以直线BD 原点且2BD AC ==， 设直线:BD y kx =，()11,B x y ，()22,D x y ，
由22
1
4
y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22
144k x +=
，解得x =，
所以122BD x =-=
=，
所以(
)2
2
4114k
k
+=+，显然不成立，
所以假设不成立，所以四边形ABCD 不可能是矩形. （2）同解法一. 【点睛】
本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等. 属于中档题. 21．（1）见解析（2）3,ln 22⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）讨论a 的范围，得出()0f x '=的解的情况，从而得出()f x 的单调区间； （2）分离参数可得2x x b ae e x -=-+，令()2x
x g x ae e x =-+，求出()g x 的单调性和值
域，从而可得出b 的范围． 【详解】
解法一：（1）依题意，()221x x f x ae e '=-+， 令()0f x '=，18a ∆=-， ①当1
8
a ≥
时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在(),-∞+∞单调递增；
②当108a <<
时，>0∆，由()0f x '=得，14x e a
=，
因为108a <<
0>，设1ln x =，2ln x =， 则当()1,x x ∈-∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x -∞单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x +∞单调递增； 综上，当1
8
a ≥
时，()f x 在(),-∞+∞单调递增；
②当1
08a <<时，()f x 在1,ln 4a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增，
在11ln ,ln 44a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭单调递减，在1ln 4a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增. （2）由()0f x =得，2x x b ae e x -=-+，记()2x
x g x ae
e x =-+，则()()g x
f x ''=，
（i ）当1
8
a ≥
时，由（1）知，()f x 在(),-∞+∞单调递增， 所以()g x 在(),-∞+∞单调递增，又因为()2x
x g x ae
e x =-+，
当x →-∞时，()g x →-∞，x →+∞时()1x
x
g x ae e x a ⎛⎫
=-
+→+∞ ⎪⎝⎭
， 所以当b R ∈时，对任意1
8
a ≥恰有一个零点. （ii ）当1
08
a <<
时，由（1）知，()f x 在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 单调递减，
在()2,x +∞单调递增，其中11ln
4x a =，21ln 4x a
=，
所以，()g x 在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞单调递增，
()1
12
2
22121210x x x x g x ae
e ae
e '=-+=-+=，所以1212221122x x x x e e a e e
--==，
所以()g x 极大()11
1
21111
22
x x x e g x ae
e x x ==-+=-+-
()g x 极小()22
2
22221
22
x x x e g x ae
e x x ==-+=-+-，
又因为当x →-∞时，()g x →-∞，x →+∞时()1x
x
g x ae e x a ⎛
⎫
=-
+→+∞ ⎪⎝⎭
， 所以对任意1
08
a <<，()f x 恰有一个零点，等价于()1
b g x ->恒成立或()2b g x -<恒成立.
设()122x e h x x =-+-，则()12
x
e
h x '=-+，
当(),ln 2x ∈-∞时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln 2-∞单调递增， 当()ln 2,x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在()ln 2,+∞单调递减，
又
1x ==2x =，
因为1
08
a <<
()0,1，所以()10,ln 2x ∈，()2ln 2,x ∈+∞，
所以()1h x 的值域为30,ln 22⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，()2h x 的值域为3,ln 22⎛⎫-∞-+ ⎪⎝⎭
， 即()1g x 的值域为30,ln 22⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，()2g x 的值域为3,ln 22⎛⎫-∞-+ ⎪⎝⎭
， 所以3ln 22b -≥-
+，所以3
ln 22
b ≤-， 综上，b 的取值范围为3,ln 22⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
. 解法二：（1）同解法一； （2）（i ）当1
8
a ≥
时，由（1）知，()f x 在(),-∞+∞单调递增， 又因为()21x
x x x f x ae
e x b ae e x b a ⎛
⎫=-++=-++ ⎪⎝
⎭，
所以取11min ln
,m b a ⎧⎫<-⎨⎬⎩
⎭，则()10f m <，取21max ln ,m b a ⎧⎫
>-⎨⎬⎩⎭
，则()20f m >， 所以()()120f m f m <，所以()f x 在(),-∞+∞恰有一个零点，所以b R ∈； （ii ）当1
08
a <<
时，由（1）知，()f x 在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 单调递减，
在()2,x +∞单调递增，其中1x =2x =，
()1
12
2
22121210x x x x f x ae
e ae
e '=-+=-+=，所以1212221122x x x x e e a e e
--==，
所以()f x 极大()11
1
21111
22
x x x e f x ae
e x b x b ==-++=-++-，
()f x 极小()22
2
22221
22
x x x e f x ae
e x b x b ==-++=-++-，
设()122x e g x x b =-++-，则()12
x
e
g x '=-+，
当(),ln 2x -∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln 2-∞单调递增，+ 当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()ln 2,+∞单调递减，
又
1x ==2x =，
因为1
08
a <<()0,1，所以()10,ln 2x ∈，()2ln 2,x ∈+∞， ①当3ln 22
b ≤
-时，()()13
ln 2ln 202
g x g b <=-+≤，()()2ln 20g x g <≤， 即()10<f x ，()20f x <，所以当(]2,x x ∈-∞时，()()10f x f x ≤<，
()f x 在(]2,x -∞不存在零点，
当()2,x x ∈+∞时，取21max ln
,,n b x a ⎧
⎫
>-⎨⎬⎩⎭
，则()0f n >， 又因为()20f x <，所以()f x 在()2,x +∞恰有一个零点，所以()f x 恰有一个零点；. ②当3
ln 22
b >
-时，因为()ln 20g >，当{}1min ,ln 2t b <-时，()10g t <， 所以()()1ln 20g t g <，所以()g x 在(),ln 2-∞恰有一个零点3x ， 当22max ln 2,
2b t e ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭时，()222
11
0222
e g t t t b ≤-++-<-<， 所以()2ln 20g t g <，所以()g x 在()ln 2,+∞恰有一个零点4x ， 即()()340g x g x ==，则()()()2ln 2h x g x g x =--，
则()()()2ln 22ln 21102222
x x x x
e e e e
h x g x g x --'''=+-=-+-+=--<，
所以()h x 在(),ln 2-∞单调递减，所以()()3ln 20h x h >=， 所以()()332ln 2g x g x >-，即()()432ln 2g x g x >-，
因为4x ，()32ln 2ln 2,x -∈+∞，且()g x 在()ln 2,+∞单调递减， 所以432ln 2x x <-，即342ln 2x x +<，所以34
3422
221x x x x In e e e e +-
---+>>=，
所以342112x x e e --->-()0,1，3221210x hn e e --->-=，4121x e --<，
所以存在0a >，满足341221x x e e ---<<-，所以412x e -<，
312x e -，
所以13x x =>
，24x x =>，
所以()()130g x g x >=，()()240g x g x <=，即()10f x >，()20f x <， 又因为()f x 在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞单调递增， 取111min ln
,,t b x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭，则()10f t <，取221max ln ,,t b x a ⎧⎫
>-⎨⎬⎩⎭
，则()20f t >， 所以()f x 分别在()1,x -∞，()12,x x ，()2,x +∞各有一个零点，()f x 恰有三个零点， 与()f x 恰有一个零点矛盾，不合题意； 综上，b 的取值范围为3,ln 22⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查函数的单调性、函数零点、导数及其应用等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等. 属于难题．
22．（1）()2
211x y -+=；直角坐标为()2,0.（2
）1
【解析】 【分析】
（1）把2cos ρθ=两边同时乘以ρ，结合222,cos x y x ρρθ==+，可得2C 的直角坐标方程，取0y =，可得点0y =的直角坐标.
（2）设,A S 所对应的参数分别为t 1，t 2（t 1＞0）
，将25x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2
4y x =，得到
关于t 的一元二次方程，求得t ，进一步得到S 的坐标，再求出2C 的圆心()1,0M ，可得SM ，则ST 的最小值可求． 【详解】
解法一：（1）由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩及2cos ρθ=，得22
2x y x +=，即()2211x y -+=，
所以圆2C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=；
令0y =，得2x =或0（舍去），所以点P 的直角坐标为()2,0. （2）设A ，S 所对应的参数分别为1t ，2t （其中10t >），
将25x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入24y x =
得，2100t -=，
解得t =
1t =，因为S 为PA
中点，所以1
22
t t =
= 设(),S S S x y
，则23S x ==
，2S y ==，所以()3,2S ， 依题意，2C 的圆心()1,0M ，所以
SM ==
所以ST 最小值为1. 解法二：（1）同解法一；
（
2）将直l
的参数方程25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去t 得240x y --=，
即l 的普通方程为240x y --=，由2
240
4x y y x
--=⎧⎨
=⎩得2540x x -+=， 解得1x =或4，所以()4,4A ，又()2,0P ， 因为S 为PA 中点，即()3,2S ， 依题意，2C 的圆心()1,0M
，所以
SM ==
所以ST 最小值为1. 【点睛】
本题考查极坐标方程、直线的参数方程等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考
查数形结合思想、化归与转化思想等
23．（I ）(,1][1,)-∞-+∞U ；（II ）[1,2]-
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用零点法，进行分段，然后求解不等式的解集；
（Ⅱ）根据[2,4]x ∈，进行分类，当[2,3]x ∈时，原不等式等价于
|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤，即22a x
-≤，这样可以求出a 的取值范围； 当(3,4]x ∈时，原不等式等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤
这样可以求出a 的取值范围，综上所述求出a 的取值范围.
【详解】
（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥. 当12
x ≥
时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥； 当1122
x -≤≤时，12214x x -++≥，无解； 当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-； 综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞U
（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*）
当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813
a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤
即48ax -≤≤，所以48a x x
-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，以及不等式恒成立时，求参数的取值范围问题，进行分类讨论
是解题的关键.。