苏科版八年级上学期期末数学试卷 (解析版)

苏科版八年级上学期期末数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x > 2．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是 A ．456cm cm cm 、、
B ．123cm cm cm 、、
C ．234cm cm cm 、、
D ．123cm cm cm 、、 3．若分式
15x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．5x ≠ B ．5x = C ．5x > D ．5x <
4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是边BC 上的中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．7
C ．4
D ．11
5．下列四个图形中，不是轴对称图案的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ）
A ．4，5，6
B ．2，3，4
C 7 3，4
D ．12 3
7．已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩
，则在同一平面直角坐标系中，两函数y ＝x ＋5与y ＝﹣12
x ﹣1的图像的交点坐标为（ ） A ．（﹣4，1） B ．（1，﹣4） C ．（4，﹣1） D ．（﹣1，4）
8．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）
A ．－xz ＋yz ＝－z(x ＋y)
B ．3a 2b －2ab 2＋ab ＝ab(3a －2b)
C ．6xy 2－8y 3＝2y 2(3x －4y)
D ．x 2＋3x －4＝(x ＋2)(x －2)＋3x
9．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A ．1
B ．5
C ．7
D ．49
10．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（ ）
A ．（1，2）
B ．（﹣1，2）
C ．（1，﹣2）
D ．（﹣1，﹣2）
11．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC
上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）
A ．不存在
B ．等于 1cm
C ．等于 2 cm
D ．等于 2.5 cm 12．下列各数中，无理数是（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
13．满足下列条件的△ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．∠A ：∠
B ：∠
C ＝3：4：5
B ．a ：b ：c ＝1：2：3
C ．∠A ＝∠B ＝2∠C
D ．a ＝1，b ＝2，c ＝3
14．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．下列各组数是勾股数的是( )
A ．6，7，8
B ．132
C ．5，4，3
D ．0.3，0.4，0.5
二、填空题
16．下表给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的部分对应值， x … ﹣2 ﹣1 0 …
y … m 2 n …
则m +n 的值为_____．
17．某种型号汽车每行驶100km 耗油10L ，其油箱容量为40L ．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时邮箱内剩余油量不低于油箱容量的
18
，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是_____km ．
18．使3x -有意义的x 的取值范围是__________．
19．如图，在△PAB 中，PA=PB ，D 、E 、F 分别是边PA ，PB ，AB 上的点，且AD=BF ，BE=AF ，若∠DFE=40°，则∠P=____°.
20．将一次函数2y x =-的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______．
21．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．
22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线分别交边AB ，BC 于D ，E 点，且AC ＝EC ，则∠BAC ＝_____．
23．一次函数y ＝2x －4的图像与x 轴的交点坐标为_______．
24．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
25．函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.
三、解答题
26．（模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .
求证：BEC CDA ∆∆≌；
（模型应用）
①已知直线1l ：443
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点()8,6B ，作BA y ⊥轴于点A ，作BC x ⊥轴于点C ，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q 的坐标，若不能，请说明理由.
27．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 m，先到终点的人在终点休息等候对方．已知甲先出发4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y m与甲出发的时间t min之间的函数关系如图所示．
（1）甲步行的速度为 m/min；
（2）解释点P（16，0）的实际意义；
（3）乙走完全程用了多少分钟？
（4）乙到达终点时，甲离终点还有多少米？
28．为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2018年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象（其中a，b，c为常数）
收费标准
行驶路程
调价前调价后
不超过3km的部分起步价6元起步价a 元
超过3km不超出6km的部分
每公里b元
每公里2.1元
超出6km的部分每公里c元
设行驶路程xkm时，调价前的运价y1（元），调价后的运价为y2（元）如图，折线ABCD 表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
（1）填空：a= ，b= ，c= ．
（2）写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象．
（3）函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由．
29．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()3,3P ，()1,3Q -.
（1）求这个一次函数表达式；
（2）若函数y kx b =+的图象与x 轴的交点是A ，与y 轴交于点B ，求ABO ∆的面积（其中O 为坐标原点）.
30．解方程：
（1）4x 2﹣8＝0；
（2）（x ﹣2）3＝﹣1．
31．（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．
求证：△CDA ≌△BEC ．
（模型运用）
（2）如图2，直线l 1：y ＝
43
x +4与坐标轴交于点A 、B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转90°至直线l 2，求直线l 2的函数表达式．
（模型迁移） 如图3，直线l 经过坐标原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点A 在直线l 上，点P 为x 轴上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转30°得到BP ，过点B 的直线BC 交x 轴于点C ，∠OCB ＝30°，点B 到x 轴的距离为2，求点P 的坐标．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由图知：一次函数y=kx+b 的图象与y 轴的交点为（0，2），且y 随x 的增大而增大，由此得出当x ＞0时，y ＞2，进而可得解．
【详解】
根据图示知：一次函数y=kx+b 的图象与y 轴的交点为（0，2），且y 随x 的增大而增大； 即当x ＞0时函数值y 的范围是y ＞2；
因而当不等式kx+b-2＞0时，x 的取值范围是x ＞0．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
A 、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B 、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C 、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D 、∵12+）2=）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的定义即可求解.
【详解】
依题意得50x -≠，解得5x ≠，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的性质.
4．C
解析：C 【解析】【分析】
首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC
1
2
=CB，AD⊥BC，再利
用勾股定理求出AD的长．
【详解】
∵AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴DB=DC
1
2
=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】
A不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形.
故选A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A．42+52≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B．22+32≠42，不可以构成直角三角形，故B选项错误；
C）2+2≠42，可以构成直角三角形，故C选项错误．
D．12+）22，可以构成直角三角形，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【详解】
解：∵二元一次方程组
5
22
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=-
⎩
的解为
4
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣1
2
x﹣1的图像的交点坐标为：（-
4,1）
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
－xz＋yz＝－z(x-y)，故此选项错误；
3a2b－2ab2＋ab＝ab(3a－2b+1)，故此选项错误；
6xy2－8y3＝2y2(3x－4y)故此选项正确；
x2＋3x－4＝(x＋2)(x－2)＋3x，此选项没把一个多项式转化成几个整式积的形式，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
因式分解的意义．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=1
2
BC=3，AD同时是BC上的高线，
∴2222
345
BD AD
+=+=．
故它的腰长为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、（1，2）在第一象限，故本选项错误；
B、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；
C、（1，﹣2）在第四象限，故本选项正确；
D、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．
【详解】
解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，
∴AC′=AB-BC′=2cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．12．A
解析：A
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A. π是无理数；
B. =2，是有理数；
C. 是有理数；
D. =2，是有理数.
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
13．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理判断A、C即可；根据勾股定理的逆定理判断B、D即可．
【详解】
A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形；
B、∵12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形；
C 、∵∠A =∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠A =∠B =75°，∠C =37.5°，
∴△ABC 不是直角三角形；
D 、∵12+）2=22，
∴△ABC 是直角三角形．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查利用三角形内角和定理和勾股定理判定直角三角形，熟练掌握，即可解题. 14．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B ．此图案不是轴对称图形，符合题意；
C ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D ．此图案是轴对称图形，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
15．C
解析：C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．
【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B
C 、222345+=，故此选项正确；
D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+
解析：【解析】
【分析】
设y＝kx+b，将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入即可得出答案．
【详解】
设一次函数解析式为：y＝kx+b，
将（﹣2，m）、（﹣1，2）、（0，n）代入y＝kx+b，得：﹣2k+b＝m；﹣k+b＝2；b＝n；
∴m+n＝﹣2k+b+b＝﹣2k+2b＝2（﹣k+b）＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，把m+n看作一个整体，进行计算，是解题的关键．17．【解析】
【分析】
设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的，列出不等式，即可求解．【详解】
设该型号汽车行驶的路程是xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的，
∴﹣x+40≥40×，解
解析：【解析】
【分析】
设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的1
8
，列出不等式，即可求解．
【详解】
设该型号汽车行驶的路程是xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的1
8
，
∴﹣10
100
x+40≥40×
1
8
，解得：x≤350，
答：该辆汽车最多行驶的路程是350km，故答案为：350．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式的实际应用，找出不等量关系，列出一元一次不等式，是解题的关键．
18．【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的
x≥
解析：3
【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
x≥
故答案为3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数；
19．100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详
解析：100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B ，
在△ADF 和△BFE 中，AD BF A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADF ≌△BFE （SAS ），
∴∠ADF=∠BFE ，
∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF ，
∴∠A=∠DFE=40°，
∴∠P=180°-∠A -∠B=100°；
故答案为：100.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
20．【解析】
试题分析：解：设y=x+b ，
∴3=2+b，解得：b=1．
∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．
考点：一次函数
点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其
解析：1y x =+
【解析】
试题分析：解：设y=x+b ，
∴3=2+b ，解得：b=1．
∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．
考点：一次函数
点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k 的值不变．
21．27
【解析】
【分析】
把代入多项式，得到的式子进行移项整理，得，根据平方的非负性把和求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将代入，
得：
移项得：
，
，即，
时，
故答案为：27
【点睛
解析：27
【解析】
【分析】
把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．
【详解】
解：将x a =代入2269x x k ++=-，
得：2269a a k ++=-
移项得：2269a a k ++=-
22(3)a k ∴+=-
2(3)0a +，20k -
30a ∴+=，即3a =-，0k =
x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=
故答案为：27
【点睛】
本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键． 22．108°
【解析】
【分析】
连接AE ，多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角，然后在三角形ABC 中利用三角形内角和求得∠C 的度数，从而求得答案．
【详解】
连接AE ，如图所示：
∵AB
解析：108°
【解析】
【分析】
连接AE ，多次利用等腰三角形的等边对等角的性质得到相等的角，然后在三角形ABC 中利用三角形内角和求得∠C 的度数，从而求得答案．
连接AE，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∵AC=EC，
∴∠EAC=∠AEC，
设∠B=x°，则∠EAC=∠AEC=2x°，则∠BAC=3x°，
在△AEC中，
x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠BAC=3x°=108°，
故答案为：108°.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题关键是利用三角形内角和构建方程. 23．(2，0)
【解析】
【分析】
把y=0代入y=2x+4求出x的值，即可得出答案．
【详解】
把y=0代入y=2x－4得：0=2x－4，
x=2，
即一次函数y=2x－4与x轴的交点坐标是（2，0）
解析：(2，0)
【解析】
【分析】
把y=0代入y=2x+4求出x的值，即可得出答案．
【详解】
把y=0代入y=2x－4得：0=2x－4，
x=2，
即一次函数y=2x－4与x轴的交点坐标是（2，0）．
故答案是：（2，0）．
考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与x轴的交点的纵坐标是0．24．50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得
∠C=∠ABC，然后根据三
解析：50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得
∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
25．−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
如图所示,x>−1时,y>0，
当x<2时,y>0，
∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.
解析：−1<x<2.
【解析】
【分析】
根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答．
【详解】
>0，
如图所示,x>−1时,y
1
当x<2时,y2>0，
、y2的值都大于0的x的取值范围是：−1<x<2.
∴使y
1
故答案为：
−1<x<2.
【点睛】
此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于x 轴上方的图象的y 值大于0
三、解答题
26．【模型建立】详见解析；【模型应用】①721y x =--；②Q 点坐标为（4，2）或（
203
，223）. .
【解析】
【分析】
模型建立：根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定
△ACD ≌△CBE ；
模型应用：①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据
△CBD ≌△BAO ，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C （-3，5），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；
②分两种情况考虑：如图3，∠AQP=90°，AQ=PQ ，设Q 点坐标为（a ，2a-6），利用三角形全等得到a+6-（2a-6）=8，得a=4，易得Q 点坐标；如图4，同理求出Q 的坐标.
【详解】
模型建立：证明：∵AD CD ⊥，BE EC ⊥
∴90D E ∠=∠=︒.
∵CB CA =,∠ACB=90°.
∴1809090ACD BCE ︒︒∠+∠=-=︒.
又∵90EBC BCE ∠+∠=︒，
∴ACD EBC ∠=∠.
在ACD ∆与CBE ∆中， D E ACD EBC CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BEC CDA ∆∆≌.
模型应用：
如图2，过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，
∵45BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等腰直角三角形.
由（1）可知：CBD BAO ∆∆≌，
∴BD AO =，CD OB =.
∵144,3
:l y x =+ ∴令0y =，得3x =-，∴()30A -,
， 令0x =，得4y =，∴()0,4B .
∴3BD AO ==，4CD OB ==，
∴437OD =+=.
∴()4,7C -.
设2l 的解析式为y kx b =+
∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩
∴721k b =-⎧⎨=-⎩
2l 的解析式：721y x =--.
分以下两种情况：
如图3，当∠AQP=90°时，AQ=PQ ，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ．
在△AQE 和△QPF 中，由（1）可得，△AQE ≌△QPF （AAS ），
AE=QF ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-（2a-6）=8-a ，解得a=4.
此时点Q 的坐标为（4，2）.
如图4：当∠AQP=90°时，AQ=PQ 时，过点Q 作EF ⊥y 轴，分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ，设点Q 的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12，FQ=8-a ．
,
在△AQE和△QPF中，同理可得△AQE≌△QPF（AAS），
AE=QF，即2a-12=8-a，解得a=20 3
.
此时点Q的坐标为（20
3
，
22
3
）.
综上所述：A、P、Q可以构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为（4，
2）或（20
3
，
22
3
）.
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
27．（1）甲步行的速度为60 m/min；（2）当甲出发16 min时，甲乙两人距离0 m（或乙出发12 min时，乙追上了甲）；（3）乙步行的速度为80 m/min；乙走完全程用的时间为30min；（4）乙到达终点时，甲离终点距离是360米.
【解析】
【分析】
（1）根据甲先出发4 min，结合图象可知4 min他们的距离为240，即可求甲的速度；（2）结合函数图象可知，当t=16分钟时，y为0，据此可答；
（3）根据t=16分钟时，甲乙所走的路程相等求得乙步行的速度，再用总路程÷乙步行的速度即可得解；
（4）甲的速度×（乙走完全程的时间+4）=乙到达终点时甲的路程.再用总路程-甲的路程即可.
【详解】
（1）甲步行的速度为：240÷4＝60 m/min；
（2）当甲出发16 min时，甲乙两人距离0 m（或乙出发12 min时，乙追上了甲）；（3）乙步行的速度为：16×60÷12＝80 m/min；
乙走完全程用的时间为：2400÷80＝30min；
（4）乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4＋30）×60＝360米
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．（1）7，1.4，2.1；（2）y1=2.1x﹣0.3；图象见解析；（3）函数y1与y2的图象存在交
点（31
7
，9）；其意义为当 x<31
7
时是方案调价前合算，当x>
31
7
时方案调价后合算．
【解析】
【分析】
（1）a由图可直接得出；b、c根据：运价÷路程=单价，代入数值，求出即可；
（2）当x＞3时，y1与x的关系，由两部分组成，第一部分为起步价6，第二部分为
（x﹣3）×2.1，所以，两部分相加，就可得到函数式，并可画出图象；
（3）当y1=y2时，交点存在，求出x的值，再代入其中一个式子中，就能得到y值；y值的意义就是指运价.
【详解】
①由图可知，a=7元，
b=（11.2﹣7）÷（6﹣3）=1.4元，
c=（13.3﹣11.2）÷（7﹣6）=2.1元，
故答案为7，1.4，2.1；
②由图得，当x＞3时，y1与x的关系式是：
y1=6+（x﹣3）×2.1，
整理得，y1=2.1x﹣0.3，
函数图象如图所示：
③由图得，当3＜x＜6时，y2与x的关系式是：
y2=7+（x﹣3）×1.4，
整理得，y2=1.4x+2.8；
所以，当y1=y2时，交点存在，
即，2.1x﹣0.3=1.4x+2.8，
解得，x=31
7
，y=9；
所以，函数y1与y2的图象存在交点（31
7
，9）；
其意义为当 x<31
7
时是方案调价前合算，当 x>
31
7
时方案调价后合算．
本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意中的等量关系建立函数关系式，根据函数解析式求得对应的x 的值，根据解析式作出函数图象，运用数形结合思想等，熟练运用相关知识是解题的关键．
29．（1）36y x =-；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）将P 点和Q 点分别代入，直接利用待定系数法即可求得一次函数解析式；
（2）先分别求得A 、B 的坐标，由坐标即可求得AO 和BO 的长度，继而求得ABO ∆的面积.
【详解】
解：（1）分别将()3,3P ，()1,3Q -代入y kx b =+得
333k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得33k b =⎧⎨=-⎩
， ∴一次函数的表达式为：36y x =-；
（2）当y=0时，036x =-，解得2x =，故(2,0)A ，OA=2,
当x=0时，066y =-=-，故(0,6)B -,OB=6,
∴ABO ∆的面积为：
1126 6.22OA OB ⋅=⨯⨯= 【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决此题的关键．
30．（1）=x （2）1x =
【解析】
【分析】
（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根定义开立方即可求出解．
【详解】
解：（1）4x 2﹣8＝0，
移项得：4x 2﹣8＝0，即x 2＝2，
开方得：=x ；
（2）（x ﹣2）3＝﹣1，
开立方得：x ﹣2＝﹣1，
解得：x ＝1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法及立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）3944
y x =--；（3）点P 坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【分析】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．【详解】
（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
又CA＝BC，∠D＝∠E＝90°
∴△CDA≌△BEC（AAS）
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E
∵直线y＝4
3
x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，
∴OE＝7，
∴D（﹣7，3）
设l2的解析式为y＝kx+b，
得
37
03
k b
k b
=-+
⎧
⎨
=-+
⎩
解得
3
4
9
4
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
∴直线l 2的函数表达式为：3944
y x =-- （3）若点P 在x 轴正半轴，如图3，过点B 作BE ⊥OC ，
∵BE ＝2，∠BCO ＝30°，BE ⊥OC
∴BC ＝4，
∵将线段AP 绕点P 顺时针旋转30°得到BP ，
∴AP ＝BP ，∠APB ＝30°，
∵∠APC ＝∠AOC +∠OAP ＝∠APB +∠BPC ，
∴∠OAP ＝∠BPC ，且∠OAC ＝∠PCB ＝30°，AP ＝BP ，
∴△OAP ≌△CPB （AAS ）
∴OP ＝BC ＝4，
∴点P （4，0）
若点P 在x 轴负半轴，如图4，过点B 作BE ⊥OC ，
∵BE ＝2，∠BCO ＝30°，BE ⊥OC
∴BC ＝4，
∵将线段AP 绕点P 顺时针旋转30°得到BP ，
∴AP ＝BP ，∠APB ＝30°，
∵∠APE +∠BPE ＝30°，∠BCE ＝30°＝∠BPE +∠PBC ，
∴∠APE ＝∠PBC ，
∵∠AOE ＝∠BCO ＝30°，
∴∠AOP ＝∠BCP ＝150°，且∠APE ＝∠PBC ，PA ＝PB
∴△OAP ≌△CPB （AAS ）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【点睛】
本题是一道关于一次函数的综合题目，涉及到的知识点有全等三角形的判定定理及其性质、一次函数图象与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数解析式、旋转的性质等，掌握以上知识点是解此题的关键．。