一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法

一类具有二次和三次项的非线性振子方程的一种简单解法王斌
【摘要】应用何氏频率-振幅公式对一类具有二次和三次项的非线性振子方程获得了一个周期解,该方法简单,通过直接计算和计算机数值模拟表明获得的非线性振子方程的周期解是有效的.
【期刊名称】《兴义民族师范学院学报》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】3页(P118-120)
【关键词】何氏频率-振幅公式;二次和三次项;非线性;数值模拟;周期解
【作者】王斌
【作者单位】兴义民族师范学院, 贵州兴义 562400
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
近年来，随着非线性科学的发展，各种方法已被广泛地应用于处理非线性问题。

如变分方法（Variational Method）[1-4]，参数展开法（Parameter Expansion Method）[5，6], 同伦摄动法(Homotopy Perturbation Method）[7-10]，指数函数法（Exp-function Method）[11-12]，能量平衡法（Energy Balance Method），以及 L-P法(Lindstedt-Poincare)，谐波平衡法（Harmonic Balance），平均法（The Method of Averaging），多尺度法（Multiple Scales），渐进法（KBM）等。

用这些方法处理各种非线性问题，各有其特点，
但通常都比较复杂。

在本文中，针对一类具有二次和三次项的非线性振子方程（1），通过应用何氏频率-振幅公式，给出了一种简单，直接，高精度的近似解法，并通过计算机数值模拟，验证了这种解法的有效性。

其中，b为常数，且0≤＜＜b，＜＜A
若取 =0，则方程（1）演变为Duffing方程（2），在相关文献[19]中已有一些讨论和相应的结果。

根据何氏频率-振幅公式，我们使用两个试函数u1（t）=Acost和u2（t）
=Acosωt，它们分别是下面两个振子方程的解：
其中ω为振子方程（1）的频率.将u1（t）和u2（t）分别代入方程（1），整理得到如下残量
由文献[20,21]得何氏频率-振幅公式
其中t1和t2是局部点，通常取t1=T1/12，t2=T2/12，其中T1和T2分别是试函数u1（t）=Acost和u2（t）=A-cosωt的周期，即
由（3）（4）（5）（6）得
因此，可得系统(1)的近似周期解
为了描述所得结果的精度，我们给出下面的例子，取=0，则方程（1）变为
由（7）得它的近似频率为，而它的准确频率为.因此，当b=1,A=0.5时，它的精度可达到0.0260.
在MATLAB7.8.0环境中进行计算机数值模拟（以下图示中：虚线表精确值，实线表近似值）。

在方程（1）的条件之下，我们对A，，b取6组数值进行数值模拟：
对计算机数值模拟的分析总结：以上6种情况表明，在一定范围内，通过何氏频率－振幅公式所求得近似周期解具有较高的精度，通常情况下，在小时间范围内曲线拟合得较好，即具有较高的精度，但随着时间的增大，由于误差的累积传播，将
会导致曲线拟合程度逐渐变差。

因此，小时间范围内的解是可靠的。

在一定范围内，对一类具有二次和三次项的非线性振子方程应用何氏频率-振幅公
式求近似周期解，方法简单，直接，计算机数值模拟表明它具有较高的精度，因而是一种有效的方法，一般情况下能满足实际计算的精度要求，具有一定的应用价值。

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