2019届高三数学入学调研考试卷(四)理

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2019届高三入学调研考试卷
理 科 数 学（四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫
=≥⎨⎬-⎩⎭
，则U A
B
=
（ ） A ．{}12x x << B ．{}12x x <≤ C ．{}12x x ≤<
D ．{}14x x ≤<
2．下列命题错误的是（ ）
A ．命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程2
0x x m +-=无实数根，则0m ≤”
B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题
C ．“1x =”是“2320x x +=-”的充分不必要条件
D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
3．设a ∈R ，则“1a =”是直线“10ax y +-=与直线()250ax a y +-+=垂直”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数()5log ,0
,20x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩
，则
125f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
（ ） A ．4 B ．
1
4
C ．4-
D ．14
-
5．已知:p 函数()f x x a =-在()2,+∞上是增函数，:q 函数()()0,1x f x a a a =>≠是减函数，则p 是q 的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．若2log 0.2a =，02
2．b =，0.2log 0.3c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >>
7．函数22log x y x =+的零点在区间（ ）内 A ．11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．12,35⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．过点()e,e -作曲线e x y x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．()21e e y x =--+ B ．()2e 1e y x =-- C ．()e 1e 21e e y x ++=--
D ．()
e e 1e e 1y x +=--
9．若函数()()322311f x kx k x k =+--+在区间()0,4上是减函数，则k 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．10,3⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．1,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
10．已知函数()23131
x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数，且函数()
x a
g x x +=在()0,+∞上单调递增，则实数a 的值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
此
卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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11．若函数()2
1122f x a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．()1,+∞
12．已知偶函数()()0f x x ≠的导函数为()f x '，且满足()10f =，当0x >时，()()2xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()(),10,1-∞-
B ．()(),11,-∞-+∞
C ．()()1,01,-+∞
D ．()
()1,00,1-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．集合101x A x
x ⎧-⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，{}
B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 取值范围是____________． 14．不等式23
2122x x --⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
的解集是__________．
15．若函数()4
log ,2
,2x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，则a 的取值范围是__________．
16．设函数()3235f x x x ax a =--+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
17．（10分）已知集合121284 x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，21log ,,328B y y x x ⎧⎫
⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．
（1）若{}121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围；
（2）若{}61D x x m =>+，且()
A B D =∅，求实数m 的取值范围．
18．（12分）设p ：实数x 满足()()30x a x a --<，q ：实数x 满足3
02
x x +>+． （1）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；
（2）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围．
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19．（12分）计算：（1()
4
013
3
2140.2522-⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭；
（2）231
lg25lg2lg 0.1log 9log 22+-⨯．
20．（12分）函数()2a
f x x x
=-
的定义域为(]0,1()a ∈R ． （1）当1a =-时，求函数()y f x =的值域；
（2）若函数()y f x =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；
（3）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
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21．（12分）已知函数()2ln f x x a x =-．
（1）若函数()f x 在点()()3,3f 处切线的斜率为4，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若函数()()21ln 222a a
g x x f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝
⎭在[]1,4上是减函数，求实数a 的取值
范围．
22．（12分）设函数()()4322f x x ax x b x =+++∈R ，其中a ，b ∈R ． （1）当10
3
a =-
时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；
（3）若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式()1f x ≤在[]1,1-上恒成立，求b 的取值范围．
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2019届高三入学调研考试卷 理 科 数 学（四）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】由题意得{}{}{}|1111102A x x x x x x =-<=-<-<=<<， {}25410|1411x x B x x x x x x x ⎧-⎫⎧-⎫=≥=≥=<≥⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
或，
∴
{}14U B
x x =≤<，∴(){}12U A
B x x =≤<．故选
C ．
2．【答案】D
【解析】对于A ，利用逆否命题的定义即可判断出A 正确；
对于B ，若p q ∨为真命题，则p ，q 一真一假或p ，q 都为真，所以p ，q 至少有一个为真命题，B 正确；
对于C ，当1x =时，2320x x +=-；当2320x x +=-得1x =或2x =，不一定是1x =． ∴“1x =”是“2
320x x +=-”的充分不必要条件，C 正确；
对于D ，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，不表示p ，q 一定都是假命题，则D 错误．故选D ． 3．【答案】B
【解析】若1a =，则两条直线分别为10x y +-=、50x y -+=， 两直线斜率的乘积为1-，故两条直线相互垂直；
若两条直线相互垂直，则2
20a a +-=，故1a =或2a =-， 故“1a =”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选B ． 4．【答案】B
【解析】511log 22525f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭，
()112254f f f ⎛
⎫
⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选B ．
5．【答案】A
【解析】函数()f x x a =-在()2,+∞上是增函数，2a ∴≤； 函数()()0,1x f x a a a =>≠是减函数，01a ∴<<，
q p ∴⇒，p q ≠>，即p 是q 的必要不充分条件，故选A ．
6．【答案】D
【解析】因为2log 0.20a =<，02
12．b =>，020log 0
31．．c <=<，所以b c a >>， 故选D ． 7．【答案】C
【解析】令()22log x f x x =+，则函数在()0,+∞递增，则12102f ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭，
2
52222log 055f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，∴函数22log x y x =+的零点在区间21,52⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C ．
8．【答案】C
【解析】由e x y x =-，得'e 1x y =-，设切点为()
000,e -x x x ，则00
1e x x x y ='=-，
∴切线方程为()
()000e e 1x x y x x -=--，
∵切线过点()e,e -，∴()000e e =e x x x --，解得：0e 1x =+．
∴切线方程为()e 1e 1e e e 1y x x ++=----，整理得：()
e 1e 21e e y x ++=--．故选C ． 9．【答案】D
【解析】()()2361f x kx k x '=+-，函数()()322311f x kx k x k =+--+在区间()0,4上是减函数，
()()23610f x kx k x ∴=+-≤'在区间()0,4上恒成立，即2
2
k x ≤+在()0,4上恒成立，又()22g x x =
+在()0,4上单调递减，()()min 21
4423
g x g ===+，
2
故1
3k ≤．故选D ．
10．【答案】A
【解析】函数()23131
x x
a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数，∴函数()21
002a f -==， 则1a =±，若函数()1x a a
g x x x
+==+在()0,+∞上单调递增，则0a <，1a ∴=-，
故选A ． 11．【答案】A
【解析】由题意可得()2
11202f x a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即2
1122a ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，
函数()2
1122f x a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
有两个零点，则函数2
112y ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
与2y a =的图象有两个交点，作出图象，如图所示：
则021a <<，即1
02
a <<．故选A ． 12．【答案】D
【解析】根据题意，设函数()()2
f x
g x x =
，当0x >时，()()()
3
'2'0f x x f x g x x ⋅-⋅=
<，
所以函数()g x 在()0,+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数， 又()10f =，所以()10g =，故()g x 在()()1,00,1-的函数值大于零，
即()f x 在()()1,00,1-的函数值大于零．故选D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】()2,2-
【解析】()1,1A =-，当1a =时，()1,1B b b =-+，
因为“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，所以11
11
b b -<+>-⎧⎨
⎩，22b -<<． 故填()2,2-． 14．【答案】()
(),13,-∞-+∞
【解析】原不等式可以化为2
3222x x --<，所以2230x x -->，故1x <-或者3x >， 不等式的解集为()
(),13,-∞-+∞，故填()(),13,-∞-+∞．
15．【答案】3
2
a ≥-
【解析】∵()4log f x x =，在2x >的值域1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，要使值域为R ，x a +最大值
必须大于等于12，即满足122a +≥，解得：32a -≤．故答案为3
2a ≥-．
16．【答案】15,34⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】设()3235g x x x =-+，()()1h x a x =+，则()()23632g x x x x x =='--， ∴当02x <<时，()0g x '<，当0x <或2x >时，()0g x '>，
()g x ∴在(),0-∞，()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，∴当2x =时，()
g x 取得极小值()21g =，作出()g x 与()h x 的函数图象如图：
3
显然当0a ≤时，()()g x h x >在()0,+∞上恒成立，即()()()0f x g x h x =-<无正整数解，要使存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，显然02x =， ()()()()()()
112233g h g h g h ≥<≥⎧⎪∴⎨⎪
⎩，即321354a
a a ⎧≥<≥⎪∴⎨⎪⎩，解得1534a <≤．故答案为15,34⎛⎤ ⎥⎝⎦．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
17．【答案】（1）3m ≤；（2）1m ≥．
【解析】（1）{}27A x x =-≤≤，{}3|5B y y -=≤≤{}25A B x x -=≤≤，
①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <；
②若C ≠∅，则121
12215m m m m +≤-⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
∴23m ≤≤；综上3m ≤．
（2）{}37|A
B x x -=≤≤，∴617m +≥，∴1m ≥．
18．【答案】（1）()(),32,-∞--+∞；（2）()2,1--． 【解析】（1）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-． 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题． 所以13x <<或3x <-或2x >-，所以3x <-或2x >-，
所以实数x 的取值范围是()
(),32,-∞--+∞．
（2）当0a <时，p ：3a x a <<，由3
02
x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ⌝：32x -≤≤-，
因为p 是q ⌝的必要条件，所以{}{}323x x x a x a -≤≤-⊆<<， 所以332a a <->-⎧⎨⎩
，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--．
19．【答案】（1）3-；（2）1
2
-．
【解析】（1）原式(4
1
41232=--+⨯
=-．
（2）原式1
1112
32
2
222333log 3
lg25lg2lg10
log 3log 2lg 252102log 2log 2-
⎛⎫=
+--⨯= ⨯⨯⎪-⨯ ⎪⎝⎭
32
31lg102222
=
-=
-=-． 20．【答案】（1）)
22,⎡+∞⎣
；（2）(],2-∞-；（3）见解析． 【解析】（1）函数()1
=222y f x x x
=+≥，所以函数()y f x =的值域为)
22,⎡+∞⎣
．
（2）若函数()y f x =在定义域上是减函数，则任取1x ，(]20,1x ∈且12x x <都有()()12f x f x >成立，即()12
1212
+20a x x x x x x ⎛⎫
->
⎪⎝⎭
，只要122a x x <-即可，由1x ，(]20,1x ∈，故()1222,0x x -∈-，所以2a ≤-，故a 的取值范围是(],2-∞-．
（3）当0a ≥时，函数()y f x =在(]0,1上单调增，无最小值，当1x =时取得最大值2a -；由（2）得当2a ≤-时，()y f x =在(]0,1上单调减，无最大值，当1
x =
4
时取得最小值2a -；当20a -<<时，函数()y f x =在20,
2a
⎛⎤
- ⎥ ⎥⎝⎦
上单调减，在2,12a ⎡⎤-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
上单调增，无最大值，当22a
x -=时取得最小值22a -． 21．【答案】（1）6；（2）单调递减区间是20,2a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭； （3）7,16⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．
【解析】（1）()2a f x x x ='-，而()34f '=，即2343a
⨯-=，解得6a =．
（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．
①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为()0,+∞； ②当0a >时，()22222222a a x x a x a f x x x x x
⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=-=
'=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：
由此可知，函数()f x 的单调递减区间是20,a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间是2,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （3）()2
1ln 22
g x x ax x =--，于是()21212ax x g x ax x x +-=--=-'．
因为函数()g x 在[]1,4上是减函数，所以()0g x '≤在[]1,4上恒成立， 即221
0ax x x
+-≥在[]1,4上恒成立．
又因为函数()g x 的定义域为()0,+∞，所以有2210ax x +-≥在[]1,4上恒成立．
于是有2
12a x x
≥-，设1t x =，则114x ≤≤，所以有()22
211a t t t ≥-=--，114x ≤≤， 当14t =
时，()2
11t --有最大值716
-，于是要使()0g x ≤在[]1,4上恒成立， 只需716a ≥-，即实数a 的取值范围是7,16⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭．
22．【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞内是增函数，在(),0-∞，1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
内是减
函数；（2）88,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
；（3）(],4-∞-．
【解析】（1）()()
322434434f x x ax x x x ax =+=+'++． 当10
3
a =-
时，()()
()()241042212f x x x x x x x =-+=--'． 令()0f x '=，解得10x =，21
2
x =
，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞内是增函数，在(),0-∞，1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
内是减函数．
（2）()()
2434f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根． 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤．
解此不等式，得88
33
a -≤≤．这时，()0f
b =是唯一极值．因此满足条件的a 的取
值范围是88,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦．
（3）由条件[]2,2a ∈-可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
5
因此函数()f x 在[]1,1-上的最大值是()1f 与()1f -两者中的较大者．
为使对任意的[]2,2a ∈-不等式()1f x ≤在[]1,1-上恒成立，当且仅当()()11
11f f ≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，
即22b a
b a ≤--≤-+⎧⎨⎩
，在[]2,2a ∈-上恒成立，
所以4b ≤-，因此满足条件的的取值范围是(],4-∞-．。