2019-2020年高三数学 立体几何中的有关证明与综合问题教案

2019-2020年高三数学 立体几何中的有关证明与综合问题教案
例1． 已知斜三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底面是直角
三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<
α<90°），B ’在底面上的射影D 落在BC 上。

（1）求证：AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）当α为何值时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

讲解：（1）∵ B ’D ⊥面ABC ，AC 面ABC ，
∴ B ’D ⊥AC ，
又AC ⊥BC ，BC ∩B ’D=D ，
∴ AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥BC ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C ⊥BC ’。

即四边形BB ’C ’C 为菱形。

此时，BC=BB ’。

因为B ’D ⊥面ABC ，所以，就是侧棱B ’B 与底面ABC 所成的角。

由D 恰好落在BC 上，且为BC 的中点，所以，此时=。

即当α=时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

例2． 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。

（1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ；
（2）求二面角的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的
想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条
垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于
侧面PDC 为正三角形，所以，，那么我们自然想到：是否有？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，
∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。

在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又，， ∴ DE ⊥。

又面EDB ，
∴ 平面EDB ⊥平面PBC 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥。

所以，就是二面角的平面角。

∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，
A
C
C'
又平面ABCD 内的直线CB ⊥ DC 。

∴ CB ⊥面PDC 。

又面PDC ， ∴ CB ⊥PC 。

在Rt 中，。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥中，⊥平面，∠，，，为的中点。

（1）求证：平面；
（2）当点到平面的距离为多少时，平面与平面所成的二面角为？
讲解：题目中涉及到平面与平面所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。

另一方面，要证平面，应该设法证明CE 平行于面内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。

（1）延长BC 、AD 交于点F 。

在中，∠，所以，AB 、CD 都与AF 垂直，所以，CD//AB ，所以，∽。

又，，所以，点D 、C 分别为线段AF 、BF 的中点。

又因为为的中点，所以，EC 为的中位线，所以，EC//SF 。

又，，所以，平面。

（2）因为：⊥平面，AB 平面，所以，AB 。

又ABAF ，，所以，AB 面。

过A 作AHSF 于H ，连BH ，则BHSF ，所以，就是平面与平面所成的二面角的平面角。

在Rt 中，要使=，需且只需AH=AB=。

此时，在SAF 中，()a
a
a SA AF
AH
SF SA 4242
2⋅+=
⋅=，所以，。

在三棱锥S-ACD 中，设点A 到面SCD 的距离为h ，则
h=a AD SA SA AD SD SA AD CD SD SA
DC
AD S SA S SCD ACD 4
142
22
2=
+⋅=
⋅=⋅⋅⋅=⋅∆∆ 因为AB//DC ，所以，AB//面SCD 。

所以，点A 、B 到面SCD 的距离相等。

又因为E 为SB 中点，所以，点E 到平面SCD 的距离就等于点B 到面SCD 距离的一半，即。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

例4．如图，已知面，于D ，。

（1）令，，试把表示为的函数，并求其最大值；
（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使得？
讲解 （1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。

∵ 面，于D ， ∴ 。

∴
2
tan ,tan x
BD PD PBD x DC PD PCD ==∠==∠。

∴
()22
12tan 2+=⋅
+-
=
∠-∠=x x x x x
x PBD PCD 。

∵ 为在面上的射影。

∴ ，即。

∴ 4
22
21212
2
=
≤
+
=+=
x
x x x。

即的最大值为，等号当且仅当时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q 的存在性等价于：是否存在点Q 使得。

()3
1tan tan =
∠-∠=∠ABD ACD BAC 。

令，解得：，与交集非空。

∴ 满足条件的点Q 存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例5． 如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。

（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）若E 是PB 中点，求异面直线
B
PD 与AE 所成角的正切值；
（3）在侧面上寻找一点F ，使得EF 侧面PBC 。

试确定点F 的位置，并加以证明。

讲解： （1）连交于点，连PO ，则PO ⊥面ABCD ， ∴ ∠PAO 就是与底面所成的角， ∴ tan ∠PAO=。

设AB=1，则PO=AO •tan ∠PAO = 。

设F 为AD 中点，连FO 、PO ，则OF ⊥AD ，所以，PF ⊥AD ，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。

在Rt 中，，
∴ 。

即面与底面所成二面角的大小为
（2）由（1）的作法可知：O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以，。

∴ 就是异面直线PD 与AE 所成的角。

在Rt 中，2
522=
+=
PO OD PD 。

∴ 。

由，可知：面。

所以，。

在Rt 中，
5
102tan ==∠EO AO AEO 。

∴ 异面直线PD 与AE 所成
的角为。

（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首
先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平
移到点E 即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。

延长交于点，连接。

设为中点，连接。

∵ 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ∴ ，。

∴ 。

∴ 面⊥。

∵ ，，∴ 为正三角形。

∴ ，∴ 。

取AF 中点为K ，连EK ，则由及得四边形为平行四边形，所以，。

∴。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

1．（xx 年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD 是菱形，且==。

（I ）证明：⊥BD ；
（II ）假定CD=2，=，记面为，面CBD 为，求二面角 的平面角的余弦值；
（III ）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。

[答案与提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。

2．（xx 年全国高考）如图：正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=.
（Ⅰ）求MN 的长；
（Ⅱ）当为何值时，MN 的长最小；
（Ⅲ）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角的大小。

[答案与提示：（Ⅰ）21
222
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a MN ；（Ⅱ）时，MN 的长最小，为；（Ⅲ）]
3．（xx 年北京高考）如图：在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E 、F 两点，上下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为。

（1）求侧面与底面所成二面角的大小； （2）证明： （3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算。

已知它的体积公式是
()下底面中截面上底面S S S h
V ++=
46。

试判断与的大小关系，并加以证明。

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面） 答案与提示：（1）；（3）。

4.(1997年全国高考)如图,在正方体中,E,F 分别是的中点.
Ⅰ.证明AD ⊥;
Ⅱ.求AE 与所成的角; Ⅲ.证明面AED ⊥面;
Ⅳ.设＝2,求三棱锥的体积
C D
M B E
N
A F
A
A 1
D C 1
a
[答案与提示：（2）90º；（4）=1]。