高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.1 比较法课

比较法
课时提升作业六
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系中正确的是( )
A.t>s
B.t≥s
C.t<s
D.t≤s
【解析】选D.s-t=(a+b2+1)-(a+2b)
=(b-1)2≥0,所以s≥t.
【补偿训练】已知a>2,b>2,则( )
A.ab≥a+b
B.ab≤a+b
C.ab>a+b
D.ab<a+b
【解析】选C.因为a>2,b>2,所以-1>0,-1>0,则ab-(a+b)
=a+b>0.
所以ab>a+b.
2.(2016·商丘高二检测)给出下列命题:
①当b>0时,a>b⇔>1;②当b>0时,a<b⇔<1;③当a>0,b>0时,>1⇔a>b;④当ab>0时,>1⇔a>b.其中真命题是( )
A.①②③
B.①②④
C.④
D.①②③④
【解析】选A.①当b>0时,>1⇔-1>0⇔>0,
即a>b⇔>1,故①正确;
②当b>0时,<1⇔-1<0⇔<0,
即a<b⇔<1,故②正确;结合①知③正确;
由>1⇔-1>0⇔>0,知b>0时,
>1⇔a>b,b<0时,>1⇔a<b,即④不正确.
3.已知a>b>-1,则与的大小关系为( )
A.>
B.<
C.≥
D.≤
【解析】选B.因为a>b>-1,所以a+1>0,b+1>0,a-b>0,则-=<0,
所以<.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.(2016·大同高二检测)设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,则实数a,b满足的条件为________. 【解析】P-Q=(a2b2+5)-(2ab-a2-4a)
=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2,
所以,若P>Q,则实数a,b满足的条件为
ab≠1或a≠-2.
答案:ab≠1或a≠-2
5.若x<y<0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)(x+y),则M,N的大小关系为________.
【解析】M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).
因为x<y<0,所以xy>0,x-y<0.
所以-2xy(x-y)>0,所以M-N>0,即M>N.
答案:M>N
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.设A=+,B=(a>0,b>0),试比较A,B的大小.
【解题指南】本题可考虑使用作商法,另外化简时可考虑使用基本不等式.
【解析】因为==×=≥=1(当且仅当a=b时,等号成立).
又因为B>0,所以A≥B.
7.(2016·菏泽高二检测)已知a>0,b>0,
求证:+≥+.
【证明】-(+)
=+
=+=(a-b)·
=≥0,
所以+≥+.
8.已知a,b均为实数,用比较法证明:≥(当且仅当a=b时等号成立).
【证明】-=-
==≥0,
当且仅当a=b时等号成立,
所以≥(当且仅当a=b时等号成立).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·温州高二检测)已知a>b>0且ab=1,设c=,P=log c a,N=log c b,
M=log c(ab),则( )
A.P<M<N
B.M<P<N
C.N<P<M
D.P<N<M
【解析】选A.因为a>b>0且ab=1,
所以a>1,0<b<1,a+b>2,
所以0<c<1,得P<0,N>0,M=0,即P<M<N.
2.已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系是
( ) A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n
【解析】选B.因为a>b>0,c>d>0,
所以ac>bd>0,>,
所以m>0,n>0.又因为m2=ac+bd-2,
n2=ac+bd-(ad+bc),又由ad+bc>2,
所以-2>-ad-bc,所以m2>n2,所以m>n.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知0<x<1,a=2,b=1+x,c=,则a,b,c中最大的是________.
【解析】因为0<x<1,所以a>0,b>0,c>0,
又a2-b2=(2)2-(1+x)2=-(1-x)2<0,
所以a2-b2<0,所以a<b.又c-b=-(1+x)=>0,所以c>b,所以c>b>a.
答案:c
4.比较大小:log34______log67.
【解题指南】令log34=a,log67=b,利用对数运算性质,比较a-b与0的大小.
【解析】设log34=a,log67=b,则3a=4,6b=7,得7·3a=4·6b=4·2b·3b,即3a-b=,显然b>1,2b>2,则3a-b=>1⇒a-b>0⇒a>b.
答案:>
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a,b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.
【证明】因为a>0,b>0,且a≠b,所以a2b+ab2>2ab,
a3+b3>2ab.所以a2b+ab2-2ab>0,
a3+b3-2ab>0.
所以|a2b+ab2-2ab|-|a3+b3-2ab|
=a2b+ab2-2ab-a3-b3+2ab
=a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)+b2(a-b)
=(a-b)(b2-a2)=-(a-b)2(a+b)<0
所以|a2b+ab2-2ab|<|a3+b3-2ab|,
所以a2b+ab2比a3+b3接近2ab.
6.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半以速度n行走;乙有
一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走.如果m≠n,问甲、乙二人谁先到达指定地点?
【解析】设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2,依题意有:
m+n=s,+=t2.
所以t1=,t2=,
所以t1-t2=-==
-.其中s,m,n都是正数,且m≠n,所以t1-t2<0,即t1<t2,从而知甲比乙先到达指定地点.
【方法技巧】应用不等式解决实际问题的策略
(1)应用不等式解决实际问题时,关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决,也即建立数学模型是解应用题的关键.
(2)在实际应用题中解决不等式问题时,常用比较法来判断数的大小关系,若是选择题或填空题,则可用特殊值加以判断.。