安徽省太和中学2016-2017学年高二下学期第三次月考数

安徽省太和中学2016-2017学年高二下学期第三次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数4
121i z i i -⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
的共轭复数z =（ ）
A ．12i --
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i +
2.函数()02f x x x x π⎛
⎫=+≤≤ ⎪⎝
⎭的最大值为（ ）
A ．
4π B ．2π D ．14
π
+ 3.观察下列各式：133=，239=，3327=，4381=，⋅⋅⋅，则20163的末位数字为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．9 4.设离散型随机变量X 的分布列为：
则q =（ ）
A ．
1
2
B ．1- C. 1+ D ．1±b
5.设函数()()310f x x ax a =++<，曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b =+，则a b +=（ ）
A ．1-
B ．1 C. 2 D ．4
6.西北某地根据历年的气象资料显示，春季中一天发生沙尘暴的概率为0.45，连续两天发生沙尘暴的概率为0.3，已知某天发生了沙尘暴，则随后一天发生沙尘暴的概率为（ ）
A ．1
3
B ．12 C. 23 D ．34
7.某大学的外文系有一个翻译小组，该小组中会法语不会英语的有1人，英语法语都会的有2人，从该小组任取2人，设X 为选出的人中英语法语都会的人数，若()3
05
P X >=，则该小组的人数为（ ）
A ．5
B ．6 C. 8 D ．10 8.若()
2016
22016012201612x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，x R ∈，则3
2016122320162222
a a a a -
+++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．1-
B ．1
2
- C. 0 D ．1
9.已知数列{}n a 中，11
1n n a a -=-，20163a =，则1a =（ ）
A ．12-
B ．1
3 C. 23 D ．3
10. ()10
a b c +-的展开式中，24m a b c 的系数为（ ）
A ．24106C C -
B ．2108m
C C - C. 24106C C
D ．2
4108C C
11.用五种不同的颜色给图中ABCDEF 六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法（ ）
A ．720种
B ．840种 C. 960种 D ．1080种
12.某竞猜活动有54人参加.设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品.假定每位参与者答对每道填空题的概率为
12，答对每道选择题的概率为1
3
，且每位参与者答题互不影响.设参与者中可获得纪念品的人数为X ，则均值（数学期望）EX =（ ） A ．6 B ．7 C. 8 D ．9
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设i 是虚数单位，复数
()1a i
a R i
-∈+的实部与虚部相等，则a = ． 14. (
)6
2
12x ⎛
++ ⎝
的展开式中常数项为 ．
15.对于任意实数,a b ，定义{},max ,,a a b
a b b a b
≥⎧=⎨<⎩，若(){}
2max 1,f x x =，则
()2
2
f x dx -=⎰ ．
16.某高三理科班组织摸底考试，六门学科在两天内考完，其中上午考一门，下午考两门，语文安排在第一天的上午，数学和英语必有一门安排在上午，若安排在下午必须安排在第一
场，数学和物理不能安排在同一天，则不同的考试安排方案有．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC
∆中，用综合法证明：
sin sinC
1
sin sin sin sin
A
A B B C
+=
++
是60
B
∠≤ 的充分不必要条
件.
18.
已知
1
2n
⎛⎫
⎝
的展开式中第6项为常数项.
（Ⅰ）求展开式中2x的系数；
（Ⅱ）求展开式中所有的有理项.
19.新一届班委会的7名成员有A、B、C三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.
（Ⅰ）若正、副班长两职只能由A、B、C三人选两人担任，则有多少种分工方案？（Ⅱ）若A、B、C三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？
20.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
（Ⅰ）求43251是这个数列的第几项；
（Ⅱ）求这个数列的第96项；
（Ⅲ）求这个数列的所有项和.
22.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图
.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重X服从正态分布()2
57,
N a.
（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于54～57kg之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54～57kg之间的人数为Y，利用（ⅰ）
的结论，求Y 的分布列及EY .
22.设函数()x f x ax e =-，a R ∈，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）若函数()f x 存在两个零点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x R ∈，0a >，()2f x a ka ≤-恒成立，求实数k 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDABC 6-10: CBAAD 11、12：DB
二、填空题
13. 0 14. 124 15.
20
3
16. 14 三、解答题
17.解析：
()()()()2sin sin 11sin sin sin sinC A C a c
a b c c a b b c a b b ac
A B B a b b c +=⇒+=⇒+++=++⇒=++++.
2222221cos 602222
a c
b a
c ac ac ac B B ac ac ac +-+--==≥=⇒∠≤ ，
而21cos 2b ac B =⇒≥不可逆，故sin sin 1sin sin sin sin A C
A B B C +=++是60B ∠≤ 的充分不必要条
件.
18.解析：（Ⅰ）展开式的通项为23
3111232r r
n r n r r
r r n
n r T C x x C x
--+⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 由题意得5r =时，有
203
n r
-=，即10n =. 令10223r -=，得2r =，∴展开式中2x 的系数为2
21014524C ⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
. （Ⅱ）由（Ⅰ）可令
()1023r k k Z -=∈，则3
52
r k =-. ∵r N ∈且010r ≤≤，∴k 可取2,0,2-即r 可取2,5,8.
∴展开式中所有的有理项为2
2
2210
14524C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5
51016328C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，8
82
102
145
2256C x
x -⎛⎫-=
⎪⎝⎭
.
19.解析：（Ⅰ）先确定正、副班长，有23A 种选法，其余全排列有5
5A 种，
共有2535720A A =种分工方案.
（Ⅱ）方法一：设A 、B 、C 三人的原职务是a 、b 、c ，当ABC 任意一人都不担任abc 职
务时有3444A A 种；当ABC 中一人担任abc 中的职务时，有11243244C A A A 种；
当ABC 中两人担任abc 中的职务时，有211434143C A A A 种；当ABC 中三人担任abc 中的职务时，有442A 种；故共有
3411242144444321434444321343216A A C A A A C A A A A +++==种分工方案.
方法二：担任职务总数为77A 种，当A 担任原职务时有66A 种，同理BC 各自担任原职务时也
各自有66A 种，而当AB 、BC 、CA 同时担任原职务时各有55A 种；当ABC 同时担任原职务
时有44A 种，故共有7654476544331343216A A A A A -+-==种分工方案.
20.解析：（Ⅰ）大于43251的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的有4424A =（个），第二类：以45开头的有336A =（个）
，第三类：以435开头的有222A =（个）
， 故不大于43251的五位数有()55246288A -++=（个）
，即43251是第88项. （Ⅱ）数列共有120项，96项之后还有1209624-=项。

即比第96项所表示的五位数大的五位数有24个，
∴小于5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321. （Ⅲ）∵1,2,3,4,5各在万位上时都有24个五位数，∴万位上数字的和为
()1234524++++⨯，
同理1,2,3,4,5在千位、百位、十位、个位上也有24个五位数，∴这个数列的所有项和为
()()12345241101001000100001524111113999960++++⨯⨯++++=⨯⨯=.
21.解析：（Ⅰ）这400名学生中，体重超过60kg 的频率为()1
0.040.0154
+⨯=， 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg 的概率为
14
. （Ⅱ）（ⅰ）∵()
257,X σ～N ，()1604P X >=，∴()1
544
P X >=，
∴()1154601242P X <>=-⨯
=，∴()111
5457224
P X <>=⨯=.
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
其中体重介于5457kg ～之间的人数13,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()331344i
i
i P Y i C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,3i =.
所以Y 的分布列为
13
344
EY =⨯=.
22.解析：（Ⅰ）()x f x a e '=-.
当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件； 当0a >时，由()0f x '=解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x '<，当ln x a <时，()0f x '>. 故()f x 在ln x a =处取得最大值()ln ln f a a a a =-，
∵()f x 存在两个零点，∴()ln ln 0f a a a a =->，a e >，即a 的取值范围是(),e +∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln f x a a a ≤-，故只需2ln a a a a ka -≤-，1ln k a a ≤+-.
令()1ln g a a a =+-，()1
1g a a '=-，当1a >时，()0g a '>；当1a <时，()0g a '<.
故()g a 在1a =处取得最小值2，则2k ≤，即k 的取值范围是(],2-∞.。