概率统计单元自测

《概率论与数理统计》单元自测题
第一章 随机事件与概率
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1．设A ，B 是随机事件，7.0)(=A P ，5.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ，则
=)(AB P _____________，=)(A B P _____________；
2．设A ，B 是随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=AB P ，则=)(B A P __________； 3．在区间)1,0(中随机地取两个数，则两数之和小于1的概率为___________；
4．三台机器相互独立运转，设第一、第二、第三台机器发生故障的概率依次为0.1，0.2，0.3，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为_____________；
5．设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于27
19，则事件A 在每次试验中出现的概率)(A P 为____________。

二、选择题：
1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件A 为（ ） (A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙产品均畅销”； (C )“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； (D )“甲种产品滞销”。

2．设A ，B 为两个事件，则下面四个选项中正确的是（ ） (A ) )()()(B P A P B A P +=⋃； (B ))()()(B P A P AB P =； (C ))()()(A P B P A B P -=-； (D ))((1)(AB P B A P -=⋃。

3．对于任意两事件A 与B ，与B B A =⋃不等价的是（ ） (A ) B A ⊂； (B )A B ⊂； (C ) φ=B A ； (D )φ=B A 。

4．设6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则有（ ） (A ) 事件A 与B 互不相容； (B ) 事件A 与B 互逆； (C )事件A 与B 相互独立； (D )A B ⊂。

三、计算题：
1．已知30件产品中有3件次品，从中随机地取出2件，求其中至少有1件次品的概率。

2．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项都做的概率为0.19。

求：
⑴已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
⑵已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
4．某人钥匙掉了，落在宿舍中的概率40%，这种情况下找到的概率为0.85；落在教室的概率为35%，这种情况下找到的概率为20%；落在路上的概率为25%.这种情况下找到的概率为10%，试求此人能找到钥匙的概率。

5．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“-”；由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“-”；同样，当发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“*”.求：
⑴收报台收到信号“*”的概率；
⑵当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率。

《概率论与数理统计》单元自测题
第二章 随机变量及其分布
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1．已知随机变量X 只能取2,1,0,1-四个数值，其相应的概率依次为c 21，c 43，c 85，c
81，则=c ____________；
2．设随机变量X )(~λP ，且}2{}1{===X P X P ，则λ=_____________；
3．设随机变量X 的分布函数为⎩⎨
⎧≤>-=-.
0,
0,
0,
1)(x x e x F x 则=>)3(X P ； 4．设随机变量X B ~),2(p ，随机变量Y B ~),3(p ，若9
5}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P ___； 5．设随机变量X 的分布函数为)2
arctan 2(1)(x
x F +=ππ，则X 的密度函数为____________。

二、选择题：
1．如下四个函数那个是随机变量X 的分布函数（ ）
(A )⎪⎩⎪⎨
⎧≥<≤--<=.22
,0292
,
20
)(x x x x F ； (B )⎪⎩⎪
⎨⎧≥<≤<=.1
,0sin ,00
)(ππx x x
x x F ； (C )⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.21,20sin ,
00)(ππx x x
x x F ； (D )⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥<≤-
<=.
2
11,21
041,
00)(x x x x x F 。

2．设X )2,3(~2
N ，则=<<}51{X P （ ） (A ))1()5(Φ-Φ； (B )1)1(2-Φ； (C )
1)21(21-Φ； (D ))4
1()45(Φ-Φ。

3．已知X ),(~2
σμN ，则随σ的增大，}|{|σμ<-X P 是（ ） (A )单调增加； (B )单调减少； (C )保持不变； (D )非单调变化。

4．设随机变量X )6,1(~U ，则方程012
=++Xt t 有实根的概率为（ ）
(A )
54； (B )1； (C )32； (D )5
2。

三、计算题：
1．袋中有5个球，分别编号1，2，…，5，从中同时取出3个球，用X 表示取出的球的最
小号码，试求：⑴ X 的分布律；⑵ }2{≤X P 。

2．设随机变量X 的密度函数为
=)(x f ⎩⎨
⎧<<.,
0,0,2其它A x x
试求：⑴ 常数A ；⑵X 的分布函数；⑶}2
321{<<-X P 。

3．某人上班所需的时间X )100,30(~N （单位：min ），已知上班时间是30:8，他每天50:7出门，求：⑴ 某天迟到的概率；⑵ 一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

4．设随机变量X
试求：⑴ 12+-=X Y 的分布律；⑵ )sin(2
X Z =的分布律。

5．已知X 服从]1,0[上均匀分布，求13+=X Y 的概率密度。

6．设随机变量X 服从参数
1=λ的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数)(y f Y 。

《概率论与数理统计》单元自测题
第三章 多维随机变量及其分布
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
则==}2{X P ____________，=-=}1{Y P ___________； 2．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
则α、β应满足的条件为_____________，若X 与Y 相互独立，则α= _______，β=_______；
3．设二维随机变量),(Y X 服从区域G 上的均匀分布，G 由曲线2
x y =和x y =所围成，则),(Y X 的联合密度函数为________________________；
4．设随机变量X ),(~2
11σμN ，Y ),(~2
22σμN ，且X 与Y 相互独立，则),(Y X 服从___________________；
5．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间)1,0(上的均匀分布，则=>}1),{max(Y X P _____________。

二、选择题：
1．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为
=),(y x f ⎩⎨
⎧>>+-.
,
0,
0,0,
)43(其它y x Ae y x
则常数A 为（ ）
(A )12； (B )3； (C )4； (D )7。

2．设随机变量X 服从区间)3,0(上的均匀分布，Y 服从参数为3的指数分布，且X 与Y 相互独立，则),(Y X 的联合密度=),(y x f （ ）
(A )⎪⎩⎪⎨⎧><<=-,
,
0,0,30,
3
1),(3其它y x y y x f y ；
(B )⎩⎨
⎧><<=-,
,0,
0,30,
),(3其它y x e y x f y ；
(C )⎩⎨
⎧><<=-,,0,
0,30,
3),(3其它y x e y x f y ；
(D )⎩⎨
⎧>>=-,
,
0,
0,3,
),(3其它y x e y x f y 。

3．设二维随机变量),(Y X ),,,,(~2
22
121ρσσμμN ，则（ ） (A ) Y X +服从正态分布； (B )Y X -服从正态分布； (C )X 及Y 均服从正态分布； (D )Y X ⋅服从正态分布。

4．设随机变量X 与Y
则==}{Y X P （ ） (A ) 1； (B ) 0； (C )2
1-
； (D )21。

5．设随机变量X 与Y 相互独立，其分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y 则),min(Y X Z =的分布函数=)(z F Z （ ）
(A ))()(1z F z F Y X ⋅-； (B ))()(z F z F Y X ⋅；
(C ))](1[)](1[1z F z F Y X -⋅--； (D ))](1[)](1[z F z F Y X -⋅-。

三、计算题：
1．10件产品中有2件一级品，7件二级品，1件次品.从中任取3件，用X 表示其中的一级品数，用Y 表示其中的二级品数，试求：⑴ ),(Y X 的联合分布律；⑵ 关于X 及Y 的边缘分布律；⑶ 判断X 与Y 是否独立。

2．设),(Y X 的联合密度函数为
=),(y x f ⎩⎨
⎧<<<<.
,
0,10,0,
8其它y y x xy
求：⑴ 关于X 及Y 的边缘密度；⑵ }1{≤+Y X P ；⑶ 判断X 与Y 是否独立。

3．设二维随机变量),(Y X 的分布律
求以下随机变量的分布律：⑴；⑵.
4．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
)(x f X ⎩⎨
⎧≤≤=.
,
0,10,
1其它x ，)(y f Y ⎩⎨
⎧>=-.
,
0,0,
其它y e y
求：⑴ }{X Y P <；⑵ 随机变量Y X Z +=的概率密度.
5．设随机变量X 与Y 相互独立并且同分布，其概率分布律为
且1}0{==XY P .试求：⑴ ),(Y X 的联合分布律；⑵判断X 与Y 是否独立。

—
《概率论与数理统计》单元自测题
第四章 随机变量的数字特征
专业 班级 姓名 学号
一、填空题：
1．设随机变量321,,X X X 相互独立，其中)6,0(~1U X ，)4,0(~2N X ，)3(~3P X ，则
=+-)32(321X X X E _____________，=+-)32(321X X X D _____________；
2．设随机变量)(~λE X ，则=>)}({X E X P _____________；
3．已知随机变量),(~p n B X ，且4.2)(=X E ，68.1)(=X D ，则二项分布中的参数
=n ____________，=p ____________；
4．设X 和Y 相互独立,且)1,0(~N X ,)4,1(~N Y ,则=≤+)1(Y X P _____________；
5．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=.
11,10,
00)(3
x x x
x x F 则=)(X E ___________。

二、选择题：
1．设二维随机变量),(Y X 的联合密度为),(y x f ，则=)(XY E （ ） (A ))()(Y E X E ⋅； (B )⎰⎰
∞+∞
-∞+∞
-dxdy y x f ),(；
(C )
⎰⎰
∞+∞-∞+∞
-⋅dxdy y x f xy ),(； (D )都不对。

2．设随机变量X 和Y 相互独立，b a 、为常数，则=-)(b aX D （ ） (A )2
2
)(b X D a -； (B ))(2
X D a ； (C )b X aD -)(； (D )b X aD +)(。

3．设X 和Y 是两个随机变量，a 为常数，则=+),(Y a X Cov （ ） (A )),(Y X Cov ； (B )),(Y X aCov ； (C )),(2
Y X Cov a ； (D )),(Y X aCov 。

4．设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，则X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的。

（ ）
(A ) 不一定； (B ) 正确； (C )不正确。

5．设X 与Y 是两个随机变量，若X 与Y 不相关，则一定有X 与Y 相互独立。

（ ） (A ) 不一定； (B ) 正确； (C )不正确。

三、计算题：
1．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
求：⑴ )(X E ，)(Y E ，)(XY E ；⑵ ),(Y X Cov ，XY ρ。

2．设随机变量),(Y X 的分布律为
验证X 与Y 是不相关的，但与不是相互独立的.
3．设),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及01=++y x 所围成的区域，求：⑴ )(X E ；⑵ )23(Y X E +-.
4．设),(Y X 的联合密度函数为
=),(y x f ⎩⎨
⎧≤≤≤≤--.
,
0,10,10,
2其它y x y x
⑴ 判断X 与Y 是否相互独立？ ⑵ 试求)(XY E 。

《概率论与数理统计》单元自测题
第五章 大数定律和中心极限定理
专业 班级 姓名 学号
1．设)(X E μ=，)(X D 2
σ=，则由利用切比雪夫不等式知≥<-}3|{|σμX P ； 2．设某电路系统由100个相互独立起作用的部件所组成.每个部件正常工作的概率为0.9.为了使整个系统起作用,至少必须有87个部件正常工作,试用中心极限定理求整个系统起作用的概率。

（注：84.0)1(=Φ，这里)(x Φ为标准正态分布函数）
3．计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。

为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入运算，则可以认为误差服从]2
1
,21[-
上的均匀分布。

若在一项计算中进行了48次运算，试用中心极限定理求总误差落在区间]2,2[-上的概率。

（注：84.0)1(=Φ，这里)(x Φ为标准正态分布函数）
《概率统计》单元自测题
第七章 参数估计
专业 班级 姓名 学号 一 填空题
1.设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的样本，若)(~λP X ,则λ的矩估计量为 ；若),0(~θU X ,则θ的矩估计量为 。

二 计算题
1. 设总体X 的概率分布为
其中θ)2
0(<
<θ是未知参数,利用总体X 的样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.
2. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的样本，X 的密度函数为
⎩
⎨
⎧≤≤+=其他,01
0,)1()(x x x f θθ 其中θ未知，0>θ，求θ的最大似然估计量。

—
3.设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的样本，X 的密度函数为
⎩⎨
⎧>=-其他,
0,2)()(2θ
θx e x f x 其中θ未知，0>θ，求θ的矩估计量和最大似然估计量。