高2018级2020年10月广东省深圳实验学校高三11月月考数学试题参考答案

深圳实验学校、长沙一中2021届两校联考
数学试卷参考答案及评分标准
选择题：
1.A 解析：由2
{|20}{|21}A x x x x x =+-<=-<<,{|03}B x x =<<,得 {|23}A B x x =-<<,故选A.
2.B 解析：由(13i)2i z +=-,得
2i (2i)(13i)
17i 13i (13i)(13i)1010
z ---===--++-,所以虚部为7
10-,
故选B.
3.B 解析：若sin cos A B =,则π2A B +=或π2A B -=,
即π
2C
=或π2
A B -=,
若π2C =,则π2A B +=,则π
sin sin()cos 2
A B B =-=,故选B.
4.C 解析：A,B 图像关于原点对称,故()f x 为奇函数,即()(
)0f x f x +-=,
(
)())
)0f x f x kx kx +-=+=,得1k =±,所以A,B
正确,
C,D 图像关于y 轴对称,()f x 为偶函数,))kx kx =,得0k =,此时图像为D,故选C.
5.D 解析：圆的方程整理得
22
2(2)8x y a -++=-（）, 圆心为(1,1)-,∴80a ->即8a <,因
为弦的长度小于6,故有6<, 解得9a >-,(9,8)a ∴∈-,故选D .
6.D 解析：61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为621
6(1)r r r
r T C x -+=-,所以6
1
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为
3
3
6
(1)20C -=-,含2x -项的系数为4
46
(1)15C -=,所以6
21(2)x x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式中的常数
项为1152(20)25⨯+⨯-=-,故选D.
7.D 解析：设(,0)F c ,可得FM b =,OM a =,16OMF S ∆=,即
1
162
ab =,所以32ab =,又222a b c +=,解得8,4,a b c ===故选D. 8.C 解析：因为11
()()2252121
x x f x f x x x -+-=
+++-+=++,所以()f x 图像关于点5(0,)2
对称,又2
2ln 2()10(21)x x f x '=->+,所以()f x 单调递增, (41)(2)5x x f m f m ⋅++-≥等价于(41)(2)(2)(2)x x x x f m f m f m f m ⋅++-≥-+-,
即(41)(2)x
x
f m f m ⋅+≥-恒成立,所以412x x
m m ⋅+≥-,21
(0)41
x x
m x -≥>+,令 21x t -=(0)t >,可得22
(1)122
t t
m t t t ≥
=++++,而 2121
22222222t t t t t
-=≤=+++++,所以212
m -≥,故选C.
9.ACD 解析：对于A,因为0a b >>,所以
11a b
<,所以A 正确;对于B,当0c =时,22
ac bc >不成立,所以B 错误;对于C,因为0a b >>,函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭是R 上的减函数,所以
1122a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 正确;对于D,因为0a b >>,所以2
0a ab >>,因为lg y x =是()0,+∞上的增函数,所以2lg lg()a ab >,所以D 正确,故选ACD.
10.BCD 解析：设()f x 的最小正周期为T ,由题图可知
11π7ππ212123
T =-=,所以2π3T =
,3=ω,当7π12x =时,0=y ,即7ππ32π(Z)122
k k ϕ⨯+=-∈, 所以9π2π()4k k Z ϕ=-∈,因为π||2ϕ<,所以1k =,π
4ϕ=-,
所以π()cos 34f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,又π3ππ2()cos 2243f A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
,所以322=A , 所以22π()cos 334f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭,所以22()sin 33g x x =-
,选BCD.
11.BC 解析：在四棱锥P ABCD -中：
由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ,交线为CD , 底面ABCD 为矩形,BC CD ⊥,则
BC ⊥平面PCD ,过点B 只能作一条直线与已知平面垂直, 所以选项A 错误;
连接AC 交BD 于O ,连接MO ,PAC ∆中, OM ∥PA ,MO ⊂面MBD ,
PA ⊄面MBD ,所以//PA 面MBD ,所以选项B 正确;
四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半,取CD 中点N ,连接PN ,PN CD ⊥,则PN 平面ABCD ,32PN =四棱锥M ABCD -的体积
11
2326321223
M ABCD V -=⨯⨯=所以选项D 错误.
矩形ABCD 中,易得6,3,3AC OC ON ===PCD ∆中求得：1
62
NM PC ==在Rt MNO ∆中223MO ON MN =+=
即：OM OA OB OC OD ====,所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心,半径为3,所以其体积为36π,所以选项C 正确,故选BC.
12.ABD 解析：由13a =,21344a a a -=+,设公比为q ,
A P
D
C
B N
M
O
则2
43343q q -⋅=+⋅,解得12q =-
,所以11
3()2
n n a -=⋅-, 1
3(1())
1221()121()2
n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--;
1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛
⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝
⎭;所以A,B 正确,
若3a =,则23p s a a a ⋅=,1122
111()p s p s a a a q a q a q --⋅==,所以
114p s q q q --=,6p s +=,则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1p s =⎧⎨=⎩
,此时19145p s +=或114或
194或465;C 不正确,122(),1221()1222(),2
n n n n n S n ⎧+⎪⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎪-⎪⎩为奇数
为偶数,
当n 为奇数时,(2,3]n S ∈,当n 为偶数时,3
[,2)2
n S ∈,
又1n n y S S =-
关于n S 单调递增,所以当n 为奇数时,138
(,]23n n S S -
∈,当n 为偶数时,153[,)62n
n S S -∈,所以83m ≥,56t ≤,所以8511366
m t -≥-=,D 正确,故选ABD. 填空题：
13. 14.59- 15.11- 16.1
2
(,0)(0,)e e
-
13.
答案：解析：
(2,+=
a b ,2||()7∴+=∴+=a b a b , 2227+⋅+=a a b b ,
又||2=a ,||1=b ,1∴
⋅=a b
,|2|∴+=a b
,故答案为14.答案：5
-
解析：联立22y x =-与2
8y x =得,2410x x ++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则
124x x +=,121x x =,1212(22)(22)8y y x x =--=-,
1212(2)(2)11FA FB x x y y ⋅=--+=-.
16.答案：12
(,0)(0,)e e
-
解析：2
1ln()()x f x x --'=,易求()f x 的极小值为1
()f e e
-=-.
令1()0g x m
+
=,即22
20x mx m +-=,解得方程两根为m -和2m ,
函数()h x 的零点即方程()f x m =-和()2
m
f x =的根.
∴函数()h x 有3个不同的零点需满足：
当0m <时,121
()()(,0)2m f x f x e ==∈-且3()(0)f x m =-∈+∞，
, 1232
()()2()2()(0,)22m m f x f x f x m m e
∴++=++-=-∈;
当0m >时,121()()(,0)f x f x m e
==-∈-且3()(0)2
m
f x =
∈+∞，, 1231
()()2()()()2()(,0)2m f x f x f x m m m e ∴++=-+-+=-∈-,
综上：123()()2()f x f x f x ++的范围为 12
(,0)(0,)e e
-.
解答题：
17.(10分) 解析：(1)
AD ⊥侧面PAB ,PE ⊂平面PAB ,
AD EP ∴⊥………………………………………… 2分 又△PAB 等边三角形,E 是线段AB 的中点,
AB EP ∴⊥ …………………………………………… 3分 AD AB A =,PE ∴⊥平面ABCD , CD ⊂平面ABCD ,PE CD ∴⊥;
…………………………………………………………… 5分 (2)以E 为原点,以在平面ABCD 内过E 且垂直于AB 的直线为x 轴,以EA 、EP 分别为y 、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则(0,0,0)E ,(1,1,0)C -,(2,1,0)D ,(0,0,3)P .
(2,1,0)ED =,(0,0,3)EP =, (1,1,3)PC =--.……………………………… 7分
设(,,)n x y z =为平面PDE 的一个法向量.
由2030
n ED x y n EP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩令=1x ,可得(1,-2,0)n =, ……………………………… 9分 设PC 与平面PDE 所成角为θ,得3
sin cos ,5
PC n
PC n PC n θ⋅=<>==⋅,……… 11分
所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为
3
5
.…………………………………………… 12分 18.(12分)
解析：选① sin sin 4sin sin b A a B c A B +=, 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=,
所以由正弦定理得sin sin sin sin
4sin sin sin B A A B C A B +=, 即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =,所以1
sin 2
C =,
因为()0,πC ∈,所以π6C =或5π
6
C =. …………………………………………… 5分
若5π
6
C =
,
由sin sin 4A B =,
而π6A <,π6B <,从而1
sin sin 4A B <,矛盾,舍去.
故π
6
C =, …………………………………………… 6分
接下来求△ABC 的面积S .
法一：设△ABC 外接圆的半径为R ,则由正弦定理得224π
sin sin 6
c R C ===, 2sin 4sin a R A A ∴==,2sin 4sin b R B B ==
,16sin sin 4(1ab A B ∴==+
,
111
sin 4(11222
ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=.…………………………………… 12分
法二：由(Ⅰ)
得cos 2C =
,
即cos cos sin sin A B A B -=
sin sin A B =
,cos cos A B ∴=, 1
cos()cos cos sin sin 2
A B A B A B ∴-=+=
, 5π5π(,)66A B -∈-,π3A B ∴-=或π
3B A -=,
当π3A B -=时,又5π6A B +=,7π12A ∴=,π
4
B =,
由正弦定理得π2sin
sin 4πsin sin 6
c B b C ==
=
117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∆∴==⨯==+…… 10分
当π
3
B A -=
时,
同理可得1ABC S ∆=故△ABC
的面积为1分
选②
2cos 222C
C -+=,
因为2cos 222C
C -=,
所以2
2cos 1cos )20C C -
-=,即2
2cos 3
0C C +-
=,
(2cos 0
C C -=,
所以cos 2C =
或cos C =舍),
因为()0,πC ∈,所以π
6
C =
. ……………………………………………………… 6分 以下同解法同① ,
…………………………………………… 12分
选③ ()sin sin sin a A b
B c
C +=,
由()sin sin sin a A b
B c
C +=及正弦定理得22
()a a b c ＋=,
即222
a b c -=＋,
由余弦定理得222cos 2a b c C ab -==＋,
0πC <<,π
6
C ∴=
, …………………………………………… 6分 以下解法同① . …………………………………………… 12分 19.(12分)
解析：(1)由12(2)3n
n n a a -+=--,
令2n =,2
212(2)3a a +=--,得211a =, ………………………………… 1分 令3n =,3
322(2)3a a +=--,得333a =-; ………………………………… 2分
(2)115
22
a b λλ+-=
=--,22211(2)4a b λλ++==-,33333(2)8a b λλ+-==--,
若n b 是等差数列,则有2132b b b =+,即11522λλ+-=+-33
8
λ--,………………… 3分 解得1λ=, ………………………………… 4分 下证当1λ=时,n b 是等差数列, 当2n ≥时,
111111
1
1111
112(2)311
(2)(2)(2)(2)(2)11
1(2)(2)
n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b b a a -----------++-+--++-=-=-
----+-++=
-=--………………………… 6分
所以{}n b 是公差为1的等差数列,而111
22
a b +==-,所以1n b n =+;……………… 7分 (3)由(1)1
1(2)
n n n
a b n +=
=+-,所以(1)(2)1n n a n =+⋅--, 令232(2)3(2)4(2)(1)(2)n
n T n =⋅-+⋅-+⋅-+++⋅-
则234
1(2)2(2)3(2)4(2)(1)(2)n n T n +-=⋅-+⋅-+⋅-+
++⋅-
两式相减得：
231
1
32(2)(2)(2)(2)(1)(2)(2)(1(2))2(1)(2)1(2)
n n n n n T n n ++=⋅-+-+-+
+--+⋅----=-+-+⋅---…………………………… 10分
得1(34)(2)89
n n n T +-+⋅--=,…………………………………………………………… 11分
所以1(34)(2)8
9
n n n S n +-+⋅--=
-.…………………………………………………… 12分 20.(12分) 解：(1)易知1234535t ++++=
=,0.5+0.6+1+1.4+1.7
1.045y ==,…………1分
5
1
5
2
2
21
ˆ518.853 1.04
=0.325553
5i i
i i i t y t y
b
t t ==--⨯⨯=
=-⨯-∑∑,………………………2分
1.040.ˆ3
2.08ˆ30t a
y b =-=-⨯=,………………………3分 则y 关于t t
的线性回归方程为0.3208ˆ.0y
t =+,………………………4分 当6t =时,ˆ 2.00y
=,即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人;…………5分 (2)(i)依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：
1.50.1+
2.50.3+
3.50.3+
4.50.15+
5.50.1+
6.50.05=3.5x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,…………6分
22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7-⨯+-⨯=;…………8分
(ii)2020年11月份实际发放车牌数量为3174,根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数占总
人数比例为
3174
100%=15.87%20000
⨯,…………………9分
根据假设,报价X 可视为服从正态分布2
(,)N μσ,
且2
3.5, 1.7μσ==,∴ 1.3σ=≈, 又1()
()0.15872
P x P x μσμσμσ--<<+≥+=
=,∴( 4.8)0.1587P x ≥=,……11分
∴可预测2020年
11月份竞拍的最低成交价为4.8万..…………………12分
21.(12分)
解析：(1)设C 的半焦距为c ,则1
2
c a =,即224a c =,22223b a c c =-=,所以 2222:143x y C c c +=,联立2222143x y c c +=与,1
:22l y x =-+,
得22
2430x x c -+-=, …………………………………………………………… 2分
依题意2
=44(43)0c ∆--=,
解得2
1c =,所以2
4a =,2
3b =,
故椭圆C 的方程为22
143
x y +=;……………………………………………………… 3分 此时222430x x c -+-=即为2
210x x -+=,
根为1x =,则13
1222y =-⨯+=,
所以,A 点坐标为3
(1,)2
;…………………………………………………………… 4分
(2)易知(4,0)B ,5
(,0)2
T ,
若直线EF 的斜率为0,此时(2,0)M -,(2,0)N 或(2,0)N -,(2,0)M ,
9||2TM =,1||2TN =或9||2TN =,1
||2
TM =,
有9
||||4
TM TN ⋅=,…………………………………………………………… 6分
若直线EF 的斜率不为0,设直线EF 的方程为4x ny =+,代入
22
143
x y +=得 22(34)24360n y ny +++=,设1122(,),(,)E x y F x y ,则
1222434n y y n -+=
+,122
36
34
y y n =+,
可得直线AE 的方程为113
32(1)21
y y x x -
-=
--,则113(1)(1,0)23x M y ---, 111111113(1)3(1)(66)9(22)35
33||=12232232(23)223
x x n y n y TM y y y y --++++-+=+==⋅
----, 同理,22(22)3
3||223
n y TN y ++=⋅-,所以 ………………………………………………… 9分
1212(22)3(22)3
9||||42323
n y n y TM TN y y ++++⋅=⋅⋅
--, 22
12121229(31620)
[(22)3][(22)3](22)3(22)()934
n n n y n y n y y n y y n ++++++=+++++=
+212121229(31620)
(23)(23)46()934n n y y y y y y n ++--=-++=
+
所以9
||||4TM TN ⋅=.…………………………………………………………… 11分
综上,9
||||4
TM TN ⋅=为定值.………………………………………………………… 12分
22.(12分)
解析：(1)由于2
()22ln f x x mx x =-+的定义域为(0,)+∞,
22(1)
()x mx f x x
-+'=. …………………………………………………………… 1分
对于方程210x mx -+=,24m ∆=- .
当2
40m -≤,即02m <≤时,()0f x '≥恒成立,故()f x 在(0,)+∞内单调递增.
…………………………………………………………… 2分
当2
40m ->,即2m >时,方程在(0,)+∞
恰有两个不相等实根2
m x ±=,
令()0f x '>,
得0x <<
x >,此时()f x 单调递增;
令()0f x '<,
得22
m m x -+<<,此时()f x 单调递减.
…………………………………………………………… 4分
综上所述：
当02m <≤时,()f x 在(0,)+∞内单调递增;
当2m >时,()f x
在(0,
),()22m m +∞单调递增,
在单调递减; ………………………………………………… 5分
(2)证明：12,x x 为函数()f x 的两个极值点,12,x x ∴即为方程210x mx -+=的两根.
又433
m ≥
,2
40m ∴∆=->且1212,1x x m x x +==. …………………………… 6分 又
12,x x 为()h x 的零点,22
111222ln 0ln 0x cx bx x cx bx ∴--=--=，,
两式相减得1
1212122
ln
()()()0x c x x x x b x x x --+--=, 12
1212
ln
()x x b c x x x x ∴=-+-,…………………………………………………………… 7分
又1
()2h x cx b x '=--,1
212()()2
x x x x h +'∴- 12
1212121212ln 2()()()x x x x c x x c x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-+++-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
112121112222
2(1)
2()ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --=-=-++…………………………………………………… 8分
令12
x
t x =,12001x x t <<∴<<，
, 由222
121212+2x x m x x x x m +=+=得:,
由121x x =,上式两边同时除以12x x 得：2
12t m t
++=,
又
433
m ≥
,故2110
23t t +≥-=, 解得1
03t <≤或3t ≥(舍去), ………………………………………………………… 10分
设1()2ln 1
t G t t t -=⋅-+,则2
2
(1)()0(1)t G t t t --'=<+, ()G t 在1
(0,]3上单调递减, …………………………………………………………… 11分
min 1
()()ln 313G t G ∴==-,
1212()()()ln 312
x x
x x h G t +'∴-=≥-. ………………………………………………… 12分。