第六讲方程求根的数值解法

第六讲方程求根的数值解 法
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第六讲 主要知识点
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；
2、牛顿法的收敛性；
3、牛顿法的收敛速度；
3、弦截法思想。
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一般迭代法
对于一般形式的方程 f ( x ) 0 先将方程化为 再从某一数 x0 出发，作序列x0 ， xn 1 g ( xn ) , n 0,1,2, 若序列有极限，即lim xn a
点
x
p( xk , f ( xk )) ，引一条切线，其方程为 y f ( xk ) f ( xk )( x xk )
令其为零，得切线
l 与 x 轴的交点为
f ( xk ) x xk f ( xk )
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牛顿法几何表示（续1）
f ( xk ) 将此式 x xk 与上面求得的牛顿 f ( xk )
( p) ( p) * *
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牛顿法的收敛速度
迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 ( x )的选 取。如果当 x [a , b]时 ' ( x ) 0, 则该迭代过程只 可能是线性收敛。 对牛顿公式 其迭代函数为 由于 xk 1 xk f ( xk ) f ' ( xk )
f ( x) ( x) x ' f ( x) f ( x ) f '' ( x )
n
x g ( x)
则可得
a g (a )
即
f (a ) 0
即a是方程的根。x0称为初始近似， xn 称为n次近似，g ( x )称为迭代函数， xn 1 g ( xn )称为迭代公式。
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一般迭代法（续）
由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数 ( x ) ， 是提高迭代数列
xk 的收敛速度的关键。本节介绍一种
确定迭代函数 ( x ) 的方法 ── 牛顿法。牛顿法是求解 方程 f ( x) 0 的一种重要方法，它的最大优点是方程在 单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方 程的重根、复根；也可以拓广用于求解非线性方程组的 问题。
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牛顿法
取 在 x0 做一阶Taylor展开:
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牛顿法的收敛性
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牛顿法收敛性示意图
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牛顿法收敛性示意图（续）
x
x0 x 0 x*
0
注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。
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牛顿法例题
例：用牛顿法解方程 xe x 1 0. 解： f ( x) xe x 1, f ' ( x) e x (1 x) f ( x) x e x 牛顿法迭代函数为 ( x ) x ' x f ( x) 1 x 牛顿公式为 xk 1 xk e xk xk 1 xk
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛 顿公式进行迭代。
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收敛速度定义
定义：设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于方程 x ( x )的根x ,如果迭代误差ek xk x
* *
当 k 时成立下列渐进关系式 ek 1 C (C 0为常数） p ek 则称该迭代过程是p阶收敛的。 p 1为线性收敛，p 1为超线性收敛， p 2为平方收敛。
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收敛速度定理
定理：对于迭代过程xk 1 ( xk ), 如果 ( p ) ( x )在所求根x*的邻近连续，并且
(x ) (x )
' * " *

*
( p 1)
( x ) 0;
*
( p)
(x ) 0
*
则该迭代过程在点x 邻近是p阶收敛的。
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收敛速度定理证明
xk 1 xk
只要
k
f ( xk ) （牛顿公式） f ( xk ) ，每一步迭代都有 f ( xk ) 0 ， 而 且 ，
lim x k x *
，则
的根。
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牛顿法几何表示
从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程
f ( x) 0 的根就是曲线 y f ( x) 与 轴的交点。设 xk 为 x* 的一个近似值，过曲线 y f ( x)上横坐标为 xk 的
证：由于 ' ( x* ) 0 1, 故 xk 1 ( xk ) 具有局部收敛性, 将 ( xk )在根x 处展开，由条件有
*
( ) ( xk ) ( x ) ( xk x* ) p p!
( p) *
ek 1 ( x ) ( ) * p xk 1 x ( xk x ) p p! ek p!
x*
x x2 x1 x0
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牛顿法例题
例 用牛顿法求解方程 x e
( 105 )
x
在 x0 0.5 附近的根
解：将方程 x e x 转化为等价方程
xe x 1 0 x 令 f ( x) xe 1 ，则牛顿迭代公式为
xk e 1 xk e xk 1 xk xk xk e ( xk 1) 1 xk
f ( xk ) 公式 xk 1 xk 进行比较即可知道：牛顿公 f ( xk )
式实际上就是用曲线 处的切线与
y f ( x) 在 p( xk , f ( xk )) 点
x 轴的交点作为曲线 y f ( x)与 x 轴交
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点的近似，如下图所示．
牛顿法几何表示（续2）
f(x)
y
xk xk
(k 0,1, 2, )
x0 0.5 ，迭代结果如下表3.6
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牛顿法例题（续）
取初值 x0 0.5 ，迭代结果如下表
k
0
1
2
3
4
xk

0.5
0.5710204
0.5671555
0.5671433
0.5671432
x* 0.567143 ，与例4、例6的迭代结果进行比
较可见，牛顿公式的收敛速度是相当快的。
f ( ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2， 在 x0 和 x 之间。 2!
将
看成高阶小量，则有：
f ( x0 ) f ( x0 )
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) x* x0