椭圆定义及其标准方程

x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
例2椭圆的两个焦点的坐标
分别是（ - 2,0），（ 2,0），
5 3 并且经过点（ ,- ), 求椭圆的标准方程。 2 2
x2 y2 1 10 36
变式：焦点在y轴上，且经过点 的椭圆的标准方程 x 2 y2
x y (2) 1 答：在 144 169
2 2
2
2
y 轴。（0，-5）和（0，5）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.
Y
Y
M
M
F2(0 , c) X O F1(0,-c) X
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
O
F2
x
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、 F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。
由定义知：
MF1
MF1 MF2 2a
(x c )2 y 2
MF2
(x - c )2 y 2
2a
2

(x c )2 y 2 (x - c )2 y 2
D F2 C O F1 X
题型二：求标准方程
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2－c2=52－42=9
2、1、1 椭圆及其标准方程
问题的提出：
若将一根细绳两端分开并且固定在平面 内的 F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离 时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内 慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？
椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离 之和等于常数（大于|F1F2|）的点 y 的轨迹叫做椭圆。 M ( x, y )
2.椭圆mx 2 ny 2 - mn( m n 0)的焦点坐标是 _________
定义的简单应用
题型一：填空
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标 5 4 3 (3,0)、(-3,0) 为：____________焦距等于______;曲线上一点 6 P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2 的距离等于_______，则三角形F1PF2的周长为 7 ___________ Y 16

这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
F1
O
F2
x
1. 改变F1、F2之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于F1、F2之间的距离吗？
y
标准方程的推导:
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。
F1
M ( x, y )
(a
- c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 )
y
标准方程的推导:
M ( x, y )
F1
(a
2
- c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 )
O
2a 2c,即a c, a 2 - c2 0 由椭圆定义知：
设a 2 - c 2 b2 (b 0) 得 :
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
x2 y2 2 1 两边同除以 a b 得： 2 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程，
2 2
F2
x
(a b 0)
它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它 的方程为： y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b 它也是椭圆的标准方程。
2
将方程移项后平方得：
(x c )
y 4a - 4a
2 2
(x - c )
2
y (x - c ) y 2
2
a 2 - cx a
(x - c )2 y 2
2
两边再平方得：
a 4 - 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 - 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
P F
1
o
F2
X
x2 y2 1 ，则 (2)已知椭圆的方程为： 4 5 2 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐 5 1 (0,-1)、(0,1) 标为：___________焦距等于__________; 若 2 CD为过上焦点F2的弦，则 F1CD的周长为 Y ________ 4 5
椭圆的标准方程
y
M
y
F2
F
M
F
1
o
2
x
o
F1
x
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
2
2
y x 2 1 (a b 0) 2 a b
2
2
快速练习：判定下列椭圆的
焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。
x y (1) 1 答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0） 25 16
椭圆的标准方程的再认识：
y x 2 1(a b 形式：等式左边是两个分式的
平方和，等式右边是1 （2）椭圆的标准方程中都有a2=b2+c2。并且a总是最大的 （3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在 哪一个轴上。
1 4 1 5
1 1 1 A( , ), B(0,- ) 3 3 2
1
？思考一个问题:把“焦点在y轴上”这
句话去掉，怎么办？
总结：
求标准方程
（1）、若已知焦点在哪一轴，直接设方程
x2 y2 2 1 (a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
(a b 0)
（2）、若没指明焦点位置，可设方程
x2 y 2 1(m 0, n 0) m n
（3）、若椭圆过两定点，常设方程
Ax 2 By 2 1( A 0, B 0)
变式 2：求以对称轴为坐标轴 两点的椭圆的标准方程 。
且经过 A( 3 ,-2), B( -2 3 ,1)
y2 x2 变式 3：求与椭圆 1共焦点，且过点（ 2， 3）的椭圆方程 9 4
题型三：参数的取值范围

1、若
x y 1 m n
2
2
表示焦点在x轴上的椭 圆，则m、n满足什么样的条 件
例4若方程 4 x ky 1表示的曲线是焦点在
2 2
y轴上
的椭圆，求 k的取值范围 .
练习:
x2 y2 1.已知方程 1表示椭圆，则 的范围是________ k ； 3 k 2-k 如果表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围是__________ x k