2023-2024学年上海进才中学高二上学期数学月考试卷及答案(2023.12)

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上海市进才中学2023学年第一学期高二年级12月月考
2023.12
一、填空题（满分42分，1-6题每题3分，7-12题每题4分）
1．过点()2,1P −且与直线250x y +−=平行的直线的一般方程为______．
2．在长方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，4AD =，15AA =，则直线1AC 与平面ABCD 所成角的大小为______．
3．已知圆1C ：()2
236x a y −+=与圆2C ：()2
224x y +−=内切，则a =______．
4．过点()2,3且与椭圆2228x y +=有相同焦点的椭圆的标准方程为______
5．已知直线1l ：()120x m y m +++−=，2l ：24160mx y ++=平行，则这两条平行直线之间的距离为______．
6．已知m ，n 是空间的两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是______．
①m ⊥α，n β∥，αβ∥，则m n ⊥．②m ⊥α，m n ⊥，αβ∥，则n β∥． ③m n ⊥，m α∥，αβ∥，则n ⊥β．④m ⊥α，m n ∥，αβ∥，则n ⊥β． 7．若直线()sin 20x y R +α+=α∈的倾斜角的取值范围是______．
8．已知直线10x my ++=与圆O ：222x y +=
交于A 、B 两点，若OAB △
，则m 的值为______．
9．已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A
，则APF △周长的最
大值为______．
10．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形。

在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两个定点()11,0F −，()21,0F 的距离之积等于2，化简
2
得曲线C
：221x y ++=，则OP 的最大值为______．
11．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为______．
12．已知线段MN 是圆C ：()2
214x y −+=的一条动弦，且2MN =，若点
P 为直线260x y −+=上的任意一点，则2PM PN −
的最小值为______．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案）
13．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）． A ．4π B ．8π C ．12π
D ．20π
14．设直线1l ：220x y −−=与2l 关于直线l ：240x y −−=对称，则直线2l 的方程是（ ）． A ．112220x y +−= B ．11220x y ++= C ．5110x y +−=
D ．10220x y +−=
15．已知圆C ：()()2
2
114x y −+−=，P 为直线l ：220x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（ ）。

A ．2
2
115224x y
−+−=
B ．22
119224x y
−+−=
C ．2
2
1524x y
+−=
D ．2
21524x y −+= 16．已知O 为坐标原点，椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离
．M ，P 是椭圆E 上的点，1MF 的中点为N ，12ON NF +=，过P 作圆Q ：()2
241x y +−=的一条切线，切点为B ，则PB 的最大值为（ ）
A
．
． C
． D ．
5
3
三、解答题（本大题共5题，满分42分，解答要有论证过程与运算步骤）
17．（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分． 已知直线1l ：()280m x my ++−=与直线2l ：40mx y +−=，m R ∈． （1）若12l l ⊥，求m 的值；
（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的一般方程．
18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 如图，已知三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，8PA =，6AB =，10AC =． （1）求点A 到平面PBC 的距离； （2）求三棱锥P ABC −的表面积．
4
19．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分 已知直线m ：34120x y ++=和圆C ：222410x y x y ++−+=． （1）求与直线m 垂直且经过圆心的直线的一般方程； （2）求与直线m 平行且与圆C 相切的直线的一般方程．
20．（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．
已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,5，端点A 在圆1C ：()()2
2
434x y −+−=上运动．
（1）求线段AB 的中点P 的轨迹C ₂的方程；
（2）设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；
（3）若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值．
5
21．（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3 小题满分4分．
已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>
，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三
角形面积为2．已知直线()()10y k x k =−>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若MB AN =
，求k 的值；
（3）若点Q 的坐标为7,04
，求证：QA QB ⋅ 为定值．
6
参考答案
一、填空题
1.230x y +−=；
2.45
；
3.±
4.
2211612x y +=；
； 6.①④； 7.3,44ππ
； 8.1±；
+；
；
；
11.如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为______．
在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相
切,且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆,则由图可知:1BF =,2BO =,所以12
sin BOF ∠=, 又因为1
OM sin ODM OD
OD
∠=
=
,结合BOF ODM ∠=∠ 可知:11
2
OM sin ODM sin BOF OD OD ∠====∠
所以2OD a ==,而22b =,即1b =，
所以c =
所以离心率c e a
==.故答案为
.
二、选择题
13.C ； 14.A ； 15.C ； 16.B
15.已知圆C ：()()2
2
114x y −+−=，P 为直线l ：220x y ++=上的动点，过点P 作圆C
的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △
的外接圆的方程为（
）。

7
A ．22
115224x y
−+−=
B ．22
119224x y
−+−=
C ．2
21524x y +−=
D ．2
21524x y
−+=
C
依题意作图如下所示:
由图可知:PA AC ⊥,半径2AC =,圆心()11C ,, 所以11
222PAC S PA AC PA
∆=⋅⋅=×
,
要使PAC ∆面积最小,即使PC 最小,则PC 最小值为: 点()11C ,到直线:220l x y ++=
,
即当P 点运动到PC l ⊥时,PAC S ∆最小,因为直线l 的斜率为-2, 则此时直线PC 的方程为()1
1
12
y x −=− 由()1112220y x x y
−=
− ++=
解得:10x y =−
= ,所以()10P ,−,因为PAC ∆为直角三角形, 所以斜边PC 的中点坐标为102,
,而
PC =
所以PAC ∆的外接圆的圆心为102,
,所以PAC ∆的外接圆的方程为:2
2
1524x y
+−=
故选：C.
16.已知O 为坐标原点，椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>
>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心
8
．M ，P 是椭圆E 上的点，1MF 的中点为N ，12ON NF +=，过P 作圆Q ：()2
241x y +−=
的一条切线，切点为B ，则PB 的最大值为（ ） A
．
． C
．
D ．5
B
连接21,MF MF 的中点为N ,
()2121111
22
222
ON MF ON NF MF MF a a ∴=∴+=+=×=
=11CP BQ CP BQ ∴====椭圆2
2:14x E y +=
设()00P x ,y ,则2
22200000144,114
剟x y x y y +=∴=−−,连接QB,PQ
由题知,()04,,1Q ,QB PB QB ⊥=
,
PB
∴=
)
011剟y ==−
由二次函数性质,当01y =−时
,PB 取得最大值||max PB = 故选：B 三、解答题
17.（1）0m =或3− （2）20x y −=或10x y −+= 18.（1）
24
5
（2）128 19.（1）43100x y −+= （2）34150x y +−=或3450x y ++=
20.已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,5，端点A 在圆1C ：()()2
2
434x y −+−=上运动．
（1）求线段AB 的中点P 的轨迹C ₂的方程；
（2）设圆1C 与曲线2C 的两交点为M ，N ，求线段MN 的长；
（3）若点C 在曲线2C 上运动，点Q 在x 轴上运动，求AQ CQ +的最小值．
9
（1）()()2
2
541x y −+−= （2
）MN =
（3
）3−(1)设点P 的坐标为()x,y ,点A 的坐标为()00x ,y ,由于点B 的坐标为()65,,
且点P 是线段AB 的中点,所以062
x x +=
,05
2y y +=,
于是有0026,25x x y y =−=−①，因为点A 在圆()()2
2
1:434C x y −+−=上运动, 所以点A 的坐标满足方程()()2
2
434x y −+−=即:()()2
2
00434x y −+−=
② 把①代入②,得()()2
2
2642534x y −−+−−=,整理,得()()2
2
541x y −+−=,
所以点P 的轨迹2C 的方程为()()2
2
541x y −+−=.
(2)圆()()2
2
1:434C x y −+−=与圆()()2
2
2:541C x y −+−=的方程
相减得:22190x y +−=,由圆()()2
2
2:541C x y −+−=
的圆心为()54,,半径为1, 且()54,到直线22190x y +−=
的距离d
则公共弦长MN = 1C 是以()143C ,为圆心,半径12r =的圆,2C 是以()254C ,为圆心,半径21r =的圆
所以1122123…QA QC QC r QC r QC QC +−+−=+−① 当且仅当A 在线段1QC 且C 在线段2QC 上时取等号
.
10
设()343C ,−为()143C ,关于x 轴的对称点,则13QC QC =代入①式得
：
3223333厖QA QC QC QC C C ++−−=,当且仅当23、、C Q C 共线时取等号. 所以AQ CQ +
的最小值为3.
21.已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>
，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的
三角形面积为2．已知直线()()10y k x k =−>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若MB AN =
，求k 的值；
（3）若点Q 的坐标为7,04
，求证：QA QB ⋅ 为定值．
（1）22
142x y += （2
）k =
（3）见解析
(1)c
e a =
= 222a c ∴=,代入222a b c =+得b c =. 又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2
即1
222
b c ×=,即2bc =,以上各式联立解得
224,2a b ==
,
11 则椭圆方程为22142
x y +=. (2)直线()1y k x =−与x 轴交点为()10M ,,与y 轴交点为()0N ,k −,
联立()22241x y y k x += =−
消去y 得:()222124240,k x k x k +−+−=()()4222164122424160k k k k ∆=−+−=
+> 设()()1122,A x ,y B x ,y ,则2122412k x x k +=+, 又()(2211,MB x ,y AN x =−=− ,1k y −−),由MB AN = 得:212241,12k x x k
+==+ 解得
:k =.由0k >
得k =; (3)由(2)知2122412k x x k
+=+,()()4222164122424160k k k k ∆=−+−=+>)1122121277774444QA QB x ,y x y x x y y ∴=−⋅−=−⋅−+⋅ ⋅
()()21212771144x x k x x =−⋅−+−−
()()2221
2127491416k x x k x x k ++−−+++ ()222222224744914161212k k k k k k k − ++−−++ ++
22
84494915416161612k k −−=+=−+=−+为定值.QA QB ⋅∴ 为定值.。