#《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第八篇 第7讲 立体几何中的向量方

第7讲 立体几何中的向量方法（一）
A 级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则 ( )． A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．l 1与l 2相交但不垂直
D ．以上均不正确
答案 B
2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )． A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
解析 若l ∥α，则a·n ＝0.而A 中a·n ＝－2，B 中a·n ＝1＋5＝6，C 中a·n ＝－1，只有D 选项中a·n ＝－3＋3＝0. 答案 D
3．平面α经过三点A (－1,0,1)，B (1,1,2)，C (2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是
( )．
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，－1 B ．(6，－2，－2) C ．(4,2,2)
D ．(－1,1,4)
解析 设平面α的法向量为n ，则n ⊥AB →，n ⊥AC →，n ⊥BC →，所有与AB →(或AC →、BC →)平行的向量或可用AB →与AC →
线性表示的向量都与n 垂直，故选D.
答案 D
4．(2012·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1
的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为
( )．
A ．2
B. 3
C. 2
D ．1
解析 连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，过点O 作
OH ⊥AC 1于点H ，因为AB ＝2，所以AC ＝22，又CC 1＝22，所以OH ＝2sin 45°＝1. 答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 解析 由已知得89＝a·b |a ||b |＝2－λ＋45＋λ2
·9，
∴8
5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝2
55.
答案 －2或2
55
6．在四面体P ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．
解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离． ∵P A ＝PB ＝PC ， ∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，
∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 3，a 3，a 3.
∴PH ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0－a 32＝33a .
∴点P 到平面ABC 的距离为3
3a . 答案 3
3a
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分
别为BB 1、C 1D 1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN 的一个法向量．
解 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)， M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，N ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12，1. ∴AM →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1，12，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，1. 设平面AMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AM →＝y ＋12z ＝0，n ·
AN →
＝－x ＋12y ＋z ＝0，
令y ＝2，∴x ＝－3，z ＝－4.∴n ＝(－3,2，－4)．
8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF .
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC ∩BD ＝N ，连接NE .
则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2
2，0，E (0,0,1)，
A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2
2，1
∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2
2，1.
AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22，－22，1.
∴NE →＝AM →
且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .
(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－22，－22，1，
∵D (2，0,0)，F (2，2，1)， ∴DF →
＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF . 同理AM ⊥BF .
又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .
B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为
( )．
A.337，－15
7，4 B.407，－157，4 C.40
7，－2,4
D ．4，40
7，－15
解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →
＝(3,1,4)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
(x －1)＋5y ＋6＝0，
3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝407，y ＝－157.
答案 B
2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→
，N 为B 1B 的中点，则|MN →
|为
( )．
A.216a
B.6
6a
C.15
6a
D.153a
解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ，a ，a 2.
设M (x ，y ，z )，
∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→
， ∴(x －a ，y ，z )＝1
2(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3. 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，
∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－a 32
＝
216a . 答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
解析 以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空
间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →
＝(x －1,0,1)，
又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →
＝(1,1，y )，因为AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1，0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案 1
4．(2013·淮南模拟)在正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →
的实数λ的有____________个．
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，
∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ. 答案 2
三、解答题(共25分)
5．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；
(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． (1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x
轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，a 2，0、
P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，a 2，a 2.
EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a
2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)．
∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .
(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a
2，－a 2，z －a 2，
若使GF ⊥平面PCB ，则由
FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a 2＝0，得x ＝a 2；
由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a
2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )
＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
z －a 2＝0，
得z ＝0.
∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．
6．(13分)(2012·湖南)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点． (1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．
(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →
＝(0,0，h )．
因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .
(2)由题设和(1)知，CD →·P A →
分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →
〉|， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·
|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|.
由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →
＝(0,0，－h )， 又PB →
＝(4,0，－h )，
故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪0＋0＋h 2
h ×16＋h 2. 解得h ＝855.
又梯形ABCD 的面积为S ＝1
2×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝1285
15.。