高中数学课件-拓展视野7 嵌套函数的零点问题

拓展视野7　嵌套函数的零点问题
1.一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)＝t，求解当f(t)＝0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)＝t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数，解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.
2.解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误.
A
A　当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，
当0<x<1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递增，
可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，
设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t).在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)
的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，
则t1<－1，t2≥－1.
当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解.综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点.
答案：[－1，＋∞)
B
若t＝－1，即f(x)＝－1，无解；
若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f(x)的图象有3个交点，即f(f(x))＝1有3个不同实根；
若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f(x)的图象有2个交点，即f(f(x))＝1有2个不同实根.
综上所述，方程f(f(x))＝1的实数根的个数为5个，故选B.
A
A　由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，则f(x)＝1－a或f(x)＝－a.。