近世代数(3-2)
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环同态(续)
定理3.8.3 设φ:R～R*是环同态，则 (1)R的子环S在φ下的象S*也是R*的子环. (2)R的理想A在φ下的象A*也是R*的理想. (3)反之,R*的子环S*在φ之下的逆象S={x∈R| φ(x)∈S*}是R的子环. (4)R*的理想A*在φ下的逆象A={x∈R| φ(x)∈A*}想(续)
定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是 R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R 的最大理想. 证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故 由定理3.8.3A是R的最大理想. 充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理 想与单位理想,要证K是域.设0≠a∈K,则(a)=K.说 明1=a*a,a*∈K,K是域. 例 Zn是域当且仅当n是素数.
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商域(续)
定理3.10.1证明主要步骤: (1) A={(a,b)|a,b∈R,b≠0},定义上等价关系(a,b) a ∼(c,d)⇔ad=bc.商集记为F,F的元表为 . b (2)F上定义加法与乘法: ac ad + bc a c a c + = , = bd bd b d b d (3)证明F在上面运算之下成为一个域. (4)证明F包含一个与R同构的子环 R*={a/1|a∈R}.
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商域(分式域)
要点 从一个无零因子的交换环获得域的另一 种方法是求商域. 定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个 域的子环. 定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域 的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则 F={ a | a,b∈R,b≠0},因此商域也称分式域. b 定理3.10.4 同构的环R的商域也同构. 例 整数环Z的商域是有理数域Q.
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最大理想
要点 利用最大理想作剩余类环是由交换环获 得域的重要方法. 定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种 . R A 理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A 不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为 R的最大理想. 例 整数环Z的主理想(n)=nZ={nx|x∈Z}. (6)⊂(2),(3). (ab)⊆(a),(b).于是(n)是Z的最大理 想当且仅当n=p是素数.
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环同态
重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环 的同态基本定理(3.8.2). 定义1. 设φ:R～ 是环同态，则 R A=Kerφ={x∈R|φ(X)=0} 称为φ的核。 定义2. 设A是环R的理想,则R/A={x+A|x∈R}在 加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素 通常记为x+A=[x]. 例 Zm=Z/(m).
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理想(续1)
主理想的元素形式: (1)当环R不交换时 (a)={(x1ay1+…+xmaym) +sa+at+na|xi,yi,s,t∈Z} 。 (2)当环R交换时(a)={ra+na|r∈R,n∈Z}. (3)进一步R既交换又有单位元,(a)={ra|r∈R} 例1 整数环Z中主理想 (2)=2Z. 2 环F[x]中主理想(x)=全体常数项为零的f(x).
定义1由于一个无零因子的交换r都是一个域的子环把含r的最小域f称为r的商域则定理3104同构的环r的商域也同构
近世代数
辅导课程九
主讲教师： 主讲教师：张广祥
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第三章 环与域
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理想
重点 注意理想是一个子环，但子环不一定是 理想，熟悉主理想的结构。 定义1 环R的子集A 满足下列二条件： (1)每a,b∈A有a-b∈A (2)每r∈R,a∈ A有ra∈A,则A称为R的理想. 定义2 设R是一个环,a1,a2,…,an∈R，将R的包含 元素a1,a2,…,an的最小理想 ,称为由a1,a2,…,an生 成的理想,记为(a1,a2,…,an)由一个元a生成的理 想称为主理想,记为(a).
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理想(续2)
例3 整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主 理想环. 证 首先 (2,x)={2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)∈Z(x)}. 若(2,x)=(p(x)),则2∈(p(x)),2=p(x)q(x). 因此p(x)=a∈Z.又因x∈(p(x)),故a=±1.但 (±1)=Z(x), 矛盾,因此(2,x)不是主理想.
环同态(续)
定理3.8.3 设φ:R～R*是环同态，则 (1)R的子环S在φ下的象S*也是R*的子环. (2)R的理想A在φ下的象A*也是R*的理想. (3)反之,R*的子环S*在φ之下的逆象S={x∈R| φ(x)∈S*}是R的子环. (4)R*的理想A*在φ下的逆象A={x∈R| φ(x)∈A*}想(续)
定理3.9.1 设R是一个有单位元的交换环，A是 R的理想，则剩余类环R/A是域当且仅当A是R 的最大理想. 证 必要性:若R/A是域,因为域只有平凡理想,故 由定理3.8.3A是R的最大理想. 充分性:若A是R的最大理想,则K=R/A只有零理 想与单位理想,要证K是域.设0≠a∈K,则(a)=K.说 明1=a*a,a*∈K,K是域. 例 Zn是域当且仅当n是素数.
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商域(续)
定理3.10.1证明主要步骤: (1) A={(a,b)|a,b∈R,b≠0},定义上等价关系(a,b) a ∼(c,d)⇔ad=bc.商集记为F,F的元表为 . b (2)F上定义加法与乘法: ac ad + bc a c a c + = , = bd bd b d b d (3)证明F在上面运算之下成为一个域. (4)证明F包含一个与R同构的子环 R*={a/1|a∈R}.
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商域(分式域)
要点 从一个无零因子的交换环获得域的另一 种方法是求商域. 定理3.10.1 每一个无零因子的交换环都是一个 域的子环. 定义1 由于一个无零因子的交换R都是一个域 的子环,把含R的最小域F称为R的商域,则 F={ a | a,b∈R,b≠0},因此商域也称分式域. b 定理3.10.4 同构的环R的商域也同构. 例 整数环Z的商域是有理数域Q.
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最大理想
要点 利用最大理想作剩余类环是由交换环获 得域的重要方法. 定义1 设R是一个环,R也是它自身的理想,这种 . R A 理想称为单位理想.如果R的一个非单位理想A 不含在任何一个更大的非单位理想中,则称A为 R的最大理想. 例 整数环Z的主理想(n)=nZ={nx|x∈Z}. (6)⊂(2),(3). (ab)⊆(a),(b).于是(n)是Z的最大理 想当且仅当n=p是素数.
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环同态
重点 与群的同态基本定理(2.11.2)一样也有环 的同态基本定理(3.8.2). 定义1. 设φ:R～ 是环同态，则 R A=Kerφ={x∈R|φ(X)=0} 称为φ的核。 定义2. 设A是环R的理想,则R/A={x+A|x∈R}在 加乘(x+A)+(y+A)=(x+y)+A,(x+A)(y+A)=xy+A 之下成为一个环,这个环称为剩余类环,其元素 通常记为x+A=[x]. 例 Zm=Z/(m).
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理想(续1)
主理想的元素形式: (1)当环R不交换时 (a)={(x1ay1+…+xmaym) +sa+at+na|xi,yi,s,t∈Z} 。 (2)当环R交换时(a)={ra+na|r∈R,n∈Z}. (3)进一步R既交换又有单位元,(a)={ra|r∈R} 例1 整数环Z中主理想 (2)=2Z. 2 环F[x]中主理想(x)=全体常数项为零的f(x).
定义1由于一个无零因子的交换r都是一个域的子环把含r的最小域f称为r的商域则定理3104同构的环r的商域也同构
近世代数
辅导课程九
主讲教师： 主讲教师：张广祥
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第三章 环与域
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理想
重点 注意理想是一个子环，但子环不一定是 理想，熟悉主理想的结构。 定义1 环R的子集A 满足下列二条件： (1)每a,b∈A有a-b∈A (2)每r∈R,a∈ A有ra∈A,则A称为R的理想. 定义2 设R是一个环,a1,a2,…,an∈R，将R的包含 元素a1,a2,…,an的最小理想 ,称为由a1,a2,…,an生 成的理想,记为(a1,a2,…,an)由一个元a生成的理 想称为主理想,记为(a).
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理想(续2)
例3 整系数多项试环Z(x)中(2,x)不是主 理想环. 证 首先 (2,x)={2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)∈Z(x)}. 若(2,x)=(p(x)),则2∈(p(x)),2=p(x)q(x). 因此p(x)=a∈Z.又因x∈(p(x)),故a=±1.但 (±1)=Z(x), 矛盾,因此(2,x)不是主理想.