盐城市、南京市2021届高三年级第一次模拟考试数学试题(1)
江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.2．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】 【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题. 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭⎝UC．2⎛ ⎝ D．22⎛⎛- ⎝⎭⎝U 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得2k >或2k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为k ⎛∈ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.9．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；13.7%39.6%9.52%3%⨯=<，所以不在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市、盐城市2022届高三年级第一次模拟考试数学试卷及答案
2022届高三年级第一次模拟考试(一)数学(满分150分，考试时间120分钟)一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{y|y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. [－1，＋∞)B. [－1，0)C. [0，1]D. (0，1]2. 在等比数列{a n }中，公比为q.已知a 1＝1，则0<q<1是数列{a n }单调递减的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计，得数学成绩X ～N(110，100)，则该班数学得分大于120分的学生人数约为( )(参考数据：P(|X －μ|<σ)≈0.68，P(|X －μ|<2σ)≈0.95) A. 16 B. 10 C. 8 D. 24. 若f(α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f(α)]2等于( ) A. f(α) B. f(2α) C. 2f(α) D. f(α2)5. 已知直线2x ＋y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )A. －4或2B. －2或4C. －1±3D. －1±66. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(3，4)，向量OC →＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC→|的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 57. 已知α＋β＝π4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( ) A. 22 B. 1 C. －2－2 2 D. －2＋2 28. 已知f(x)＝⎩⎨⎧e x －4，x ≤4，（x －16）2－143，x>4，则当x ≥0时，f(2x )与f(x 2)的大小关系是( )A. f(2x )≤f(x 2)B. f(2x )≥f(x 2)C. f(2x )＝f(x 2)D. 不确定二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.）1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则AB = .2. 若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3. 现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+5. 若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7. 在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9. 设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 11. 在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(l n )(l n )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13. 若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14. 已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 .二、解答题 （本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16. 如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17. 如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)55，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19. 已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合. 20. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21. （选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵22222222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. （必做题）22. 已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 23. 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤.（1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B。
2021届盐城市、南京市高三一模试题及答案
2
2
6
0 由 0
0
A B C
，得
0 0 0
2
2 C
C 2C
，得 0
C
4
，故
sin
C
的取值范围为
0， 2 2
；
（2）若 c 6b ，由正弦定理有 sin C 6 sin B ……①
由（1）知 B 2C ，则 sin B sin 2C cos 2C ……②
数的概率记为 Qn ，则（ ）
A . Pi＜Pi1 2 i n 1
B
. Qn＜
1 n 1
n i2
Pi
C
.
Qn＞
n
1
1
n i2
Pi
n
D . Pi＜1 i2
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 若函数 f x sin2x 为偶函数，则 的一个值为
14.
s
FA
，
s
FC
，得
2 q
p
0 rt
0
不妨设
r
1 ，则 q
t
，得
s
0,t ,1 .
∵平面
ACF
平面BCE
，∴
n
s
0
，即 t 2
EB 2，0,0， EC 0，1,t ， FA 2，0,0 ， FC 0，1,t ，
设平面
BCE
的一个法向量为
n
a, b,
c，则
n
EB
，
n
EC
.
n n
EB EC
0 0
，即
2a b
0 ct
0
.不妨设
江苏省盐城市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，当M位于11,2A⎛⎫-⎪⎝⎭时，此时DA的斜率最小，此时1252114minz--==-+．故选B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．2．已知函数()23sin22cos1f x x x=-+，将()f x的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x=的图象，若()()129g x g x⋅=，则12x x-的值可能为（）A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【详解】函数()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=-⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()4262x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==．故选C ． 【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i iSSλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312SS S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u uu r u u u r u u u r ，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.4．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=， 又∵31a =5， ∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121L ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.5．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.6．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式推导出λ131819dd-=+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．【详解】∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d19d-=+，∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -==-+21519d++是减函数，∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181192-==-+． 故选D ． 【点睛】本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．9．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（ ）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C 【解析】 【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q|2|a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C 【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.10．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x'=>，所以函数为单调递增函数，因为e π>，则()()ff e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e xf x x x-'=-=，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=， 所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11．已知向量(1,0)a =r ，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A ．1,22⎛- ⎝⎭B ．1,22⎛- ⎝⎭C ．21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎝⎭或12⎛- ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r ，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r， 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.12．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
盐城市南京市2021届高三年级第一次模拟考试数学试题(定稿)
级第一次模拟考试数 学 2019.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．若集合A ＝(－∞，1]，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．设复数z ＝a ＋i(其中i 为虚数单位)，若z －z ＝2，则实数a 的值为 ▲ ． 3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ▲ ． 4．从1，2，3中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是 偶数的概率为 ▲ ．5．如图所示的流程图中，若输入x 的值为－4，则输出c 的值 为 ▲ ．6．若双曲线x 22－y 2m ＝1的离心率为2，则实数m 的值为 ▲ ．7．已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时， f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为 ▲ ．8．已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为 ▲ ．第5题 C第9题APEF9．如图，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝4，AC ＝3，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 的中点，则三棱锥B －EFC 的体积为 ▲ ．10．设A ＝{(x ，y )|3x ＋4y ≥7}，点P ∈A ，过点P 引圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)的两条切线P A ，PB ，若∠APB 的最大值为π3，则r 的值为 ▲ ．11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)，其中ω＞0．若函数f (x )在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是 ▲ ．12．若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为 ▲ ． 13．设函数f (x )＝x 3－a 2x (a ＞0，x ≥0)，O 为坐标原点，A (3，－1)，C (a ，0)，若对此函数图象上的任意一点B ，都满足OA →·OB →≤OA →·OC →成立，则a 的值为 ▲ ． 14．若数列{a n }满足a 1＝0，a 4n －1－a 4n －2＝a 4n －2－a 4n －3＝3，a 4n a 4n －1＝a 4n ＋1a 4n ＝12，其中n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n ＜m 成立，则m 的最小值为 ▲ ．二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15． (本小题满分14分)在ΔABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，记ΔABC 的面积为S ，且2S ＝AB →·AC →． （1）求角A 的大小；（2）若c ＝7，cos B ＝45，求a 的值．16．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为棱B 1C 1上的中点，且A 1F ⊥B 1C 1． 求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；（2）A 1F //平面ADE ．盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f (x )＝m ln x －x ＋600x x 2＋144－6(4≤x ≤22，m ∈R )，其中x为每天的时刻，若在凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6． （1）求实数m 的值；（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k (x －m )(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2．①若m ＝0，求k 1k 2的值； ②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．（1）若函数f(x)在(0，1)上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}，其中n∈N*．（1）若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q＞0，n∈N*)．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r＋t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n＋2－3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且|a n＋12－a n a n＋2|≤k恒成立，求k的最小值．。
江苏南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试
江苏南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试展开全文·本试卷共8页，23小题，满分150分。
考试用时150分钟。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I(本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：“饿了么”的全职骑手2017年月均收入在8000元以上，能力出众的“单王”月收入甚至可达3万元，这已远超全国城镇私营单位就业者的月均薪资。
据报道，2018年富士康工人月平均工资为6000元，更何况普通制造业工厂根本拿不出富士康这么高的工资。
结果就是：人往高处走，制造业则招不起人。
外卖骑手平均年龄在26-30岁之间，35岁以下占近70%.富士康27万名员工中，30岁以下的员工占到59.65%,看上去还算和外卖行业旗鼓相当，但相比2012年，青年人的比例已经缩减了三分之一。
不能吸引年轻人是对制造业的致命打击，一个失去年轻人的行业将会如同一潭死水。
不妨参考一下美国的情况。
1970年后，美国传统制造业所在的“铁锈八州”人口增量严重放缓，反倒是加利福尼亚、德克萨斯和佛罗里达三州人口激增。
“加德佛”三州以先进制造业和现代服务业为主，此次人口大迁移，其实是就业人口从制造业向服务业转移的结果，被称为“服务业革命”。
因此，外卖行业从制造业抢人，从本质上说，属于中国式服务业革命中的一个具体场景。
（摘编自吴晓波《为什么几百万中国年轻人愿意送外卖不想去工厂》）材料二：制造业工厂智能化、自动化设备的日益完善，从根本上削减了工厂对普通工人的用工需求。
根据对国内2000家企业的调研，新技术应用对制造业普通劳动力岗位的替代率为19.6%.在技术迭代的形势下，外卖员成了国内制造业工人转行的主要选择之一，由工人转行的外卖员成了行业主流。
受疫情影响，今年劳动力市场需求下降明显，但高技能人才依然短缺，各技术等级或专业技术职称的空缺岗位与求职人数的比率均大于2.0.尽管如此，收入相对较高的技工，依旧很难成为年轻人的优先职业选项。
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盐城市、南京市2021届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第I 卷（选择题 共60分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1．若1＋a i 2－i
为实数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为 A ．2 B ．－12C ． 12
D ． －2 2．已知函数y ＝lg(－x 2－x ＋2)的定义域为集合M ，函数y ＝sin x 的值域为N ，则M ∩N ＝
A ．
B ．(－2，1]
C ．[－1，1)
D ．[－1，1]
3．函数f (x )＝2x 53
ln ∣x ∣
在其定义域上的图象大致为 4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．化简sin 2(π6－α)－sin 2(π3
＋α)可得 A ．cos(2α＋π3) B ．－sin(2α＋π6) C ．cos(2α－π3) D ．sin(2α－π6
) A
B D
C
高三数学试题第2页（共4页）
6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2
A ． 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B ． 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C ． 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D ． 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
参考公式：独立性检验统计量χ2＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．7．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，圆F 1与双曲线的渐近线相切，过F 2与圆F 1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为
A ．815
B ． 3
C ．43
D ．1 8．已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB ＝2，BC ＝4，AC 与平面
ABD 所成角的正弦值为105
， 则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为 A ．2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列关于向量a ，b ，c 的运算，一定成立的有
A ．(a ＋b )⋅c ＝a ⋅c ＋b ⋅c
B ．(a ⋅b )⋅c ＝a ⋅(b ⋅c )
C ．a ⋅b ≤∣a ∣⋅∣b ∣
D ．∣a －b ∣≤∣a ∣＋∣b ∣
10．下列选项中，关于x 的不等式ax 2＋(a －1)x －2＞0有实数解的充分不必要条件的有
A ．a ＝0
B ．a ≥－3＋2 2
C ．a ＞0
D ．a ≤－3－2 2
11．已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是
A ．函数f (x )是偶函数
B ．函数f (x )是奇函数
C ．函数f (x )在(－∞，0]上为增函数
D ．函数f (x )的值域为[1，＋∞)
12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如
1221，15351等都是回文数．若正整数i 与n 满足2≤i ≤n 且n ≥4，在[10i －1，10i －1]上任取一
个正整数取得回文数的概率记为P i ，在[10，10n －1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Q n ，则
高三数学试题第3页（共4页）
A ．P i ＜P i ＋1(2≤i ≤n －1)
B ．Q n ＜1n －1∑n i=2P i
C ．Q n ＞1n －1∑n i=2P i
D ．∑n
i=2P i ＜1第II 卷（非选择题 共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f (x )＝sin(2x ＋ϕ)为偶函数，则ϕ的一个值为 ．(写出一个即可)
14． (1＋3
2x )100 的展开式中有理项的个数为___________.
15．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝2p 1x 与x 2＝2p 2y 在第一象限的交点为A ，若OA 的斜
率为2，则p 2p 1
＝________. 16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：x 23＋y 23＝1的性质，其形美观，
常用于超轻材料的设计.曲线C 围成的图形的面积S
2（选填“>”、“<”、“＝”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 ．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a n 2＋a n ．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求证：∑n i=11a i 2＋a 2 i ＋1－1＜12． 18．(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝B ＋3C ．
（1）求sin C 的取值范围；
（2）若c ＝6b ，求sin C 的值.
高三数学试题第4页（共4页） 19．(本小题满分12分)
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，CD ∥EF ，DF ⊥EF ，EF ＝2CD ＝2．
（1）若DF ＝2，求二面角A －CE －F 的正弦值；
（2）若平面ACF ⊥平面BCE ，求DF 的长．
20.(本小题满分12分
) 某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z 服从正态分布N (71，81)．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，
均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？
参考数据：若Z ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)≈0.68．
21.(本小题满分12分)
设F 为椭圆C ：x 22
＋y 2＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）若点B 为椭圆C 的上顶点，求直线AF 的方程；
（2）设直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2(k 2≠0)，求证：k 1k 2
为定值． 22.(本小题满分12分)
设函数f (x )＝a x ＋e －x (a ＞1)．
（1）求证：f (x )有极值点；
（2）设f (x )的极值点为x 0，若对任意正整数a 都有x 0∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，
求n －m 的最小值．
A B
C D （第19题图） F E
（第21题图）。