(完整word版)(古典概型几何概型)

古典概型和几何概型练习卷
1（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中 抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.
（1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容
量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取
8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2,
9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得
,
5010100300
n =
+,所以n=2000.
z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽
样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
40010005
m
=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2),
(B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1,
B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取
2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
710
. (3)
样本的平均
数
为
1
(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个
数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过
0.5的概率为
75.08
6
=. 2（本小题满分12分）设集合
{},1P x ={},1,2,,Q y P Q =⊆其中,x y 是先后随
机投掷2枚正方体骰子出现的点数，
（1）求x y =的概率
（2）求点(),x y 正好落在区域10025x y x y +-<⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩上的概
率。

3、(本小题满分12分)
某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取 48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（3）已知245≥y ，245≥z ，求高三年级中女生比男生多的概率．
解：（1） 19.02000=x
，∴ 380=x （
2
）
高
三
年
级
人
数
为
()5003703803773732000=+++-=+z y
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为
48
500122000
⨯=（名）
． （3）设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生、男生数记为()z y ,，由
（2）知500=+z y ，且y 、N z ∈，基本事件空间包含的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），┅，（255，245）共11个．事件A 包含的基本事件不（251，249），（252，248），（253，
247），（254，246），（255，245）共5个．
∴ 11
5
)(=
A P
4．（本小题满分12分）
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y ． （1）求事件“3x y +≤”的概率；
（2）求事件“2x y -=”的概率；
解：设(),x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包
括：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，
()2,1，()2,2，……，()6,5，()6,6，共
36个
基本事件． （4分）
（1）用A 表示事件“3x y +≤”，
则A 的结果有()1,1，()1,2，()2,1，共3个基本事件．
∴()313612
P A =
=． （8分） （2）用B 表示事件“2x y -=”，
则B 的结果有()1,3，()2,4，()3,5，()4,6，()6,4，()5,3，()4,2，()3,1，共8个基本事件．
∴()82
369
P B =
=． （12分） 5（本小题满分13分）某校随机抽取100名学生高
中学业水平考试的X 科成绩，并将成绩分成5组，得到频率分布表（部分）如下．⑴直接写出频率分布表中①②③的值；
⑵如果每组学生的平均分都是分组端点的平均
值（例如，第1组5个学生的平均分是55260
50=+），估计该校学生本次学业水平测试X 科的平均分；
解⑴从下至下，三个空依次是35、30.0、00.1……3分．
⑵第2、3、4、5组学生的平均分依次是
6527060=+、7528070=+、85290
80=+、952100
90=+……5分， 该校学生X 科的平均分100
95
10852075306535555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯……7分，
5.74=……8分．
6．（本小题满分12分）已知直线1l ：210x y --=，直线2l ：10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈． （1）求直线1
2l l =∅的概率；
（2）求直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率．
解：（1）解：直线1l 的斜率11
2
k =，直线2l 的斜率
2a
k b
=．
设事件A 为“直线1
2l l =∅”
． a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈的总事件数为()1,1，
()1,2，…，()1,6，()2,1，()2,2，…，()2,6，…，()5,6，()6,6共36种．
若1
2l l =∅，则1
2l l ，即12k k =，即2b a =．
满足条件的实数对(),a b 有()1,2、()2,4、()3,6共三种情形． 所以()313612
P A ==． 答：直线1
2l l =∅的概率为
1
12
． （2）解：设事件B 为“直线1l 与2l 的交点位于第一
象限”，由于直线1l 与2l 有交点，则2b a ≠．
联立方程组10,210.ax by x y -+=⎧⎨--=⎩解得2,21.
2b x b a
a y
b a +⎧
=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩
因为直线1l 与2l 的交点位于第一象限，则0,
0.x y >⎧⎨>⎩
即20,210.2b x b a a y b a +⎧
=>⎪⎪-⎨+⎪=>⎪-⎩
解得2b a >．
a ，{}1,2,3,4,5,6
b ∈的总事件数为()1,1，
()1,2，…，()1,6，()2,1，()2,2，…，()2,6，…，()5,6，()6,6共36种．
满足条件的实数对(),a b 有()1,3、()1,4、()1,5、
()1,6、()2,5、()2,6共六种．
所以()61
366
P B =
=． 答：直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为1
6．
7．（本小题满分12分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从
袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
解：（1）设连续取两次的事件总数为M ：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以16=M ．
…………………………… 2分
设事件A ：连续取两次都是白球，（白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个
，
……………………… 4分
所
以
，
4
1
164)(==
A P 。

……………………… 6分
（2）连续取三次的基本事件总数为N ：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，64
=N 个
； …………………………… 8分
设事件B ：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），
（白1，红，白1），（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），
（白1，白1，红），（白1，白2，红），（白2，
白1，红），（白2，白2，红），
（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）， 共15个基本事件，…… 10分
所以，64
15
)(=B P ． 8．（本小题满分12分）设集合{}1,b P =，{}2,1,c Q =，且Q P ⊆，用随机变量ξ表示方程02=++c bx x 的实根的个数，若}9,8,7,6,5,4,3,2,1{,∈c b ，求方程
02=++c bx x 有实根的概率； 解：1）因为Q P ⊆，所以
当2=b 时，),(c b 的情况数为
)9,2(),8,2(),7,2(),6,2(),5,2(),4,2(),3,2( ……2分
当2>b 时，c b =，),(c b 的情况数为
)9,9(),8,8(),7,7(),6,6(),5,5(),4,4(),3,3(…4分
记“方程02
=++c bx x ”为事件A ，若使方
程有实根
则 042≥-=∆c b ，当 2=b 时不合题意 ……………7分
故 c b = ，即 0)4(≥-b b ，
则满足条件
的实数对
),(c b 为
)9,9(),8,8(),7,7(),6,6(),5,5(),4,4(……9分 则P(A) =
7
3
146= ……12分
9．（本小题满分12分）已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．
（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1-=⋅b a 的概率；（2）若,x y ∈[]1,6，求满足b a ⋅>0的概率． （1）解：设
(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次
骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分
用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-.……………3分
则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．…………………………5分
∴
()31
3612P A =
=
．
答：事件“1=-a b ”的概率为1
12．………6分 （2）解：用B 表示事件“0>a b ”，即
20x y ->.………………7分
试验的全部结果所构成的区域为
(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，……8分
构
成
事
件
B
的区域为
(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，
如图所示．………10分
所以所求的概率为
()1
42
4
25525P B ⨯⨯==
⨯． 答：事件“0>a b ”的概率为4
25．…12分
10.（本小题满分12分）某高校在2009年的自主招
生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，
再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定
在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层
抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
求第3、4、5组每组各抽取多少名
学生进入第二轮面试？
(3)在（2）的前提下，学校决定在6名
学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035
⨯=
人, ……………1分
第3组的频率为300.300
100
=, ………2分
频率分布直方图如右: …5分
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:3063
60
⨯=人, …………6分
第4组:2062
60
⨯=人, …………7分
第5组:1061
60
⨯=人, …………8分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为
123
,,
A A A,第4组的2
位同学为
12
,
B B,第5组的1位同学为
1
C,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12
(,)
A A，
13
(,)
A A，
11
(,)
A B，
12
(,)
A B，
11
(,)
A C，
23
(,),
A A
21
(,),
A B
22
(,),
A B
21
(,),
A C
31
(,),
A B
32
(,),
A B
31
(,),
A C
12
(,),
B B
11(,),B C 21(,),B C …………10分
其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B
21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能, …………11分
所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学
入选的概率为93
155
=…………12分
11．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，
设不等式组12,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩
所表示的平面区域是W ，从
区域W 中随机取点(,)M x y ．
（Ⅰ）若x ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率； （Ⅱ）若x ，y ∈R ，求||2OM ≤的概率． 解：（Ⅰ）若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下：
(1,0)-，(1,1)-，(1,2)-，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)． 当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限， 故点M
位于第一象限的概率为
1
3
． ………………… 5分 （Ⅱ）这是一个几何概率模型．
如图，若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是326⨯=．
满足||2OM ≤的点M 构成的区域为
22{(,)|12,02,4}x y x y x y -≤≤≤≤+≤，即图中的阴影部分． …………… 9分
易知(1,3)E -，60EOA ︒∠=， 所以扇形BOE 的面积是4π3，EAO ∆的面积是3
2
， 故
||2OM ≤的概率为
4π3
8π3332636
++=． ………… 13分
12．（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):
按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个.
（1）求z 的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率．
解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个,在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得,
,8000
500025x
=,所以x=40. ------2分 则100－40－25＝35，所以，
,35
500025n =n=7000， 故z ＝2500 ---6分
(2) 设所抽样本中有m 个500ml 杯子, 因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,
所以
,5
50002000m
=,解得m=2 -------9分 也就是抽取了2个500ml 杯子,3个700ml 杯子, 分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2个的所有基本事件为
(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)
共10个,其中至少有1个500ml 杯子的基本事件有7个基本事件:
(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2个,
至少有1个500ml 杯子的概率为
7
10
. -----------12分。