2019高中数学 第一章章末质量评估 新人教A版必修1

第一章 集合与函数概念
章末质量评估(一)
A 基础达标卷(时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数中与函数y ＝x 相同的是( ) A ．y ＝x 2
B ．y ＝3t 3
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 2
x
解析：y ＝3t 3
＝t ，t ∈R . 答案：B 2．函数f (x )＝
x
|x |
的图象是( )
解析：由于f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
1，x ＞0－1，x ＜0，
所以其图象为C.
答案：C
3. 函数f (x )＝x ＋1＋1
2－x 的定义域为( )
A ．[－1,2)∪(2，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．[－1,2)
D ．[－1，＋∞)
解析：由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋1≥0，2－x ≠0，
解得x ≥－1，且x ≠2.
答案：A
4．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3
＋x 2
＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3
＋(－1)2
＋1＝1.
答案：C
5．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，
x 2
－x －3，x ＞1，则f (f (2))的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．0
D ．－8
解析：f (2)＝22
－2－3＝－1，f (f (2))＝f (－1)＝1－(－1)2
＝0. 答案：C
6．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的x 的取值
范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23 解析：∵函数f (x )是偶函数，∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等价于f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13. 又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|＜13，解得13＜x ＜2
3
.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4} ∴∁U B ＝{2}则A ∪(∁U B )＝{1,2,3}． 答案：{1,2,3} 8．若函数f (x )＝
x x ＋
x －a
为奇函数，则a ＝________.
解析：因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即
－x
－2x ＋
－x －a
＋
x x ＋
x －a
＝0恒成立，可化为(2x ＋1)(x －a )＝(2x －
1)(x ＋a )恒成立，整理得2(1－2a )x ＝0恒成立，所以1－2a ＝0，所以a ＝1
2
.
答案：12
9．若函数f (x )＝ax ＋1
x ＋2
在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝
ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，∵y ＝1
x ＋2
在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a ＞
0，∴a ＜1
2
.
答案：a ＜1
2
10．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________.
解析：由已知得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (3.5＋2)＝f (3.5)＝f (1.5＋2)＝－f (1.5)＝－f (－0.5＋2)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.
答案：－0.5
三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分)
11．(本小题满分12分)已知A ＝{1,2，x }，B ＝{1，x 2
}，且A ∩B ＝B ，求x 的值． 解：∵A ∩B ＝B, ∴x 2
＝2或x 2
＝x . 即x ＝±2，或x ＝0，或x ＝1.
当x ＝2时，A ＝{1,2，2}，B ＝{1,2}符合题意； 当x ＝－2时，A ＝{1,2，－2}，B ＝{1,2}符合题意； 当x ＝0时，A ＝{1,2,0}，B ＝{1,0}符合题意；
当x ＝1时，A ＝{1,2,1}，B ＝{1,1}，由元素的互异性，不符合题意故舍去． 故x ＝±2，或x ＝0.
12．(本小题满分13分)已知f (x )对任意的实数m ，n 都有：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且当x ＞0时，有f (x )＞1.
(1)求f (0)．
(2)求证：f (x )在R 上为增函数．
(3)若f (1)＝2，且关于x 的不等式f (ax －2)＋f (x －x 2
)＜3对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
(1)解：令m ＝n ＝0，则f (0)＝2f (0)－1， ∴f (0)＝1.
(2)证明：任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，f (x 2－x 1)＞1. ∵f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，
∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1＞1＋f (x 1)－1＝f (x 1)． ∴f (x 2)＞f (x 1)． ∴f (x )在R 上为增函数．
(3)解：∵f (ax －2)＋f (x －x 2
)＜3， 即f (ax －2)＋f (x －x 2
)－1＜2，
∴f(ax－2＋x－x2)＜2.
∵f(1)＝2，∴f(ax－2＋x－x2)＜f(1)．
又∵f(x)在R上为增函数，
∴ax－2＋x－x2＜1.
∴x2－(a＋1)x＋3＞0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝x2－(a＋1)x＋3，
当a＋1
2
≤1，即a≤1时，由g(1)＞0得a＜3，∴a≤1；
当a＋1
2
＞1，即a＞1时，由Δ＜0得(a＋1)2－3×4＜0，
∴－23－1＜a＜23－1.∴1＜a＜23－1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，23－1)．
B 能力提升卷(时间：45分钟满分：75分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，N＝{x|x≥3或x＜1}, 都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}
解析：∵图中阴影部分表示x∈N且x∉M，∴x∈N∩∁U M.∵∁U M＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩∁U M＝{x|－2≤x＜1}．故选A．
答案：A
2．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R)，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中元素为( )
A．(－3,1) B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(3,1)
解析：∵x－y＝－1－2＝－3，x＋y＝－1＋2＝1，∴与A中的元素(－1,2)对应的B中元素为(－3,1)．
答案：A
3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则( )
A．函数f(x2)是奇函数B．函数[f(x)]2是奇函数
C．函数f(x)·x2是奇函数D．函数f(x)＋x2是奇
函数
解析：f ((－x )2
)＝f (x 2
)，则函数f (x 2
)是偶函数，故A 错误；[f (－x )]2
＝[－f (x )]2
＝[f (x )]2
，则函数[f (x )]2
是偶函数，故B 错误；函数f (－x )·(－x )2
＝－f (x )·x 2
，则函数
f (x )·x 2是奇函数，故C 正确；f (－x )＋(－x )2≠f (x )＋x 2，且f (－x )＋(－x )2≠－f (x )－x 2，则函数f (x )＋x 2是非奇非偶函数，故D 错误．故选C ．
答案：C
4．已知函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋7(其中a ，b 为常数)，若f (－7)＝－17，则f (7)的值为( )
A ．31
B ．17
C ．－17
D ．15
解析：令g (x )＝ax 3
＋bx ，则g (x )为奇函数，因为f (－7)＝g (－7)＋7＝－17，所以g (－7)＝－17－7＝－24，g (7)＝24，f (7)＝g (7)＋7＝31.
答案：A
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a －x ＋4a x ＜，
－ax x
是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则
a 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，13
B ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤18，13
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 D ．⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，13 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －1＜0，－a ＜0，
－a ≤3a －1＋4a .解得18≤a ＜1
3
.故选A ．
答案：A
6．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则
f x ＋f －x
2x
＜0的解集为( )
A ．(－3,3)
B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C ．(－∞，－3)∪(0,3)
D ．(－3,0)∪(3，＋∞)
解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴
f x ＋f －x 2x ＝2f x 2x ＝f x
x
＜0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＜0，x ＞0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＞0，
x ＜0.
∵f (x )为偶函数且在(0，＋∞)上为减函数， ∴f (x )在(－∞，0)上是增函数． 由f (3)＝0知f (－3)＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f x ＜0，
x ＞0，可化为⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＜f ，
x ＞0，解得x ＞3；
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＞0，x ＜0，可化为⎩
⎪⎨
⎪⎧
f x ＞f
－，
x ＜0，解得－3＜x ＜0.
综上，
f x ＋f －x
2x
＜0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞) .
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
7．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________．
解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m ，
解得2<m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：{m |m ≤4}
8．若函数f (x )＝(m －2)x 2
＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是______________．
解析：本题主要考查二次函数的奇偶性、对称性及单调性．函数f (x )＝(m －2)x 2
＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数的对称轴为y 轴，所以m －1＝0，即m ＝1.所以函数的解析式为
f (x )＝－x 2＋2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
9．对任意的两个实数a ，b ，定义min(a ，b )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a a ＜
b ，b a ≥b ，
若f (x )＝4－x 2
，g (x )
＝3x ，则min(f (x )，g (x ))的最大值为________．
解析：本题主要考查新定义函数的最值的求法，可以借助函数的图象解答．f (x )－g (x )＝4－x 2
－3x ，当4－x 2
－3x ＝－(x －1)(x ＋4)≥0，即－4≤x ≤1时，f (x )≥g (x )．当4－x
2
－3x ＝－(x －1)(x ＋4)＜0，即x ＞1或x ＜－4时，f (x )＜g (x )，所以min(f (x )，g (x ))＝
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x ＞1或x ＜－4.
作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A 处取得，
最大值为f (1)＝3.
答案：3
10．函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0，则称函数f (x )为“理想函
数”．则下列三个函数：(1)f (x )＝1x ， (2)f (x )＝x 2
，(3)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
，x ≥0，x 2
，x ＜0，其中称为
“理想函数”的有______．(填序号)
解析：由题意知“理想函数”为定义域上的奇函数且在定义域上单调递减．函数f (x )＝1
x
是奇函数，其虽然在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但不能说其在定义域(－∞，
0)∪(0，＋∞)上是减函数，所以f (x )＝1x
不是“理想函数”； 函数f (x )＝x 2
是偶函数，且
其在定义域R 上先减后增，也不是“理想函数”； 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
，x ≥0，
x 2
，x ＜0是“理想
函数”．
答案：(3)
三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分) 11．(本小题满分12分)已知f (x )＝
1
x －1
，x ∈[－2，6]． (1)求证：f (x )是定义域上的减函数． (2)求f (x )的最大值和最小值． (1)证明：设2≤x 1＜x 2≤6，则
f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1
x 2－1＝
x 2－x 1
x 1－
x 2－
.
因为x 1－1＞0，x 2－1＞0，x 2－x 1＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，
即f (x 1)＞f (x 2)．
所以f (x )是定义域上的减函数．
(2)解：由(1)的结论可得，f min (x )＝f (6)＝1
5
，
f max (x )＝f (2)＝1.
12．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,4)，对任意x 满足f (3－x )＝f (x )，且有最小值是7
4
.
(1)求f (x )的解析式．
(2)求函数h (x )＝f (x )－(2t －3)x 在区间[0,1]上的最小值，其中t ∈R .
(3)在区间[－1,3]上， y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．
解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是7
4
，
则可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋7
4
(a ≠0)，
又图象过点(0,4)，
则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋7
4
＝4，解得a ＝1.
∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74
＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2
－2tx ＋4＝(x －t )2
＋4－t 2
，其对称轴为x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在[0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4. ②当0＜t ＜1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2
.
③当t ≥1时，函数h (x )在[0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t . ∴h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，t ≤0，4－t 2
，0＜t ＜1，
5－2t ，t ≥1.
(3)由已知得f (x )＞2x ＋m 对x ∈[－1,3]恒成立， ∴m ＜x 2
－5x ＋4对x ∈[－1,3]恒成立． ∴m ＜(x 2－5x ＋4)min (x ∈[－1,3])．
∵g (x )＝x 2
－5x ＋4在x ∈[－1,3]上的最小值为－94，
∴m ＜－9
4.。