一个三角形面积公式在解析几何中的应用

限, 且 3−P−M→ + −P−→N = −→0 . 若 O 为坐标原点, 当三角形 OM N
的面积最大时, 求点 P 的坐标.
分析 设点 P (Xp, 0), 类似于例 1, 首先由椭圆 C 的参数
2020 年第 2 期 (上)
中学数学研究
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√
√
方 程 假 设 点 M (2 cos α1, 3 sin α1), N (2 cos α2, 3 sin α2),
|−A→B |2 |−A→C |2
√
1 =
|−A→B |2 |−A→C |2
−
−→ (AB
·
−A→C )2 ,
2
又因为
|−A→B|2|−A→C|2 = (x21 + y12)(x22 + y22)
= x21x22 + y12y22 + x21y22 + y12x22,
−→ (AB
·
−A→C )2
=
(x1x2
式及三角形面积公式 (底乘高的一半) 转化成 x1x2, x1 + x2 (或 y1y2, y1 + y2) 的关系式, 运算求得结果. 而本文另辟蹊径 给出了不同于传统求法的方法. 这里需要用到一个与向量有
关的三角形面积公式. 现在先给出该三角形面积公式的推导.
定理
−→ 在 三 角 形 ABC 中, 已 知 AB = (x1, y1),
| sin(α2
−
α1)|,
要使上式为定值,
则由⃝1 可得当
λ
=
1 −
4
时,
⃝1 可变为 cos(α2 − α1) = 0, 所以 | sin(α2 − α1)| = 1, 即
1
1
S
=
1.
所以存在
λ
=
− 4
,
使得当
k1k2
=
− 4
时,
S
为定值
1.
点评 按照传统的解法, 本题的解法过程繁杂, 需要大量
Hale Waihona Puke x = 2 cos αy
=
√ 3
sin
α
(α为参数),
A(−2, 0), 设点
解 设点 P (Xp, 0), 则 −2 ≤ Xp ≤ 2, 因为椭圆 C 的参
x = 2 cos α
数方程为
y
=
√ 3
sin
α
(α 为参数), 所以可设点
−→ AC = (x2, y2), 设 S 为 三 角 形 ABC 的 面 积, 证 明: S =
1 2 |x1y2 − x2y1|.
证明
S
=
1 −→ −→ |AB||AC| sin A
=
1
−→ −→ √ |AB||AC| 1
−
cos2
A
2
2
1 −→ −→ = |AB||AC|
2
1
−
−→ (AB
·
−A→C )2
sin α1 sin α2 − 4λ cos α1 cos α2 = 0.
⃝1
−→
−−→
又因为 OA = (2 cos α1, sin α1), OB = (2 cos α2, sin α2), 所
1
以由面积公式得 S = 2 |2 cos α1 sin α2 − 2 sin α1 cos α2| =
分 析 对 于 第 (2) 问, 由 于 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为
x = 2 cos α
y = sin α
(α 为 参 数), 所 以 可 设 A(2 cos α1, sin α1),
B(2 cos α2, sin α2), 然后根据面积公式可得, 三角形 OAB 面 1
积 S = 2 |2 cos α1 sin α2 − 2 sin α1 cos α2| = | sin(α2 − α1)|. 故只需根据条件 k1k2 = λ, 判断 λ 的值使得 | sin(α2 − α1)|
的根与系数的关系整体代换, 达到“设而不求, 减少计算”; 涉
及到共线、垂直或夹角时, 利用向量解决; 涉及中点与直线斜
率问题, 利用“点差法”等.
三角形面积问题又是圆锥曲线问题中重要的考点之一.
处理三角形问题的一般步骤为: 联立方程, 写出根与系数的
关系, 然后根据题目要求使用弦长公式或点到直线的距离公
的运算以及多项式的化简, 同时还需要较高处理技巧. 而新
方法则过程简洁优美, 运算量较少, 没有复杂的化简过程. 可
以说该三角形面积公式完美的解决这一定值问题.
接下来再给出几个例子说明该三角形面积公式的实用
性.
例2
x2 y2 已知 P 为椭圆 C: + = 1 长轴上的一个动
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点, 过点 P 的直线 l 与 C 交于点 M ,N 两点, 点 M 在第一象
2
(1) 求椭圆 C 的方程.
(2) 若 A, B 是椭圆 C 上的两个动点 (A, B 两点不关于
x 轴对称), O 为坐标原点, OA, OB 的斜率分别为 k1, k2, 问 是否存在非零常数 λ, 使当 k1k2 = λ 时, 三角形 OAB 的面 积 S 为定值? 若存在, 求 λ 的值; 若不存在, 请说明理由.
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中学数学研究
2020 年第 2 期 (上)
一个三角形面积公式在解析几何中的应用
广西省东兴市东兴中学 (538100) 吴中伟
圆锥曲线是高考数学必考的一个重要知识点, 主要是考
查学生对圆锥曲线定义及其性质的综合运用能力, 对学生运
算能力的要求比较高. 所以学生需要掌握一些常用的结论及
变形技巧、运算技巧, 以便提高运算速度. 比如, 多利用方程
1√
√
面积公式得 S =
√
2
3| sin(α2 − α1)| ,
|2 3 cos α1 sin α2 − 2 3 sin
然后根据已知条件
−−→ 3P M
+
α1 cos −−→ PN =
α2| −→0
= 得
到 | sin(α2 − α1)| 与 Xp 的关系, 最后转化成 Xp 的函数求解.
解 当 t = 4 时, 椭圆 E 的参数方程为
+
y1y2)2
= x21x22 + y12y22 + 2x1x2y1y2,
所以
S
=
1 2
√ x21 y22
+
y12 x22
−
2x1x2y1y2
=
1√ 2 (x1y2
− y1x2)2
=
1 2 |x1y2
− x2y1|.
应用举例
例1 √1
x2 y2
已知椭圆 C:
a2
+
= b2 √
1
(a
>
b
>
0) 过点
( 3, − ), 且它的焦距是短轴长的 3 倍.
为定值即可.
解 (1) (略). (2) 设存在非零常数 λ, 使当 k1k2 = λ 时,
三角形 ABC 的面积 S 为定值. 因为椭圆 C 的参数方程
x = 2 cos α
为 y = sin α
(α 为参数), 所以可设 A(2 cos α1, sin α1),
B(2 cos α2, sin α2) 则由 k1k2 = λ 得