学案3：4.4 幂函数

4.4 幂函数
【课标要求】
课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.
2.结合函数y ＝x ，y ＝1
x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂
函数的图像与性质.
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质. 教学难点：幂函数性质的简单应用.
【知识导学】
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 称为幂函数，其中 为常数． 知识点二 一些常用幂函数的图像
同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3
，y ＝x －1，y ＝x 12 的图像(如图)．
知识点三 幂函数的共同特征
(1)所有的幂函数在区间 上都有定义，并且图像都通过点 ． (2)如果α>0，则幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是 函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近 轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近 轴．
【新知拓展】
1．幂函数的特征 (1)x α的系数为1. (2)x α的底数是自变量．
(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数与指数函数的区别
3．一些常用幂函数的性质
【基础自测】
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()
(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．()
(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()
(4)对于幂2 12
，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( ) (5)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图像总在函数y ＝x 3的图像的下方．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.
(2)已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________.
(3)若y ＝ax a 2－
15
是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是_______，奇偶性是________，单调性为____________________________．
【题型探究】
题型一 幂函数的定义
例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －
3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
【规律方法】判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练1】
(1)在函数y ＝1
x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
(2)已知y ＝(m 2＋2m －2) ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．
题型二 幂函数的图像及应用
例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 1
3
，y＝x
－
1
2
在第一象限内的图像依次是图中的曲线()
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
【规律方法】解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y
＝x－1或y＝x 1
2
或y＝x3)来判断．
【跟踪训练2】
(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像，则()
A．－1<n<0<m<1
B．n<－1,0<m<1
C．－1<n<0，m>1
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝x 2 3 .
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．
题型三幂函数的性质及应用
——角度1比较幂值大小——
例3比较下列各组数的大小：
(1)1.51
2
，1.7
1
2
；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；
(4)0.53,30.5，log30.5.
【规律方法】幂大小的比较方法
两个或几个幂比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．
【跟踪训练3】
比较下列各组中两个幂的值的大小：
(1)⎝⎛⎭⎫230.5，⎝⎛⎭⎫350.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1，⎝⎛⎭⎫－3
5－1； (3)(－0.23) 23 ，0.32 2
3
.
——角度2 解不等式——
例4 已知(a ＋1)－1
3<(3－2a ) －13 ，求实数a 的取值范围．
【规律方法】利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数．
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系． (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练4】
已知(a ＋1)－
2>(3－2a )－
2，求a 的取值范围．
【随堂达标】
A ．①⑤⑥
B ．①②③⑦
C ．②④
D ．②③⑤⑦
2．幂函数y ＝x 34
的定义域是( ) A ．R
B ．[0，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．以上都不对
3．函数y ＝x 53
的图像大致是图中的( )
4．设a ＝⎝⎛⎭⎫12
23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭
⎫12
1
3 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 5．已知幂函数f (x )＝x 3m －
9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．
【参考答案】
【知识导学】
知识点一 幂函数的概念 y ＝x α
α
知识点三 幂函数的共同特征 (1) (0，＋∞) (1,1)
(2)原点 增 (3)减
y
x 轴
【基础自测】
1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．答案 (1)3 (2)－8
(3)R [0，＋∞) 偶函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
【题型探究】
题型一 幂函数的定义 例1
[解] ∵y ＝(m 2－m －1)x m
2－
2m －3为幂函数，
∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.
当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －
3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3
或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．
【跟踪训练1】 答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)因为y ＝1x 2＝x －
2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数为2，因此不是幂函数；y ＝x 2
＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x 0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．故选B. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，
2n －3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝－3，n ＝32
，
所以m ＝－3，n ＝3
2
.
题型二 幂函数的图像及应用 例2
[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图像为C 1，y ＝x －
1在第一象限内的图像为C 4，y ＝x 13 在第一象限内的图像为C 2，y ＝x －12
在第一象限内的图像为C 3. [答案] D 【跟踪训练2】 答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.
(2)①y ＝x 23 ＝3
x 2，定义域为实数集R .
②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3
x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称， 所以函数y ＝x 23
是偶函数．
③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y 轴的对称图像， 即得函数y ＝x 23
的图像，如图所示．
根据图像易知，函数y ＝x 23
在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数. 题型三 幂函数的性质及应用 ——角度1 比较幂值大小—— 例3
[解] (1)∵y ＝x 12
在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴1.5 12 <1.7 12 .
(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y ＝x
－1
在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－
1>5.26－
1.
∵y ＝5.26x 在R 上是增函数，－1>－2. ∴5.26－
1>5.26－
2.
综上，5.25－
1>5.26－
1>5.26－
2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log 30.5<0， ∴log 30.5<0.53<30.5. 【跟踪训练3】
解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>3
5，∴⎝⎛⎭⎫230.5>⎝⎛⎭⎫350.5. (2)∵幂函数y ＝x
－1
在(－∞，0)上是减函数，
且－23<－3
5，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 23
为R 上的偶函数， ∴(－0.23) 23 ＝0.23 23
.
又∵y ＝x 23 为[0，＋∞)上的增函数，
∴0.23 23 <0.32 23 ，∴(－0.23) 23 <0.32 23 .
——角度2 解不等式——
例4
[解] ∵y ＝x －13 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，
又(a ＋1) －13 <(3－2a ) －13 ，
∴3－2a <1＋a <0或a ＋1>3－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋1<0，3－2a >0. 解得23<a <32
或a <－1. 【跟踪训练4】
解 由幂函数y ＝x －2的图像(如图)可知，|x |越小，y 值越大．
∵(a ＋1)－2>(3－2a )－
2，∴|a ＋1|<|3－2a |，
即(a ＋1)2<(3－2a )2，∴3a 2－14a ＋8>0，
结合y ＝3a 2－14a ＋8的图像，得a <23
或a >4. 【随堂达标】
1. 答案 C
解析 符合幂函数y ＝x α形式的只有②④，故选C.
2．答案 B
解析 由y ＝x 34 ，得y ＝4x 3，x 3≥0，即x ≥0.
故此函数的定义域是[0，＋∞)．
3．解析 ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且53
>1，∴函数y ＝x 53 的图像大致为B. 4．答案 b <a <c
解析 a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭
⎫15 23 ，可利用幂函数的性质，得a >b ，a 与c 可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .
5．解 ∵幂函数f (x )＝x 3m
－9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3.
又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.
又f (x )＝x 3m －9的图像关于y 轴对称，
即该函数是偶函数，
∴3m －9是偶数，∴m ＝1，∴f (x )＝x －6.。