2020年新高考数学一轮复习考点题型深度剖析专题29数系的扩充与复数的引入课后层级训练含解析

纯虚数，所以
3a－ 2＝ 0，所以
a＝
2 3.]
12．(2019 ·山东泰安模拟 )已知 －z 是 z 的共轭复数，若复数
z＝1－ 2i＋ 2，则 －z 在复平面内对应的点是 ( 2＋ i
)
A ． (2,1)
B． (2，－ 1)
C． (－ 2,1)
【答案】 A [ 由 z＝ 1－2i ＋2＝ 2＋ i
________.
【答案】 3 [ f(n)＝ 1＋ i n＋ 1－i n＝ i n＋ (－ i) n， f(1) ＝ 0， f(2)＝－ 2， f(3) ＝ 0， f(4)＝ 2， f(5) ＝0， … ，
1－ i
1＋ i
∴集合 { f(n)} 中共有 3 个元素． ]
[B 级 能力提升训练 ]
a－ i
课下层级训练 (二十九 ) 数系的扩充与复数的引入
[A 级 基础强化训练 ]
1． (2019 ·山东威海月考 )若 a， b∈ R，复数 a＋ bi 为虚数，则 ( )
A ．a＝ 0
B． b≠０
C． a＝ 0， b≠０ 【答案】 B [ 由虚数概念可知， b≠0.]
D． a≠０， b≠０
2． (2019 ·山东济宁模拟
【答案】 ④ [由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若 ③错误； z3＋ 1＝ (－ i) 3＋ 1＝ i＋ 1，④正确． ]
a＝－ 1，则 a＋ 1＝0 不满足纯虚数的条件，
16．已知复数 z1＝ cos 15 °＋ sin 15 °i 和复数 z2＝ cos 45 °＋sin 45°i，则 z1·z2＝ ________.
5． (2019 ·湖北襄阳模拟 )已知 i 为虚数单位，复数 z＝ i(2 －i) 的模 |z|＝ ( )
A ．1
B． 3
C． 5
D．3
【答案】 C [ ∵ z＝ i(2 － i)＝ 2i ＋1，∴ |z|＝ 12＋ 22＝ 5.]
6． (2019 ·山东枣庄模拟 )已知复数 z 在复平面上对应的点为 Z(2，－ 1)，则 ( )
a－ i为实数，则 2＋ i
a 的值为 ________.
【答案】 － 2
[∵
a∈
R，
a－
i ＝
2＋ i
a－ ＋
－ －
＝2a－ 1－ 5 a＋
＝
2a－ 5
1－
a＋ 5
2 i
为实数，∴－
a＋ 5
2＝
0，∴
a＝－
2.]
10．设 f (n)＝
1＋ i 1－i
n＋
1－i 1＋ i
n(n∈ N*)，则集合
{ f(n)} 中元素的个数为
【答案】12＋
3 2i
[ z1·z2＝ (cos 15 °＋ sin 15 i°)(cos 45 ＋°sin 45 i°) ＝ (cos 15 °cos 45 °－ sin 15 s°in 45 °)＋(sin 15 c°os
45°＋cos 15 s°in 45
)i°＝ cos 60 ＋°sin 60
B． (－ 1,1)
C． (1，＋ ∞）
D． (0，＋ ∞）
【答案】 B [ ∵ |z1|＝ a2＋ 4， |z2|＝ 5，∴ a2＋ 4< 5，即 a2＋4<5 ，∴ a2<1 ，即－ 1<a<1.]
14．已知复数 z＝ x＋yi( x， y∈ R)，且 |z－2|＝ 3，则 yx的最大值为 ________.
C．－ 3
D． 3－ 4i
【答案】 A [ ∵ z＝ 1＋2i ，∴ z·z＝ |z|2＝ ( 12＋ 22 )2＝ 5.]
4． (2019 ·山东烟台调研 )若复数 z 满足 z(2－i) ＝ 18＋ 11i ，则 z 的实部为 ( )
A ．－ 5
B．5
C．－ 8
D．8
【答案】 B [ ∵ z(2－ i) ＝18＋ 11i，∴ z＝ 18＋ 11i＝ 5＋ 8i ，∴ z 的实部为 5.] 2－ i
11． (2019 ·山东潍坊检测 )已知复数 z＝ 3＋ 2i( a∈R ， i 是虚数单位 )为纯虚数，则实数 a 的值等于 (
)
2 A．3
3 B．2
2 C．－ 3
3 D．－ 2
【答案】 A [ z＝ a－ i ＝ 3＋ 2i
a－ ＋
－ －
＝ a－
－
13
＝ a－ ＋ － 3－ 2a ，因为 z 是 13
1－
2i 的共轭复数对应的点位于
1＋i
(
)
A ．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D ．第四象限
【答案】 B [ ∵复数 z＝1－ 2i＝ 1＋ i
－ ＋
－ －＝
－ 2
－
＝
－
1－
3i ，∴
－z
＝
－
1＋
3i
，它在
2
2
复平面内对应点的坐标为
－ 1，3 22
，故
－z 对应的点位于第二象限．
]
9． (2017 ·天津卷 )已知 a∈ R， i 为虚数单位，若
)
复数
i
5 的共轭复数是 －2
(
)
A ．2＋ i C．－ 2－ i 【答案】 B [ 因为 5 ＝
i－ 2
－ i－ 5
B．－ 2＋ i D． 2－ i ＝－ i － 2，所以共轭复数是－ 2＋ i.]
3． (2019 ·黑龙江哈尔滨模拟 )已知复数 z＝ 1＋ 2i，则 z·z＝( )
A ．5
B． 5＋ 4i
－ ＋
D． (－ 2，－ 1)
－ －
＋
－ 5i 2＝ 5 ＋ 2＝ 2－i ，得
－z
＝ 2＋i
，所以
－z 在复平面内对
应的点的坐标为 (2,1) ． ] 13．设复数 z1＝ a＋ 2i， z2＝－ 2＋ i ，且 |z1|<|z2|，则实数 a 的取值范围是 ( )
A ． (－∞，－ 1)∪ (1，＋ ∞）
7．设 z＝i ＋1，则 z2＋ z＋ 1＝ (
)
i －1
A ．－ i
C．－ 1－ i
B．i D．－ 1＋ i
【答案】 A
[ 由 z＝ i＋ 1＝ i－ 1
＋ － 1＋
－1－ －1－
＝ －2i ＝－ i ，得 z2＋z＋ 1＝ (－ i) 2－i ＋ 1＝－ i.] 2
8． (2019 ·山东临沂月考 )在复平面内，复数
【答案】 3 [∵ |z－ 2|＝ x－ 2＋ y2＝ 3，
∴ (x－ 2)2＋ y2＝ 3.由图可知
y x
max ＝z∈ C，则 z2≥０； ②若 a，b∈ R，且 a＞ b，则 a＋ i＞ b＋ i ；
③若 a∈R ，则 (a＋ 1)i 是纯虚数； ④若 z＝－ i ，则 z3＋1 在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是 ________.(填上所有正确命题的序号 )
A ． z＝－ 1＋ 2i
C．
－ z
＝－
2－
i
B． |z|＝ 5 D． z－ 2 是纯虚数
【答案】 D [ 根据复数 z 在复平面上对应的点为 Z(2，－ 1)，则 z＝ 2－ i，所以 A 错； |z|＝ 4＋ 1＝ 5，所 以 B 错； －z ＝ 2＋ i，所以 C 错； z－ 2＝ 2－ i －2＝－ i，所以 D 正确． ]
i ＝°12＋
3 2 i.]