江苏省海门中学10-11学年高二下学期期中试题(数学理).doc

江苏省海门中学2010—2011学年第二学期期中考试试卷
高二数学(理科）
注意事项：
1．本卷考试时间120分钟,满分160分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号等写在试卷规定的位置．
3．请在规定区域答题．考试结束，将试卷交回． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．无需解答过程，只需写出结果。

1．命题“实系数一元二次方程有实数解"的否定是 有的实系数一元二次方程没有实数解
（课本P ：17的2）
2．函数x
x y ln =的单调增区间为
(课本P ：32的2）
3．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则①原命题,②逆命题,
③否命题，④逆否命题这四个命题中，正确的命题序号是_ ① ④ _．
4．用数学归纳法证明“当*
2
351,122
22n n N -∈++++
+时是31的倍数”时，
从k 到1k + 时需添加的项是_5515253542
2222k
k k k k ++++++++___。

5．若直线b x y +-=与函数x
y 1-=图象的切线垂直且过切点，则实数=b 0
(课本P ：18的3）
6．若AB 是过二次曲线中心的任一条弦，M 是二次曲线上异于A 、
B 的任一点，且AM 、BM 均与坐标轴不平行，则对于椭圆1
22
22=+b y a x 有
2
2
a
b K K BM
AM -=⋅.类
似地，对于双曲线122
22=-a
y b x 有
BM AM K K ⋅=。

22b
a
7．命题“∃(12)x ∈，时，满足不等式2
40x
mx ++≥"是假命题,则m 的取值范
围 ．（-∞，-5］ 8．函数3
()1f x ax
x =++有极值的充要条件是
0a <
9．已知函数1
12)(1
+-=x x x f ,对于*
N n ∈,定义)]([)(11
x f f x f
n n =+，则=)(2011x f
（课本P:86的11）1
1
2)(2011+-=
x x x f
10．函数x x y cos 2
1-=在]2
,2[ππ-上取最小值时，x 的值是_____。

6
π-
（课本P:32的4） 11．已知下列三个方程022,0)1(,03442222
=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x
至少有
一个方程有实根,则实数a 的取值范围为
2
3
-
≤a 或
1-≥a
.
12．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在（0,∞-）上有)2()2('2x f x xf +＜0
且
)2(=-f ,则不等式
)
2(x xf ＜0
的解集为
．
13．有以下四个命题:①若命题:,sin 1,P x R x ∀∈≤则:,sin 1p x R x ⌝∀∈>；②
,,
R αβ∃∈使得sin()sin sin αβαβ+=+;③若{a n ｝为等比数列；甲：
m+n=p+q(m 、n 、p 、q ∈N ＊） 乙：q p n m a a a a ⋅=⋅，则甲是乙的充要条件；④设p 、q 是简单命题,若“p q ∨”为假命题,则“p q ⌝∧⌝" 为真命题。

其中真命题的序号 ② ④
14．在课本第89页的例5中我们知道平面上n 条直线最多可将平面
分成2
)1(1++n n 个部分,则空间内n 个平面最多可将空间分成
个部分
（课本P:107的16）)65(6
13
++n n
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在试卷．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分14分）已知实数a 满足0>a 且1≠a 。

命题P :函数),0()1(log +∞+=在x y a
内单调递减;
命题Q :曲线x x a x y 与1)32(2
+-+=轴交于不同的两点.
如果“P \/Q ”为真且“P /\Q ”为假，求a 的取值范围.
解：∵1,0≠>a a ,
∴命题P 为真时10<<⇔a …………
2分
命题Q 为真时,
2
5
2101,004)32(2><
<≠>>--=∆⇔a a a a a 或，即，且…………4分
由“P\/Q ”为真且“P/\Q ”为假，知P 、Q 有且只有一个正确。

…………6分 (1)当P 正确且Q
不正确)1,21
[252
11
0∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<⇔a a a ，即 …………9分
（2）当P 不正确且Q 正确),25
(25
2101
+∞∈⎪⎩
⎪⎨⎧><<>⇔a a a a ，即或…………12分
综上，a 取值范围是),2
5()1,2
1[+∞⋃ …………14分
16．(本题满分14分）
已知命题3log 2)2(log :2
2
≤-+x p ，012:22≤-+-m x x q ， 若p ⌝是q ⌝的充分非
必要条件，试求实数m 的取值范围． 解：由3log 2)2(log :2
2≤-+x p ，得102≤<-x ．
∴p ⌝:{}102|>-≤=x x x A 或． …………3分
（1)当0>m 时，由01222≤-+-m x x ,得11m x m -≤≤+．
∴q ⌝:B=｛0,11|>+>-<m m x m x x 或}． …………5分 ∵p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，且0m >， ∴ A ≠⊂
B ．
∴⎪⎩
⎪⎨⎧->-≤+>211010m m m 即30<<m (8)
分
（2）当0<m 时， 012:22≤-+-m x x q ∴m x m -≤≤+11
同理可得：则实数m 的取值范围为03<<-m …………11分
（3)当0=m 时，1012:2=⇒≤+-x x x q 成立 …………12分
综上所述，实数m 的取值范围)3,3(-∈m …………14分
17．(本题满分15分）
已知函数)0()(>+=x x
t x x f ，过点P(1,0）作曲线)(x f y =的两条切线PM ，
PN ，切点分别为M ,N ．
（1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间; (2)设|MN ｜=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式;
解：（1）当,2)(,2x
x x f t +==时 ——--——-—2分 02
21)(2
22>-=-='x x x x f 2,2-<>x x 或解得.
-—----—-4分
则函数
)
(x f 有单调递增区间为)
,2(),2,(+∞--∞
-—--————5分
（2)设M 、N 两点的横坐标分别为1
x 、2
x ,
)
1(.
02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(121121
1112
1
112=-+--=+-∴--=+-∴-
='t tx x x x t
x t x P PM x x x t x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线
…………8分
同理，由切线PN 也过点(1，0），得.0222
2=-+t tx x
（2)---—--——-————--9分 由(1)、（2），可得02,2
2
1
=-+t tx x
x x 是方程的两根,
(*)
.
22121⎩⎨
⎧-=⋅-=+∴t x x t
x x
-——--——-——-—----——--———--—————--—---—-—-——--——----—--—11分
])1(1[)()()(||22
122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--+
+-= ])1(1][4)[(2
2
121221x x t x x x x -
+-+ 把(＊）式代入，得,2020||2t t MN +=
因
此
，
函
数
)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为
—--—-——-—————--—15分
18．（本题满分15分)等比数列｛n
a ｝的前n 项和为n
S , 已知对任意的
n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数）的图像
上。

（1)求r 的值; (11）当b=2时,记
22(log 1)()n n b a n N +=+∈
证明：
对任意的n N +
∈ ，不等式12
1
2111·
······1n n
b b b
n b b b +++>+成立 解： （1)因为对任意的n N +
∈，点(,)n
n S 均在r b
y x
+=的图像上。

所以
得n n
S
b r =+，
当1n =时,1
1a
S b r ==+，
当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n
n n a
S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 又因为{
n
a }为等比数列,所以
1
r =-,公比为
b ,1(1)n n a b b -=- (6)
分
（2）当b=2时，11(1)2n n n
a
b b --=-=,
1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=
…………8分
则
121
2n n b n b n
++=，所以121211135721
(246)
2n n b b b n b b b n
++++=⋅⋅
…………9分
下面用数学归纳法证明1
2
1
211135721
·
(1246)
2n n b b b
n n b b b n
++++=⋅⋅>+成立.
① 当1n =时,左边=32
,右边=
2
,因为32
2
>
，所以不等式成
立. …………10分
② 假设当n k =时不等式成立，
即1
2
1
211135721
·
(1246)
2k k b b b
k k b b b k
++++=⋅⋅>+ 则当1n k =+时,
左边=11
2
1
2111113572123
·
(246)
222
k k k k b b b b
k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅
⋅
+ 2223(23)4(1)4(1)11
1(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)
k k k k k k k k k k k ++++++>+==+++>++++++
所以当1
n k =+时,不等式也成立. …………14分
由
①
、
②
可
得
不
等
式
恒
成
立。

…………15分
【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式,以及已知n
S 求n
a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以
及放缩法证明不等式。

19．（本题满分16分）
（1）已知实数集1
1
11
{|,0}A x a x b a b ==≠，}0,|{2
222≠==b
a b x a x B ,证明:B A = 的
充要条件是2
1
2
1
b b a a
=
; （2）已知实数集21
11111
{|0,0}A x a x
b x
c a bc =++=≠，B=222222
2,0c b a c x b x a x =++ }0≠,问
111
222
a b c a b c ==是B A =的什么条件？请给出说明过程；
（3）已知实数集21
11111{|0,0}A x a x
b x
c a bc =++>≠,B=
2222222,0c b a c x b x a x >++ }0≠，，问
111
222a b c a b c ==是B A =的什么条件？请给出说明过程．
解：（1）⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧==11
a b x x A ，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧==22
a b x x B ,2
121221
1
b b
a a a
b a b
B A =⇔=
⇔=…。

.4分
（2）2
1
212
1
c c b b a a ==
”是“B A =”的充分不必要条件 ……。

6分
证明：充分性：
若A x ∈0
，即0
x 是方程0112
1
=++c x b x
a 的解,则012
01x b x a +01=+c ，
而非零实数1
1
1
,,c b a 和222,,c b a
满足
2
1
2121c c b b a a ==，
设02
1212
1
≠===
k c c b b a a
，则可得()
02022
02=++c x b x a k ,
所以020220
2=++c x b x a ，即0x 是方程x b x a 22
2+02=+c 的解,即B x ∈0
， 于是B A ⊆．同理可证A B ⊆，所以B A =． ……。

.10分
必要性不成立，反例：如
A B φ== ……。

11分 （3)如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数,不等式01
12
1>++c x b x a 和
02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ,则
“2
1
2121c c b b a a =="是“B A ="的既不
充分也不必要条件． …..14分 从两方面举反例加以说明． ……..16分
20．（本题满分16分)
已知函数x a x x f ln )(2
-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在（0，1)为减函数。

（Ⅰ）求)(x f 、)(x g 的表达式；
(Ⅱ）求证：当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解；
(Ⅲ）当1->b 时，若2
12)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立，求b 的取值范围。

解： （Ⅰ）,2)(x
a x x f -='依题意()0,(1,2]f x x '≥∀∈恒成立，
即22a x ≤，(1,2]x ∀∈恒成立. ∴2≤a
① ………………………2分
又x
a x g 21)(-=',依题意恒成立()0,(0,1)g x x '≤∀∈，
即
a ≥(0,1)x ∀∈恒成立。

∴.2≥a
② …………………………4分
由①②得2=a .
∴.2)(,ln 2)(2
x x x g x x x f -=-= …………………………………
5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22
=-+--x x x x 即
设2()2ln 2
2(0)h x x x x x x =--+->，
21(1)[(21)2(1)]()21,x x x x h x x x x x
-+++'=-
-+=则……………………7分
令()0h x '=，并由,0>x 得 1.x = 列表分析：
x (0，1） 1
(1，
+)
)(x h ' - 0 + )(x h 递减 0 递增
知)(x h 在1=x 处有一个最小值
0, ……………………………9分
∴当10≠>x x 且时,)(x h ＞0, ∴0)(=x h 在（0，+)上只有一个解. 即当x ＞0时，方程2)()(+=x g x f 有唯一
解. ……………………………11分
（Ⅲ）2
12)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(恒成立22ln x x ⇔-212bx x
≥-在x ∈]1,0(内恒成立
3
12ln 2x
b x x
x
⇔≤+
-
在x ∈]1,0(内恒成立…③ …………………………
13分
令3
1
2ln ()x
m x x x
x =+
-
（x ∈]1,0(）， 则4222224
2
4
4
32(1ln )
322ln (3)(1)2ln ()1x x x x x
x x x x
m x x
x
x
x
---+-++'=-
-
=
=
x ∴∈]1,0(时，()0m x '<,()m x ∴在]1,0(是减函数，min [()](1)2m x m ∴==
由③知min 2[()]2b m x ≤=，
1b ∴≤ …………………………………15分
又1b >- ,所以：11≤<-b 为所求范
围。

…………………………………16分 另解：设2
2
1()2ln 2x x x bx x ϕ=--+, 则(0,1]x ∈时，
42'
33
221
()2222x x x x b b x x x
ϕ--=---=⋅- 13分
22315()24222(1)0x b b x
--
=⋅-≤-+< ……………………15分
()x ϕ∴在(0,1]为减函数,min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥
，1b ∴≤
又
1
b >-，所以
：
1
1≤<-b 为
所
求
范
围. …………………………16分
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ks5u 。

com)。