八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题(Word版 含答案)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，点D 是线段BC 上任意一点，连接AD ，则线段AD 的长不可能．．．
是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，OC 是∠AOB 的平分线，直线l ∥OB ．若∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．80° 4．如图，//,2,2,AB CD FEN BEN FGH CGH ∠=∠∠=∠则F ∠与H ∠的数量关系是
( )
A ．90F H ︒∠+∠=
B ．2H F ∠=∠
C ．2180H F ︒∠-∠=
D ．3180H F ︒∠-∠=
5．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB ＝BC ，则点B 是线段AC 的中点．其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．下列命题中，假命题的个数为（ ）
（1）“是任意实数，
”是必然事件； （2）抛物线的对称轴是直线；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为
； （4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票一定有1张会中奖；
（6）函数与轴必有两个交点．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ）
A ．垂直
B ．两条直线互相平行
C ．同一条直线
D ．两条直线垂直于同一条直线 8．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180° 9．在下列命题中，为真命题的是（ ）
A ．相等的角是对顶角
B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C ．同旁内角互补
D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
10．如图，直线//a b ，直线AB AC ⊥，若150∠=，则2∠=（ ）
A ．50
B ．45
C ．40
D ．30
11．如图，若∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，则有（ ）．
A ．a ∥b
B ．c ∥d
C ．a ⊥d
D ．任两条都无法判定
是否平行 12．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上
各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．
14．如图，在△ABC 中，6BC cm =，将△ABC 以每秒2cm 的速度沿BC 所在直线向右平移，所得图形对应为△DEF ，设平移时间为t 秒，若要使2AD CE =成立，则t 的值为_____秒．
15．已知：如图放置的长方形ABCD 和等腰直角三角形EFG 中，
∠F=90°，FE=FG=4cm ，AB=2cm ，AD=4cm ，且点F ，G ，D ，C 在同一直线上，点G 和点D 重合．现将△EFG 沿射线FC 向右平移，当点F 和点C 重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm 2，则△EFG 向右平移了____cm ．
16．如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，第一次平移长方形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A 1B 1C 1D 1，第2次平移长方形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A 2B 2C 2D 2，…，第n 次平移长方形A n －1B n －1C n －1D n －1沿A n －1B n －1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A n B n C n D n （n ＞2），若AB n 的长度为2 016，则n 的值为__________．
17．下列说法中正确的有_____________（填序号）.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④若AC=BC ，则点C 是线段AB 的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥180°角是补角；⑦65.5°＝65.50′；⑧如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角.
18．如图,点A 、B 为定点,直线l ∥AB,P 是直线l 上一动点，对于下列各值:①线段AB 的长；②△PAB 的周长；③△PAB 的面积；④∠APB 的度数，其中不会随点P 的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.
19．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．
证明：∵12∠=∠（已知）
23∠∠=（______）
∴13∠=∠（等量代换）
∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）
∴A BCH ∠=∠（______）
20．已知∠A 与∠B 的两边分别平行，其中∠A 为x °，∠B 的为(210﹣2x )°，则∠A =____度．
三、解答题
21．如图，直线MN ∥GH ，直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点，直线l 2分别交直线MN 、GH 于C 、D 两点，且直线l 1、l 2交于点E ，点P 是直线l 2上不同于C 、D 、E 点的动点．
（1）如图①，当点P 在线段CE 上时，请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系： ；
（2）如图②，当点P 在线段DE 上时，（1）中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 ．
22．如图1，AB//CD ，在AB 、CD 内有一条折线EPF ．
（1）求证：AEP CFP EPF ∠∠∠+=．
（2）如图2，已知BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线相交于点Q ，试探索EPF ∠与EQF ∠之间的关系；
（3）如图3，已知BEQ ∠=1BEP 3∠，1DFQ DFP 3
∠∠=
，则P ∠与Q ∠有什么关系，请说明理由．
23．（1）①如图1，//AB CD ，则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ；
②如图2，//AB CD ，则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ；
（2）①将图1中BA绕B点逆时针旋转一定角度交CD于Q (如图3)．证明：
BPD
∠=∠+∠+∠
123
②将图2中AB绕点A顺时针旋转一定角度交CD于H (如图4)证明：
∠+∠+∠+∠=︒
E C CHA A
360
∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度
（3）利用（2）中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=
数．A B C D E F G
24．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．
（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；
（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；
（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和
∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．
25．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度数．
26．问题情境：如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，124PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是过点P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC ∠的度数．
（2）问题迁移：如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P 在线段OB 上时，请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
27． [问题解决]：如图1，已知AB ∥CD ，E 是直线AB ，CD 内部一点，连接BE ，DE ，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED 的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
28．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D
悦悦是这样做的：
过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵90ACB ∠=︒
∴点A 到线段CB 最短的最短距离为AC=4
∴AD 的长最短为4
故选A ．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
2．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D ．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
3．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质可求∠AOB ，再根据角平分线的定义求得∠BOC ，再根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵l ∥OB ，
∴∠AOB+∠1=180°
∴∠AOB ＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠BOC ＝65°，
∴∠2＝∠BOC ＝65°．
故选：C ．
【点睛】
考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．
4．D
解析：D
【分析】
先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】
设,NEB HGC αβ∠=∠=
则2,2FEN FGH αβ∠=∠=
∵//AB CD
∴H AEH HGC ∠=∠+∠
NEB HGC =∠+∠
αβ=+
F FEB FGD ∠=∠-∠
()180FEB FGC =∠-︒-∠
()31803αβ=-︒-
()3180αβ=+-︒
∴F ∠3180H =∠-︒
3180H F ∴∠-∠=︒
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
5．B
解析：B
【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进
行判断．
详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；
连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；
两点之间，线段最短，所以③正确；
有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；
若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．
故选B．
点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．C
解析：C
【解析】
试题解析：（1）“a是任意实数，|a|-5＞0”是不确定事件，是假命题；
（2）抛物线y=（2x+1）2的对称轴是直线x=-，是假命题；
（3）若某运动员投篮2次，投中1次，则该运动员投1次篮，投中的概率为，是假命题；
（4）某件事情发生的概率是1，则它一定发生，是真命题；
（5）某彩票的中奖率为10%，则买100张彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，是假命题；
（6）函数y=-9（x+2014）2+与x轴必有两个交点，是真命题，
则假命题的个数是4；
故选C．
考点：命题与定理．
7．D
解析：D
【分析】
命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．
【详解】
“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．8．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A ．∠A ＝∠BDF ，由同位角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
B ．∠2＝∠4，不能判断DF ∥A
C ；
C ．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
D ．∠A +∠ADF ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF ∥AC ；
故选：B ．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
9．B
解析：B
【分析】
分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【详解】
解：A 、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B 、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C 、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D 、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到3∠，根据两直线平行，同位角相等可得23∠∠=．
【详解】
如图，
直线AB AC ⊥，
1390︒∴∠+∠=．
150︒∠=，
390140︒︒∴∠=-∠=，
直线//a b ，
2340︒
∴∠=∠=，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．A
解析：A
【详解】
解：∵∠4=∠1=70°，∠2=110°，
∴∠4+∠2=180°；
∴a∥b．
∵∠2≠∠3，
∴c与d不平行．
故选A．
12．C
解析：C
【分析】
根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】
解：①两点之间，线段最短，正确．
②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．
④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．
故选C．
【点睛】
本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
13．6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构
建方程即可解答．
【详
解析：6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出
t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】
解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点E在C的左边时；（2）当点E在C的右边时.画出相应的图形，根据平移的性质，可得AD=BE，再根据AD=2CE，可得方程，解方程即
【详解】
解析：2或6.
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点E在C的左边时；（2）当点E在C的右边时.画出相应的图形，根据平移的性质，可得AD=BE，再根据AD=2CE，可得方程，解方程即可求解．
【详解】
解：分两种情况：
（1）当点E在C的左边时，如图
根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t+t=6，
解得t=2．
（2）当点E在C的右边时，如图
根据图形可得：线段BE和AD的长度即是平移的距离，
则AD=BE，
设AD=2tcm，则CE=tcm，依题意有
2t-t=6，
解得t=6．
故答案为2或6．
【点睛】
本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意分类讨论．
15．3或2+
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC＜，故这种情况不
②如图
解析：3或2+22
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部
分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；
②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；
③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．
详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三
角形，重合部分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故
这种情况不成立；
②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分
为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =1
2
DG2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
DG2－
1
2
（DG-2）
2=4，解得：DG=3；
③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形
EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =1
2
EF2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
×42－
1
2
（DG-2）2=4，解得：
DG=222
+或222
-（舍去）．
故答案为：3或222
+．
点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．
16．【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即
解析：【解析】
根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+1求出n即可．
解：∵AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位,得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5,A1A2=5,A2B1=A1B1−A1A2=6−5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11=2×5+1，
∴AB2的长为：5+5+6=16=3×5+1；
……
∴AB n=(n+1)×5+1=2016，
解得：n=402.
故答案为：402.
点睛：本题主要考查找规律.根据所求出的数字找出其变化规律是解题的关键.
17．①③
【解析】根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，只有在一条直线上时，点C是线段A
解析：①③
【解析】根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，只有在一条直线上时，点C是线段AB的中点，④不正确；根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180°的两角互为补角，知⑥不正确.
故答案为：①③.
18．①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长
解析：①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∴①正确；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，
∴P 到AB 的距离为定值，故△APB 的面积不变，
∴③正确；
当P 点移动时，PA+PB 的长发生变化，
∴△PAB 的周长发生变化，
∴②错误；
当P 点移动时，∠APB 发生变化，
∴④错误；
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．
19．对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【分析】
根据对顶角的定义可得，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．
【详解】
解：证明：∵（已知）
（对顶角相等）
解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【分析】
根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．
【详解】
解：证明：∵12∠=∠（已知）
23∠∠=（对顶角相等）
∴13∠=∠（等量代换）
∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）
∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．
【点睛】
本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．
20．70或30．
【分析】
分∠A=∠B 与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当
解析：70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当∠A+∠B=180°时，
可得：x+210﹣2x=180，
解得：x=30．
故答案为：70或30．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意分类讨论．
三、解答题
21．（1）∠APB＝∠NAP+∠HBP；（2）见解析；（3）∠HBP＝∠NAP+∠APB 【分析】
（1）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P点作PQ∥GH，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ＝∠NAP，∠BPQ＝∠HBP，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝∠NAP+∠HBP，
故答案为：∠APB＝∠NAP+∠HBP；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）∠P+3∠Q＝360°．
【分析】
（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝
∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平
分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，即可判断出
∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）首先由（1），可得∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ＝
1 3∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，推得∠Q＝
1
3
×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q＝
360°．
【详解】
（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF．
（2）如图2，
，
由（1），可得
∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
2
（∠BEP+∠DFP）
＝1
[360()] 2
AEP CFP
︒-∠+∠
＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）如图3，
，
由（1），可得
∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ＝1
3
∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，
∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
3
（∠BEP+∠DFP）
＝1
3
[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]
＝1
3
×（360°﹣∠P），
∴∠P +3∠Q ＝360°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
23．（1）①B D P ∠+∠=∠，②360A E C ∠+∠+∠=︒；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）540︒．
【分析】
（1）①如图1中，作//PE AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
②作//EH AB ，利用平行线的性质即可解决问题；
（2）①如图3中，作//BE CD ，利用平行线的性质即可解决问题；
②如图4中，连接EH ．利用三角形内角和定理即可解决问题；
（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和540︒即可解决问题；
【详解】
解：（1）①如图1中，作//PE AB ，
//AB CD ，
//PE CD ∴，
1B ∴∠=∠，D 2∠=∠，
12B D BPD ．
②如图2，作//EH AB ，
//AB CD ，
//EH CD ，
1180A ∴∠+∠=︒，2
180C ， 12360A C ， 360A AEC C ．
故答案为B D P ∠+∠=∠，360A E C ∠+∠+∠=︒．
（2）①如图3中，作//BE CD ，
3EBQ
，1EBP EBQ ， 2132BPD EBP ．
②如图4中，连接EH ．
180A
AEH AHE ，180C CEB CBE ， 360A
AEH AHE CEH CHE C ，
360A AEC C AHC ． （3）如图5中，设AC 交BG 于H ．
AHB A B F ，
AHB CHG ∠=∠， 在五边形HCDEG 中，540CHG C
D E G ， 540A B F C D E G
【点睛】
本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．
24．（1）D （k +2，2）；（2）k ＝2；（3）∠BPD ＝12∠BCD +12
∠A ，理由详见解析
【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出
∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD＝1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC＝
1
2
∠BCD+
1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．
25．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，
然后进一步得出∠PEG＝1
2
∠FEG，∠GEH＝
1
2
∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即
可得出答案．
【详解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝1
2
∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝1
2
∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝1
2
∠FEG−
1
2
∠BEG
＝1
2
∠BEF
＝55°．
【点睛】
本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】
（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出
α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
27．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，
∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【分析】
问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；
问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠AP C=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【详解】
问题解决：
如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；
（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；
如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．
28．（2）∠EGF＝90°；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（2）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；由结论（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG 分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到
∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；
（3）如图3，过点G1作G1H∥AB由结论（1）可得∠G2=∠1+∠3，
∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于
∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到
∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结。