三角函数的诱导公式

( 4 ) cos ( −2040
) = cos 2040
= cos ( 6 × 360 − 120
)
= cos1200 = cos(1800 − 600 ) 1 = − cos 60 = − 2
练习 将下列三角函数转化为锐角三角函数, 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并 填在题中横线上 4 13 − cos π (1) cos π = ______; 9 9 ______; ( 2 ) sin (1 + π ) = − sin1
1.3 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式(1)
双城市铁路中学： 双城市铁路中学：孔凡强
问题1：任意角 的正弦 余弦、正切是怎样定义的？ 的正弦、 问题 ：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？ 问题2：求下列三角函数值 借助单位圆 借助单位圆) 问题 ：求下列三角函数值(借助单位圆
7π （1）sin 6 ）
解：
2.典型例题 典型例题
11π π π 3 = sin π + = − sin = − ( 2 ) sin 3 3 3 2
2 (1) cos 225 = cos (180 + 45 ) = − cos 45 = − 2
16π ( 3) sin − 3
16π π = − sin 5π + = − sin 3 3 3 π = − − sin = 3 2
π +α O
α
x
P(-x,-y)
(2)与角 的终边关于 轴对称的角与 有什 与角α的终边关于 轴对称的角与α有什 与角 的终边关于x轴对称的角与 么关系?它们的三角函数之间有什么关系 么关系 它们的三角函数之间有什么关系? 它们的三角函数之间有什么关系 公式三 y
sin(－α)=－sinα － － cos(－α)=cosα － tan(－α)=－tanα － －
P(x,y)
α
O
-α
x
P(x,-y)
(3)与角 的终边关于 轴对称的角与 有什 与角α的终边关于 轴对称的角与α有什 与角 的终边关于y轴对称的角与 么关系?它们的三角函数之间有什么关系 它们的三角函数之间有什么关系? 么关系 它们的三角函数之间有什么关系
公式四
y
P(-x,y)
α
sin(π-α)=sinα π cos(π-α)=－cosα π － tan(π-α)=－tanα π －
思考： 思考： 给定一个角α 给定一个角 (1)与角 的终边关于原点对称的角与 有 与角α的终边关于原点对称的角与 与角 的终边关于原点对称的角与α有 什么关系?它们的三角函数之间有什么关 什么关系 它们的三角函数之间有什么关 系? y 公式二
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα － cos(π+α)=－cosα － tan(π+α)=tanα
π − sin ( 3) sin − = ______; 5 5 ______ ( 4 ) cos ( −70 6′) = cos 70 16.′
π
例2
cos( 180 0 + α ) • sin( α + 360 0 ) 化简 sin( − α − 180 0 ) • cos( − 180 0 − α )
= − cos α
利用公式求下列三角函数值: 利用公式求下列三角函数值: 1 (1) cos −420 = cos ( −60 ) = cos 60 = 2 7 5 π 1 ( 2 ) sin − π = sin π = sin = 6 6 2 6
练习
(
)
( 3) sin ( −1300 ) = sin140 = sin40 ≈ 0.6428
,（2）cos 6 ，（ ）tan 6 。 （ ） ，（3）
π 6
7π π
7π
问题3：（ ：（1） 问题 ：（ ）角 π +
π+ π 6
和角
π 6
π 6
的终边有何关系？ 的终边有何关系？
的终边分别交单位圆于点P （2）设角 ） 与角 的终边分别交单位圆于点 1、P2， 的坐标为P ， 的坐标如何表示？ 点P1的坐标为 1(x，y) ，则点 P2的坐标如何表示？ （3）它们的三角函数值有何关系？ ）它们的三角函数值有何关系？
2
(
)
(
)
(1) 原式= − sin α cos α sin α = − sin α cos α
( 2 ) 原式= − sin α cos α tan α = − sin α
3 4
小结： 小结：
利用公式一～ 利用公式一～四把任意角的三角函数转 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行: 化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:
解:sin ( -α -180 ) = sin − (180 + α )
cos ( −180 − α ) = cos − (180 + α )
= cos (180 + α )
= − sin (180 + α ) = − ( − sin α ) = sin α
− cos α • sin α = 1 所以， 所以，原式 = sin α • ( − cos α )
+ α
π
π
π-α
α
P(x,y)
O
x
公式二
sin(π+α)=－sinα － cos(π+α)=－cosα － tan(π+α)=tanα sin(－α)=－sinα － － cos(－α)=cosα － tan(－α)=－tanα － － sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα － tan(π-α)=－tanα －
79 5 π 3 ( 4 ) cos − π = cos π = − cos = − 6 6 6 2
练习 (1) sin α + 180 cos ( −α ) sin −α − 180 化简 3 ( 2 ) sin ( −α ) cos ( 2π + α ) tan ( −α − π )
任意负角的 三角函数 用公式 三或一 任意正角的 三角函数 用公式一 锐角三 角函数 用公式 二或四 0～2π的角 ～ 的角 的三角函数
作业：
P29，习题1.3A组：1、2、3（2）
思考：
的角的三角函数与α角的三 形如 2 、 2 − α 的角的三角函数与 角的三 角函数，是否也存在着某种关系？ 角函数，是否也存在着某种关系？借助单位圆试 推导。 推k·2π(k∈Z),－ ∈ － α,π± α的三角函 ± 的三角函 数值,等于 等于α的 数值 等于 的 同 名函数值,前面 加上一个把α看 成锐角时原函数 成锐角 时原函数 值 的 符 号 .
例1.利用公式求下列三角函数值: 1.利用公式求下列三角函数值: 利用公式求下列三角函数值 11π 0 225 ; (1) cos 225 ;( 2 ) sin ; 3 16π ( 3) sin − ; ( 4 ) cos ( −2040 ) . 3