人教A版选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理(第1课时) 课时作业

自我小测
1．下列说法正确的是( ) A ．合情推理就是正确的推理 B ．合情推理就是归纳推理
C ．归纳推理就是从一般到特殊的推理
D ．类比推理就是从特殊到特殊的推理
2．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y
b
＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓
展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的直线方程为( )
A ．x a ＋y b ＋z c ＝1
B ．x ab ＋y bc ＋z ac
＝1
C ．xy ab ＋yz bc ＋zx
ac
＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1
3．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A ．a n ＝3n －1
B ．a n ＝3n
C ．a n ＝3n －2n
D ．a n ＝3n －1＋2n －3 4．如图所示，n 个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2 004到2 006的箭头方向依次为( ) A ．→↑ B ．↑→ C ．↓→ D ．→↓
5．在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y
1－xy
”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：
设a ，b 是非零实数，且满足
a sin π5
＋b cos
π5
a cos π5－
b sin
π5＝tan 8π15，则b
a ＝( )
A ．4
B ．15
C ．2
D ． 3
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，__________，T 16
T 12
成等比数列．
7．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a n ＋12－na n 2＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
8．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC
BC
，将这
个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于
E ，则类比的结论为__________．
9．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3
2
，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝
3
2
，通过观察
上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
参考答案
1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A ，B 错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C 错误；类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D 正确．
答案：D 2．C
3．解析：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，∴猜想a n ＝3n －1. 答案：A
4．解析：观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C ．
答案：C
5．解析：将已知式变形，得a sin π5＋b cos
π5
a cos π5－
b sin π5＝a tan π
5
＋b
a －
b tan π5＝tan π5＋b a
1－b a tan
π5＝tan 8π
15，类比正切的和
角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π
3
＝3时，上式成立．
答案：D
6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比于除法，故可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16
T 12
成等比
数列．
答案：T 8T 4 T 12
T 8
7．解析：由首项为1，得a 1＝1； 当n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝1
2
；
当n ＝2时，由3a 3
2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
2
a 3＝0，
即6a 3
2＋a 3－1＝0，解得a 3＝1
3
；
…
归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1
n
(n ∈N *)．
答案：a n ＝1
n
(n ∈N *)
8．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故
S △AEC S △BEC 类比成V A －CDE
V B －CDE
. 平面中的线段长类比到空间为面积，故
AC BC 类比成S △ACD
S △BCD
. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD
S △BDC
.
答案：
V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD
S △BDC
9．解：通过观察可得一般性的命题为sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝3
2.
证明如下：
左边＝1－cos(2α－120°)2＋1－cos 2α2＋1－cos(2α＋120°)2
＝32－1
2
[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)] ＝32－1
2(cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°) ＝3
2
＝右边，所以该一般性的命题成立． 10．解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2
c 2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：如图②，cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2
l 2＝1.。