高中数学新人教版A版精品教案《三 排序不等式》

选修4-5 排序不等式
学习目标:
了解排序不等式的基本形式，掌握乱序和、反序和、顺序和的定义及基大小关系，通过排序不等式的“探究-猜想-检验-证明”过程体验研究数学问题的基本方法和基本过程。

会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法
教学重点：应用排序不等式证明不等式
教学难点：排序不等式的证明思路
一、复习准备：
1 提问： 前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）
1设n n b b b b a a a a ......,,,......,,321321是实数，则≥+++⋅++)......().......(2
222122221n n b b b a a a ① 22211)n n b a b a b a ⋅⋅⋅++
当且仅当0=i b i =1,2,3,…,n 或存在一个数,使得② )...3,2,1(n i kb a i i ==时等号成立
2．二维形式的三角不等式：
设,,,,2211R y x y x ∈那么：≥+++2
2222121y x y x 221221)()y y x x -+-（ 当且仅当)0(,2121<==k ky y kx x 时，等号成立。

3．二维形式的三角不等式：
设,,,,,,222111R z y x z y x ∈那么：
≥+++++2
22222212121z y x z y x 221221221)()()z z y y x x -+-+-（
当且仅当)0(,,212121<===k kz z ky y kx x 时，等号成立。

设计意图：通过复习前面经典不等式，让学生明白排序不等式也是经典不等式，它的规律简明，容易记忆，为学习排序不等式作出示范。

一、 新课学习： 设),,,2,1(),,,2,1(n j R b n i R a j i ⋅⋅⋅=∈⋅⋅⋅=∈且n n b b b a a a ⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤≤2121,，n c c c ⋅⋅⋅,,21是n b b b ⋅⋅⋅,,21任一个排列，则1122n n S a c a c a c =+++ ①我们把1122n n S a c a c a c =+++叫做数组),,(),,,,(2121n n b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的乱序和；
②我们把2112233n n S a b a b a b a b =++++叫做数组),,(),,,,(2121n n b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的顺序和；
③我们把1121321n n n n S a b a b a b a b --=++++叫做数组),,(),,,,(2121n n b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的反序和；
问：什么情况下S 取得最大小？什么情况下S 取得最小？
思考1：已知两组数1，2，3和4,5,6,若123,,c c c 是4，5，6的一个排列，则123123c c c ++的最大值是_____,最小值是_____
如果数大一点呢
思考2：已知两组数1，2，3和45,25,30,若123,,c c c 是45，25，30的一个排列，则123123c c c ++的最大值是_____,最小值是_____
设计意图：通过上述两个事例，使学生体会数学学习的基本方法：“探究—猜想—检验—证明”，培养由特殊事物发现一般规律并进而证明一般规律的能力。

猜想：设),,,2,1(),,,2,1(n j R b n i R a j i ⋅⋅⋅=∈⋅⋅⋅=∈且n n b b b a a a ⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤≤2121,，n c c c ⋅⋅⋅,,21是n b b b ⋅⋅⋅,,21任一个排列，则1122n n S a c a c a c =+++
猜想结论： 12 S S S ≤≤≤≤反序和乱序和顺序和即
设计意图：通过微视频的学习，对排序不等式的证明，重点要放在使学生认识基本证明思路上——通过逐步调整比较法，一步一步地接近目标，如此继续下去最终可以得到相应的大小关系。

证明：设n n b b b a a a ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤2121,为两组实数，n c c c ⋅⋅⋅,,21是n b b b ⋅⋅⋅,,21任一个排列，则1122n n S a c a c a c =+++①，n b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,21的排列只有!n 个，所以S 的取值最多只有!n 个，其中必有最大值。

当111b c b c k =≠时，必存在，
设n n k k c a c a c a S +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=11'②
②−①得： S′−S=0))((111111≥--=--+k k k k k k c c a a c a c a c a c a
这说明将①式中的第一项调换为11b a 后和式不减小
若,11b c =则转而考察2c ，并进行类似讨论
类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为11b a ，第二项调换为22b a 后和式不减小
如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{i c }由小到大排序的情况，即2S S ≤
同样可以证明，最小和数是反序和，即S S ≤1
∴21S S S ≤≤
至此我们证明了前面的猜想是正确的
定理排序不等式或称排序原理
设n n b b b a a a ≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤2121,为两组实数，n c c c ⋅⋅⋅21,是n b b b ⋅⋅⋅,,21任一个排列,则n n n n n n n b a b a b a b a c a c a b a b a b a +++≤+++≤+++-.........221122111121，当且仅当n a a a ===...21或n b b b ===...21时，反序和=顺序和
例1．有10人各拿一只水桶接水，设水龙头注满第)10,...,
2,1(=i i 个人的水桶需要i t 分，假定这些i t 各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解：等待总时间是：109212910t t t t S ++⋅⋅⋅++=
∵10921<<⋅⋅⋅<<
根据排序不等式，当10921t t t t <<⋅⋅⋅<<时，总时间取最小值
设计意图：对于实际问题，关键是正确建立数学模型，即把问题数学化，使实际问题转化为数学问题，抓住问题中的关键词“等候的总时间”。

例2．设n a a a ,,,21 是互不相同的正整数，求证：.212112221n a a a n n +++≤+++ 证明:取两组数222111(1,
,,,)23n 与（123,,,a a a …,n a ） 设123,,,
,n b b b b 是123,,,a a a …,n a 的一个排列,且123n b b b b <<<< ∵222111123n
>>>>，由排序不等式得 32122223n a a a a n ++++≥32122223n b b b b n ++++ ∵12,,a a …,n a 是n 个互不相同的正整数,
∴12,,b b …,n b 是n 个互不相同的正整数,∵123n b b b b <<<<
∴(1,2,3,,)i b i i n =≥∴32122223n b b b b n ++++≥111123n +++ ∴32122
211112323n a a a a n n +++++++≤ 设计意图：如何应用排序不等式作出示范，即应用排序不等式证明不等式
三．课堂小结：
① ； ② ； ③
四．作业布置： 作业:课本45P 第1,2题.。