(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．双曲线22
2:19x y C b
-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等
腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
89
B ．
83
C ．
149
D ．
143
2．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．
23
B ．2
C ．
34
D ．3
3．(),0F c 是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直
线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A ．
1
2
B
1
C
D
4．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（ ） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点
D ．PA 与PB 垂直
5．P 是椭圆22
1169
x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k
的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25
6．已知双曲线22
21(0)x y a a -=>与椭圆22183
x y +=有相同的焦点，则a =（ ）
A
B
．C ．2
D ．4
7．已知双曲线22
22:1(0,0),,x y C a b A B a b
-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P
是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积
为定值2，则双曲线的离心率是（ ） A
B
C ．2
D
8．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且
12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则
12
11
e e +的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
32
D ．
52
9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点
()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）
A ．24480y x y -++=
B ．22220y x y +-+=
C ．2210y x y ---=
D ．24250y x y +-+=
10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且
30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（ ）
A B ．C ．
3
D ．
3
11．椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个
焦点，若0MF NF ⋅=，且3
MNF π
∠=，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．12
-
B ．
2 C ．
3
D 1
12．已知1F ，2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，抛物线28y x
=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ）
A B ．
3
C ．
3
D ．2
二、填空题
13．已知椭圆2
214
x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点
A 关于原点的对称点为
B ，则
PAB S
的最大值为________．
14．已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲线22
179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与
x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为 .
15．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.
16．已知P 是双曲线22
1168
x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐
标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫
⎪=>=+= ⎪⎝⎭
⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________.
17．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆
上，则双曲线C 的离心率为_____________．
18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
20y
px p =>的焦点为F ，准线为l ，
()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若
2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.
19．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259
x y +=的焦点重合，左准线方程为
1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则
2
12
PF PF 的最小值为_____________.
20．已知1F 、2F 是椭圆22
143
x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角
三角形，则12MF F S
∆=________．
三、解答题
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B AB 与圆22
4
:5
O x y +=
相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的离心率； （2）求证：OA OB ⊥.
23．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点F 恰是椭圆2
212
x y +=的一个焦点，过点F 的直
线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.
（2）若45AFx ∠=，求AB .
24．点A 是抛物线2
1:2(0)C y px p =>与双曲线2
2
22:1(0)y C x b b
-=>的一条渐近线的
交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ． （1）求双曲线2C 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，求k 的取值范围．
25．已知圆22:4O x y +=和定点1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交
y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．
26．已知椭圆C ：22
221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点
Q 12⎛- ⎝⎭
，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .
（1）点P 在椭圆C 上，求12
PF PF ⋅的取值范围； （2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求． 【详解】
如图，由22219x y b
-=，得229c b =+，c
设1||PF m =，2||PF n =， 由题意，6m n -=， 若2229n c b ==+
26629m n b =+=++
则2266922m n c b ++=++=，解得b ∈∅； 若2229m c b ==+
26296n m b =-=+．
则2269622m n c b ++=+=，解得2
115
9
b =
． ∴222115196
999c a b =+=+
=，143
c =． 14
14339
c e a ∴===．
【点睛】
本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
2．B
解析：B 【分析】
联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】
设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组
2
14x ty y x =+⎧⎨=⎩
，消去x 得2
440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()
2221y t t x t -=---.令0y =，得
223x t =+，因此()
2
||21FG t =+.又
12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1
||||2
FG AB =
，从而2m =. 故选：B 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【分析】
设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，
2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，
又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，
12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，
又2
2
211PF PF
F F +=，即()()22
222a c c c -+=，
整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.
【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
4．A
解析：A 【分析】
设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】
设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则线段PA ，PB 的中点坐标分别为22
1200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
线段PA ，PB 的中点都在抛物线2
2(0)y px p =>上.
则2
12
0012
2200222222222y x y y p p y x y y p
p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝
⎭⎩，即22
1010022
20200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22
000240y y y px y -+-=的两个实数根
所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A 【点睛】
关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段
PA ，PB 的中点都在抛物线2
2(0)y px p =>上得到221010022
20200240
240
y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
设(),P x y ，根据标准方程求得2
71616
k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】
因为椭圆方程为椭圆22
1169
x y +=
，所以4,a c ==
设(),P x y ， 则
2
127·1616
k PF PF x ==
=-
, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.
6．C
解析：C 【分析】
先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ． 【详解】
椭圆22
183
x y +
=
的半焦距为c ==
∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）． 故选：C ． 【点睛】
晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．
7．B
解析：B 【分析】
设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2
可求得2
2b a
，从而可得离心率c e a =．
【详解】
根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则2222
22221,1m n k t a b a b -=-=，
,PA PB t n t n
k k k m k m
-+=
=-+， 所以22
22PA PB t n t n t n k k k m k m k m -+-⋅=
⋅==-+-22
2
22
222
222
(1)(1)
t n b t n a
a a
b b
-==+-+，所以双曲线
的离心率c e a ===
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．
8．A
解析：A 【分析】
设双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定
义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】
设双曲线2C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，焦点()2,0F c ，
因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，
根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，
所以121122a a c a a
e e c c c c
'-+
=+=+=. 故选：A. 【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
9．D
解析：D 【分析】
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】
由条件可知2
2
2210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11
a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =
x =，
两边平方后，整理为2
4250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
10．D
解析：D 【分析】
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式121
2
S OF y y =-得结论． 【详解】
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入2
4y x =，消去x
可得2
440y
ky --=，所以124y y k +=，124y y =-．
因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以
264k k
-⋅=-，所以||k =
， 又||1OF =，所以OPQ △
的面积S =1211||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=
． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．
即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．
11．D
解析：D 【分析】
E 是另一个焦点，由对称性知MEN
F 是平行四边形，从而得MENF 是矩
形．3
MEF MNF π
∠=∠=
，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义
得,a c 的等式，求得离心率． 【详解】
如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．
3
MNF π∠=
，∴3MEF π∠=，
∴1
cos
232ME EF c c π==⨯=，2sin 33
MF c c π
==， ∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴2
3131
c e a =
==-+． 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．
12．B
解析：B 【分析】
求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】
由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，
因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，2
2
2
212
124PF PF F F c +==，
点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故2
22
121224PF PF PF PF a +-⋅=，
则22444c a -=
，所以a =
3
， 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..
二、填空题
13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由
解析：2 【分析】
由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，
PAB
S
1
||||2
A B OP x x =
-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】
由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+， 代入椭圆方程整理得2
2
(14)80k x kx ++=， 所以2
814k
x k
-=
+， 所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，
2
214)14k k -+， 由题意得B 28(14k k +，22
41
)14k k
-+， 所以三角形PAB 的面积2
1116||||||2214A B k
S OP x x k =
-=+因为0k ≠， 所以
118|
|8
2
1
24
4PAB
S
k k
==+
.
故答案为：2. 【点睛】
关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.
14．【详解】由双曲线得右焦点为即为抛物线的焦点∴解得∴抛物线的方程为其准线方程为过点作准线垂足为点则∴∴∴∴ 解析：32
【详解】
由双曲线22
179
x y -=得右焦点为()40，
即为抛物线22y px = 的焦点，∴42p = ，解得8p = ．∴抛物线的方程为216y x = ．其准线方程为()440x K =-∴-，， ．过点A 作
AM ⊥准线，垂足为点M ．则
AM AF =．∴2AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴
2
21183222
AKF
S
KF =
=⨯=． 15．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛 解析：()2
212x y +-=
【分析】
由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】
由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，
2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，
FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，
∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为
1
22
FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2
212x y +-=.
故答案为：()2
212x y +-=. 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.
16．【分析】延长交于点由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线结合双曲线定义可求得利用中位线性质可求得进而得到结果【详解】延长交于点如下图所示：为的角平分线又为线段的垂直平分线由双曲线定义知：分别为 解析：64π
【分析】
延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】
延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：
22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+
⎪⎝⎭
，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.
由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，11
82
ON FQ ∴=
=， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=. 故答案为：64π. 【点睛】
本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.
17．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为 解析：
102
【分析】
利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和
2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．
【详解】
由题意可得2c =，则2124F F c ==．
因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=
，12cos 10
PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，
所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5
PF F F PF F =∠=，
则2125
PF PF a -=
=
，故双曲线C 的离心率为2c a =．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计
【分析】
由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13
||||22
CF AB p =
=，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用
1
3
ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.
【详解】 解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，3
||2CF p =，||||AB AF =.
AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，
13||||22CF AB p ∴=
=，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得5
2
A x p =，代入可取
A y =，
111
35332
ACE ABC S S p p ∆∆∴===p =
故答案为．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.
19．【分析】由焦点重合可知由左准线方程可知从而可求设根据双曲线的定义可知则结合基本不等式可求其最值【详解】解：由焦点重合可知；由左准线方程可知又由双曲线的定义可知从而可求出因为为右支上任意一点所以设则则
解析：【分析】
由焦点重合可知2
2
16a b +=，由左准线方程可知2
1a c
-=-，从而可求
2,23,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则
21216
8PF t PF t
=++，结合基本不等式可求其最值. 【详解】
解：由焦点重合可知，2
2
25916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c
-=-，
又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,23,4a b c ===. 因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PF
t t c a =≥-=， 则14PF t =+,则
()2
2124161688216t PF t t PF t t t
+==++≥+⋅= 当且仅当16
t t
=，即4t =时等号成立.即
21216PF PF ≥. 故答案为:16. 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.
20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直
角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角
解析：3
2
【分析】
对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得
1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
在椭圆22
143
x y +=中，2a =
，b =1c =，则122F F =.
（1）若12F MF ∠为直角，则()12222
1224
24
MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222
212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得12
32
52MF MF ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 121211133
22222
MF F S F F MF ∆∴=
⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得123
2
MF F S ∆=. 综上所述，1232
MF F S ∆=. 故答案为：32
. 【点睛】
本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）2
214
x y +=；（2）是定值，定值为2.
【分析】
（1
）由题意可得⎧=⎪⎪=，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆的方程； （2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐
标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】
（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=
，所以2
⎧=⎪⎪=
，解得2a =，
1b =，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
（2）证明：设()()2
2
000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.
因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--，令0x =，得0
022
M y y x =-
-， 从而0
02112
M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=
+令0y =，得001
N x
x y =--，从而0
0221
N x AN x y =-=+
-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛
⎫⎛⎫=
=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
‖ ()22
000000000000000000444842244222222
x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.
所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】
关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 22．（1
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，求出a 、c ，进而可求得椭圆C 的离心率； （2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两点的坐标，计算出0OA OB ⋅=；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦
达定理，利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立. 【详解】
（1）将椭圆C 方程化为标准形式22
1
4
43
x y +=， 24a ∴=，2
43b =
，222
48433c b a =-=-=，则2a =
，c = 因此，椭圆C
的离心率为323
c e a ===
；
（2）若切线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为1x =±，
联立椭圆C 的方程可解得：()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --. 此时0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥成立；
若切线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 直线l 与圆2
2
:1O x y +=
相切，则1=
，化简得221k m +=，
联立22
34
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩，得到()222
316340k x kmx m +++-=， 由韦达定理可得122631km x x k +=-+，212234
31
m x x k -=-+，
∴()()()2
2
12121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，
()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++，
将122631km x x k +=-+，212234
31
m x x k -=-+代入上式得：
()222
2
22234613131
m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++，
又∵221k m +=，所以
()2
2
224242422
22223463466320032
323232
m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=
-+===----，
OA OB ∴⊥.
综上所述，OA OB ⊥一定成立. 【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解. 23．（1）24y x =；（2）8. 【分析】
（1）由题意得焦点()1,0F ，则
12
p
=，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到
126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】
（1）因为抛物线()2
20y px p =>的焦点F 恰是椭圆2
212
x y +=的一个焦点，
所以焦点()1,0F ， 则
122
p
p =⇒=， 则抛物线的方程为：2
4y x =； （2）因为45AFx ∠=， 所以直线AB 的斜率为tan 451︒=， 又抛物线的焦点为()1,0F ，
则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-， 由2
1
4y x y x
=-⎧⎨
=⎩， 得2610x x -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则126x x +=，
所以128AB x x p =++=. 【点睛】
关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.
24．（1）2
2
14
y x -=；（2）(
【分析】
（1）取双曲线的一条渐近线：y bx =，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利
用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到p ，b 满足的关系式，进而可得答案． （2）根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，利用韦达定理、判别式列不等式组
求解即可. 【详解】
（1）取双曲线的一条渐近线y bx =， 联立2
2y px y bx ⎧=⎨=⎩解得2
22p x b p
y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故222(,)p p A b b ．
点A 到抛物线的准线的距离为p ，
∴
222p p
p b
+=，可得24b = 双曲线2
2
2:14
y C x -=；
（2）联立22114
y kx y x =-⎧⎪⎨-
=⎪⎩可得()22
4250k x kx -+-=
因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，
所以()
2
2
222045{0
442040
k
k k k k -
>-->-∆=+->，
解得2k <<
所以，k
的取值范围(. 【点睛】
求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出
,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思
路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．
25．（1）22
143
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；
（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算
MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．
【详解】
解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-． 依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，
因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点， 所以2A P OC '=
所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞， 所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
则24a =，22c =， 所以2a =，1c =， 所以2223b a c =-=，
所以动点P 的轨迹方程为22
143
x y +=;
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．
由()22414
3y k x x y ⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩，
得(
)
2
222
433264120k x k x k +-+-=， 依题意()
()()
2
222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，
即2
104
k <<
， 则21222
1223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 因为()()()()()
1212121212121225844111111MF NF
k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------
()()
222
21264123225843430
11k k k k k x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦
==--， 所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=． 因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =． 【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
26．（1）[0,1]；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由椭圆定义求得2a ，然后可得b ，从而得椭圆方程，然后设点(),P x y ，计算
12PF PF ⋅可得范围；
（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)代入椭圆方程得
()2
222214220k
x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得段线AB 的中点M 的
坐标12
2
M x x x +=，然后计算OM l k k ⋅可得定值． 【详解】
解：（1）因为焦距22c =，则1c =，所以左焦点()11,0F -，右焦点()21
,0F
则122a QF QF =+==
所以a =
2
2
2,1a b ==，所以椭圆方程为22
12
x y +=.
设点(),P x y ，则()22
2
2
2
12=(1,)1,11122
x x PF PF x y x y x y x ⋅---⋅--=-+=-+-=
因为[x ∈，所以12PF PF ⋅的取值范围为：[0,1] （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)
联立()()22
1210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩
消去y 得()2222
214220k x k x k +-+-=
其中：2210k +>，0∆>，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为线段AB 的中点 则2
1
2
2
421
k x x k ， 所以2
1222221
M x x k x k +==+，()2
121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k -==所以1122
OM l k k k k -⨯=
⨯=-为定值. 【点睛】
方法点睛：直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点
()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程(1)y k x =-，直线方程与椭圆方程联立方程组并消元
后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM l k k ⨯中可化简得定值．。