实验一贝叶斯决策教材

实验一贝叶斯决策
一、 实验原理
1. 最小错误率贝叶斯决策规则：
对于两类问题，最小错误率贝叶斯决策有以下裁决规则：
P( 1 | x) P( 2 | x),则 x 1 ; 反之，则 x 2。

因为先验概率 P( i ）可以确立，与当前样本 x 没关，因此决策
规则也可整理成下边的形式：
若l (x) P( x | 1 ) P( 2 ) ，则 x
1 ,不然 x 。

P(x |
2 ) P( 1) 2
2. 均匀错误率
决策界限把 x 轴切割成两个地域，分别称为第一类和第二类的
决策地域 .样本在中但属于第二类的错误概率和样本在中但属
于第一类的错误概率就是出现错误的概率， 再考虑到样
本自己的分布后就是均匀错误率：
t P( 2 | x) p( x)dx P( 1 | x) p( x)dx
P(e)
t t
p( x | 2 ) P( 2 )dx p( x | 1 ) P( 1 )dx t
3. 此实验中的裁决门限和均匀错误率
（1）裁决门限
假设随机脉冲信号 f 中 0 的概率为 ,高斯噪声信号 n 服
从,信号叠加时的放大倍数为 a ，叠加后的信号为
s f * a n 。

由最小错误率贝叶斯决策可得：
P( 1 ) p( x | 1 )P( 2 ) p( x |2)
a2 2a2 2 (ln(1 p0 ) ln p0 )
化简计算得： t
2a
（2）均匀错误率
由上述积分式可计算。

二、实验内容
1、已知均值和方差，产生高斯噪声信号，计算其统计特征
实验中利用 MATLAB产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声信号，信号统计分布的程序和结果以下：
%产生高斯噪声并统计其特征
x=0;%均值为 0
y=1;%方差为 1
n=normrnd(x,y,[1 1000000]);%产生均值为 0，方差为 1 的高斯噪声
m1=mean(n);%高斯噪声的均值
v1=var(n); %高斯噪声的方差
figure(1)
plot(n(1:400)); title( '均值为 0，方差为 1 的高斯噪声 ');
figure(2)
hist(n,10000); title('高斯噪声的统计特征 ');
获得 m1=-4.6534e-005 ；v1= 0.9971 。

2.已知随机脉冲信号中0 和 1 的出现概率，产生该随机脉冲信号，分析其统计特征
实验中利用 MATLAB 产生随机脉冲信号，信号统计分布的特征程序及结果以下：
%随机脉冲信号及其统计特征
p=unidrnd(10000,1,1000000);%产生 1 到 100000 之间均匀分布的随机序
列 p0=0.4;
f=p>(p0*10000); %设置门限，此时0 的概率为 0.4,1 的概率为 0.6
m2=mean(f);
v2=var(f);
figure(3);
stairs(f(1:400));title('随机脉冲信号 ');
axis([0 400 -0.2 1.2]);
figure(4)
hist(f,-0.2:0.01:1.2);title( '随机脉冲序列的统计特征');
获得： m2=0.5995；
V2=0.2401。

3.在随机脉冲信号中叠加高斯噪声信号，在不一样的参数设置下解析其统计特征
用 MATLAB 将两个信号叠加，并解析其统计特征，详尽程序及结果以下：
%随机脉冲信号叠加高斯噪声信号及其统计特征
a=5;%取随机信号的幅度为 5
s=f*a+n;%对高斯噪声信号和随机脉冲序列进行叠加
m3=mean(s);%信号的均值
v3=var(s);%信号的方差
subplot(2,1,1);
stairs(s(1:400));%绘制部分叠加信号
title( '叠加后的信号 ');
subplot(2,1,2);
hist(s,1000)%绘图解析叠加后信号的统计特征
title( '叠加后信号的统计特征 ')
获得 m3=2.9994;v3= 6.9964;
4.依照最小错误概率贝叶斯决策原理，确立裁决门限，完成信号检测，计算两类错误率
设裁决门限为 t，均匀错误率为e，利用 MATLAB 计算 t 和 e，详尽程序和结果以下：
%确立裁决门限，完成信号检测，计算两类错误率
a=5;
p0=0.4;%第一类先验概率为0.4
t=(a^2 -2*v1*(log(1-p0)-log(p0)))/(2*a); %利用贝叶斯决策计算鉴别门限
s1=s>t;%履行裁决
e1=sum((f-s1)==-1)/(1000000*p0);%计算虚警率
e2=sum((f-s1)==1)/(1000000*(1-p0));%计算漏检率
e=e1*p0+e2*(1-p0);%计算均匀错误率
获得：裁决门限t=2.4189，均匀错误率 e=0.0060。

5.改变裁决门限，绘制ＲＯＣ曲线
在 MATLAB 中调用 ROC 函数，程序及绘制的曲线以下所示：
（1）利用贝叶斯最小错误概率绘制ROC 曲线
Smin=min(s);
Smax=max(s);
o=(s-Smin)/(Smax-Smin);%对 s 进行归一化办理
[tpr,fpr,thresholds]=roc(f,o);%调用 roc 函数
plotroc(f,o); %绘制 ROC 曲线
title('ROC 曲线 ')
（2）改变裁决门限，令 t=1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 2.8,获得的均匀错误概率分别为 e=0.0148,0.0099,0.0071, 0.0060,0.0068, 0.0068。

数据表示，贝叶斯决策均匀错误率理论上是最小错误概率。

6.改变随机脉冲信号与高斯噪声的参数，重复以上实验
（1）其余条件不变，改变高斯噪声的均值，取均值=2，方差 =1。

由上例获得：均值为1，方差为 2 时， t= 2.4188 ，e=0.1353。

当其余条件不变时，高斯白噪声均值裁决门限，从而决定均匀错误率。

由此可看出，高斯噪声的均值对最小错误率贝叶斯决策的裁决门限有
影响，均值越大，裁决门限越大，对均匀错误率影响越大。

(2)其余条件不变，改变高斯噪声的方差，分别取方差=0.5、2，用matlab 绘制ＲＯＣ曲线以以下图所示：
当方差 =0.5 时，裁决门限 t=2.4797 基本不变，均匀错误率 e 几乎凑近
于 0；当方差 =2 时，裁决门限 t=2.1760，变化不大，但均匀错误率
e=0.1028，显然大大增大。

由此可看出，高斯噪声的方差对最小错误
率贝叶斯决策的裁决门限影响较小，对均匀错误率的影响很大，方差越大，均匀错误率也越大。

（3）其余条件不变，改变随机脉冲中 01 的概率，分别取 P0=０.３，０.９获得的ＲＯＣ曲线以以下图所示：
P0=0.3 时：
此时，裁决门限t=2.3303, 均匀错误率 e=0.0056。

P0=0.9 时：
此时，裁决门限t=2.9401, 均匀错误率 e=0.0035。

先验概率对裁决门限和均匀错误率均有影响。

（４）其余条件不变，改变信号叠加时的放大倍数，分别取放大倍数获得的ＲＯＣ曲线以以下图所示：
当ａ =2 时，裁决门限变t=0.7969，均匀错误率 e=0.1539；当 a=8 时，裁决门限 t= 3.9492,均匀错误率 e= 3.7000e-005。

由此可看出，放大倍数对裁决门限和均匀错误率均有影响，且放大倍数越大，裁决门限越大，均匀错误率越小。

三、偏差解析
由实验原理中的均匀错误率积分式可得理论上的均匀错误率，下边
经过 matlab 计算理论上的均匀错误率。

程序和结果如所示：
%偏差解析
t=(-10000:0.01:2.42); %确立 t 的取值范围及步长
e1=trapz(x1).*t(2);%用乞降法求积分
e2=trapz(x2).*t(2);
e=e1+e2;
经过计算， e1=0.00312e2=0.00294 e=0.00606
在原条件下，均匀错误的理论值为0.00606，实验值为 0.0060；两者相差不大，但实验值比理论值略小，是因为实验过程中所取的点有限，不是无量多个点，即不包含全部第一类错误和第二类错误的点。