山东省郓城第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

山东省郓城第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数22
1,0
()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说
法中，正确的是（ ）
A ．当1k >，有1个零点
B ．当2k =-时，有3个零点
C ．当10k >>，有4个零点
D ．当4k =-时，有7个零点
【答案】ABD 【分析】
令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数
()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数2
1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2
k
x =
对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 只有一
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 有3个
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；
对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112
t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由
()1
2
f x =
可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正
确； 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．
2．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在
()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（
）
A ．01()12
f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202
个 【答案】AC 【分析】
由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23
π
ω=
，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】
由()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，
∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12
f x +=-，
002(1)()3
x x πωϕωϕω++-+==
， ∴()f x 的最小正周期为23T π
ω
=
=，故A 、C 正确，B 错误；
在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2
f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.
3．已知函数()2,0
21,0
x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）
A ．()f x 的值域为()1,-+∞
B ．当0a ≤时，()()
2
1f x f x >+
C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=
D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】
A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；
B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；
C ．作出
222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；
D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出
a 是否有解，并判断结论是否正确.
【详解】
A ．当0x >时，21011x
y -=->-=-，当0x ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，取2a =，此时()2
111y x =+-≥-，
所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；
B ．当0a ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在
(],0-∞上单调递减，
又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，
又因为2
2131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，所以21x x +>，所以()()
21f x f x >+，故B 正
确；
C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：
由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2
y x ax =-+与21x y -=-相
交于()00,x y ，
因为点()00,x y 在函数2
y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2
y x ax =+的图
象上，
所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，
所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；
D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()2
11,0x
y -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，
且22
,4a y x ax ⎡⎫=+∈-
+∞⎪⎢⎣⎭
，若方程有三个根，则有2
4a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，
所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】
思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.
4．设函数2,0
()1
2,0
2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩
，对关于x 的方程2
()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．
A
．当2b =-+1个实根 B ．当3
2
b =
时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则
17
210
b <≤ D ．若方程有6
个不等实根，则322
b -+<< 【答案】BD 【分析】
先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()
f x
函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】
函数()2
2,0,0()1
32,01,0
22x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪
==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩
，作图如下：
由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦，令()f x t =，则3,2
t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦
，则方程转化为2
20b bt t +-=-，即2
2
2()22204b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭
选项A 中，223b =-+时方程为(2
2234230t t -+-=+，即(2
3
10t +=，
故31t =，即131,12()f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A
错误； 选项B 中，32b =
，方程即2
31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12
t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1
()2
f x t ==
时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；
选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122
b
t t ==
，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或
10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2
204
b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123
,,02
t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2
220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭
，解得1710b =
，由123210t t b =-=，得(]21
,05
t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当
(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，
120t t b +=<，解得223t <-
-，故C 错误；
选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1,,122t t ⎛⎤⎛⎤
∈∈
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
且12t t ≠，2
2
2
()2422b b t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
+-=+-图象如下：
需满足：()2
193
024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪
=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪
⎪⎝⎭
⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】 关键点点睛：
本题解题关键在于对方程2
()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次
方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.
5．设函数ln(2),2
()1,2
x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，g （x ）＝x 2-（m ＋1）x ＋m 2-2，下列选项正确的有
（ ）
A ．当m ＞3时，f [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根
B ．当m ＝0时，g [g （x ）]＝m 有4个不相等的实根
C ．当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根
D ．当m ＝2时，g [f （x ）]＝m 有5个不相等的实根 【答案】BCD 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用函数()f x 的图象和函数()g x 的图象分析可解得结果.
【详解】
作出函数()f x 的图象：
令()f x t =，得[()]()f f x f t m ==；
当3m >时，()f x m =有两个根：31242e t t <->+，
，方程1()f x t =有1个根，方程2()f x t =有2个根，所以A 错误；
②当0m =时，2 ()2g x x x =--，[()]0g g x =，令()g x t =，
由()0g t =，得1221t t ==-，， 由2122t x x ==--12117117
x x -+⇒=
由22341515
12t x x x x -+=-=--⇒=
=所以B 正确； ③令()g x t =，()f t m =∴，因为01m <<，所以()f t m =有3个实根根123,,t t t ，
设123t t t <<，所以12311ln(2)t m t m t m --=+=-=，，
， 2
2
()(1)2g x x m x m =-++-221329()24m m m x +--=-+2329
4
m m --≥
， 221329329144m m m m t m -----=---2325
4
m m --+=
， 因为2325m m --+在(0,1)上递减，所以23253250m m --+>--+=， 所以2132504m m t --+->，所以21325
4
m m t --+>
， 即方程()f t m =的最小根1t 大于()g x 的最小值，
所以1()g x t =、2()g x t =、3()g x t =都有2个不等实根，且这6个实根互不相等， 所以当0＜m ＜1时，f [g （x ）]＝m 有6个不相等的实根，所以C 正确； ④令()f x t =，则()g t m =，
当2m =时，方程()2g t =化为230t t -=，得1230t t ==，；
当20()t f x ==，得121
3x x =-=，； 当13()t f x ==，得3442x x =-=，，
352e x =+符合题意，所以D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键.
6．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是
（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3
个实根，则1
42
k <<-
4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04=2k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
则k的取值范围为：1
422 2
k
<<-；
当0
k<时，当0
x>时，直线1
y kx
=+与函数()
f x有两个交点，
设直线1
y kx
=+与函数()
f x（0
x≤）相切于点
00
(,)
x y
''，
则0
2
000
44
124
k x
kx x x
=-'-
⎧
⎨
'+=-'-'
⎩
，解得
224
2
=
2
k
x
⎧=-
⎪
⎨
'-
⎪
⎩
综上，方程()1
f x kx
=+有3个实根，
则
1
422
2
k
<<-或224
k=-,故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
7．下列选项中a的范围能使得关于x的不等式220
x x a
+--<至少有一个负数解的是（）
A．
9
,0
4
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
B．()
2,3C．1,2D．0,1
【答案】ACD
【分析】
将不等式变形为2
2
x a x
-<-，作出函数2
,2
y x a y x
=-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a的取值范围.
【详解】
因为220
x x a
+--<，所以2
2
x a x
-<-且2
20
x，
在同一坐标系中作出2
,2
y x a y x
=-=-的图象如下图：
当y x a =-与2
2y x =-在y 轴左侧相切时，
22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以9
4
a =-，
将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.
8．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．1212
()()f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知
111222lg lg 22x x x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭，又()()
()22121211lg lg lg lg 222
f x f x x x x x x x +===+，则
()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
121lg lg lg 2
x x x x =+，利用对数的运算结
合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
二、导数及其应用多选题
9．已知()2
sin x f x x x π
=-
-.（ ）
A ．()f x 的零点个数为4
B ．()f x 的极值点个数为3
C ．x 轴为曲线()y f x =的切线
D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=
【答案】BC 【分析】
首先根据()0f x '=得到21cos x
x π
-
=，分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，从而得
到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
()21cos x
f x x π
'=-
-，令()0f x '=，得到21cos x
x π
-=.
分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，如图所示：
由图知：21cos x
x π
-
=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，
2
π，π.
所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
->，()f x 为增函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，
(),x π∈+∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
-<，()f x 为减函数.
所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2
x π=时，()f x 取得极小值为
14
π
-，
当x π=时，()f x 取得极大值为0，
所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202
x x π
<<<，且()()12f x f x =，
显然122
x x π
+<，故D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.
10．设函数()ln x
f x x
=
，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ） A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减 B ．不等关系33e e ππππ<<<成立
C ．若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥
D ．若函数()()2
h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈
【答案】AC 【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()2
2s x g x ax
=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项
的正误；分析出方程1ln 2x
m x
+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()ln x f x x =
的定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x
-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.
所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln x
f x x
=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即
ln ln 44π
π
>
，又
ln 41ln 213ln 22
043236
--=-=>， 所以，
ln ln 41
43
π
π
>
>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()
()()22
212122a x x g x g x ->-恒成立，
可得()()2
2
112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2
2
22ln s x g x ax x x ax =-=-，
则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，
()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，
即1ln x
a x
+≥
对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=
，其中0x >，()2ln x
t x x
'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '
<，此时函数()t x 单调递减.
所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2
2
ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，
由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2x
m x
+=
， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1
x e
>
时，()0t x >，如下图所示：
当021m <<时，即当1
02
m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.
所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。