江西高二高中数学期中考试带答案解析

江西高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.复数（）
A．B．C．D．
2.下列命题是真命题的为（）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
3.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个奇数”的反设为（）
A．都是奇数
B．都是偶数
C．中至少有两个奇数
D．中至少有两个奇数或都是偶数
4.已知函数，则的值为( )
A．B．C．D． 0 5.已知是实数且，则“且”是“方程有两正根” 的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6.直线与曲线相切，则b的值为（）
A．B．1C．D．-1
7.曲线在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A．B．1C．2D．3
8.已知函数有两个不同的零点，且有一个零点恰为的极大值点，则的值为（）A．0B．2C．-2D．-2或2
9.下列四个说法：
①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底．
②空间的任意两个向量都是共面向量．
③若两条不同直线的方向向量分别是，则∥∥．
④若两个不同平面的法向量分别是且，则∥．
其中正确的说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
10.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为（）
A．B．
C．D．
11.若函数在区间上的值域为，则的值是（）
A．0B． 1C． 2D． 4
二、填空题
1.“”为假命题，则 .
2.____________.
3.已知直线的方向向量分别是，，若，则实数的值是_____________.
4.如图，已知三棱柱中，是棱上一点，且设用,,表示向量，则=_____________.
三、解答题
1.已知命题：方程有实根，命题：－1≤≤5．
若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
2.设函数在及时取得极值．
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程．
3.（1）已知a,b都是正数，求证：.
（2）已知，证明：．
4.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，点分别为的中点，若
．
（1）求证：∥平面．
（2）求直线与平面所成的角．
5.数列中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.
6.已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，如果对任意，均存在，使得成立，求实数a的取值范围．
江西高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.复数（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【考点】复数运算
2.下列命题是真命题的为（）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【答案】C
【解析】A中错误，如；B中错误，应为；C中正确；D中错误，如时
【考点】命题真假的判定
3.用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数中恰有一个奇数”的反设为（）
A．都是奇数
B．都是偶数
C．中至少有两个奇数
D．中至少有两个奇数或都是偶数
【答案】D
【解析】反证法证明时需假设所要证明的结论的反面成立，本题中需假设：中至少有两个奇数或都是偶数【考点】反证法
4.已知函数，则的值为( )
A．B．C．D． 0
【答案】A
【解析】
【考点】导数的定义与函数求导数
5.已知是实数且，则“且”是“方程有两正根” 的 ( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由方程有两正根可知，因此可得且，所以“且”
是“方程有两正根” 的必要而不充分条件
【考点】充分条件与必要条件
6.直线与曲线相切，则b的值为（）
A．B．1C．D．-1
【答案】D
【解析】设切点为，，由题意可得，解方程组可得
【考点】导数的几何意义
7.曲线在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A．B．1C．2D．3
【解析】时，直线方程为，与两坐标轴交点为，所以三角形面积为
【考点】导数的几何意义及直线方程
8.已知函数有两个不同的零点，且有一个零点恰为的极大值点，则的值为（）
A．0B．2C．-2D．-2或2
【答案】C
【解析】：∵，∴，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．
要使函数只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，
∵有一个零点恰为f（x）的极大值点，
∴必有f（-1）=-1+3+a=c+2=0，解得c=-2
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理
9.下列四个说法：
①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底．
②空间的任意两个向量都是共面向量．
③若两条不同直线的方向向量分别是，则∥∥．
④若两个不同平面的法向量分别是且，则∥．
其中正确的说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】：①若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底，正确．
②空间的任意两个向量都是共面向量，正确．
③若两条不同直线l，m的方向向量分别是，则∥∥，正确．
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，∵，则∥．
其中正确的说法的个数是4
【考点】空间向量的概念
10.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，，
∴∴函数在（-∞，0）上是减函数，
∵∴
∴x+2014＜-2，∴x＜-2016，∴不等式的解集为（-∞，-2016）．
【考点】导数的运算及函数性质
11.若函数在区间上的值域为，则的值是（）
A．0B． 1C． 2D． 4
【解析】记，∴
∴．∴函数g（x）在奇函数，∴函数g（x）的图象关于原点对称，
∴函数g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最大值记为a，（a＞0），
则g（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的最小值为-a，
∴-a≤+sinx-1≤a，∴-a+2≤+sinx+1≤a+2，∴-a+2≤f（x）≤a+2，
∵函数在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，∴m=-a+2，n=a+2，∴m+n=4．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法
二、填空题
1.“”为假命题，则 .
【答案】
【解析】由已知可知其否命题为真命题，即恒成立，当时不等式成立；当时需满足，代入得，综上可知
【考点】特称命题与二次函数性质
2.____________.
【答案】
【解析】
【考点】定积分计算
3.已知直线的方向向量分别是，，若，则实数的值是_____________.
【答案】1
【解析】由两直线垂直可知
【考点】直线垂直的判定
4.如图，已知三棱柱中，是棱上一点，且设用,,表示向量，则=_____________.
【答案】
【解析】
【考点】平面向量基本定理
三、解答题
1.已知命题：方程有实根，命题：－1≤≤5．
若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】求出p为真时的m的范围，结合p∧q为假命题，p∨q为真命题，通过讨论p，q的真假，得到关于m 的不等式组，解出即可
试题解析：p为真命题
p∧q为假命题， p∨q为真命题，一真一假
当p真q假时，
当p假q真时，
综上所述，实数m的取值范围是：
【考点】复合命题的真假
2.设函数在及时取得极值．
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由已知得，函数在x=1及x=2时取得极值，可得，由此能求出a，b的值；（2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线在x=0处的切线
方程
试题解析：（1）∵∴
又∵在及时取得极值
∴∴
解得，．
（2）由（1）得，，
∴，．∴切线的斜率．切点为（0，8）
由直线方程的点斜式得切线方程为：，即．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值
3.（1）已知a,b都是正数，求证：.
（2）已知，证明：．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】（1）运用作差比较法，通过因式分解法，判断符号，即可得证；（2）运用分析法证明．要证原不等式成立，通过两边平方，化简整理，再由基本不等式即可得证
试题解析：
（2）要证
只要证
即要证
即要证
即要证
因为，所以-
所以．
【考点】不等式证明
4.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，点分别为的中点，若
．
（1）求证：∥平面．
（2）求直线与平面所成的角．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】结合已知条件可知此题采用空间向量求解比较容易，（1）中证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）中求线面角可首先求得直线的方向向量与平面的法向量的夹角，进而得到线面所成角
试题解析：（1）依题意，以A为原点，分别以所在
直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则
平面PAB的一个法向量是
故∥平面
（2）
设平面PCD的一个法向量为
由得
，令，得
而
且，
所以EF与平面PCD所成的角是90°－60°=30°
【考点】线面平行的判定；直线与平面所成角
5.数列中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（1）由．我们依次将n=1，2，3，4…代入，可以求出；（2）观察（1）
的结论，我们可以推断出的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时是否成立，然后假设当n=k 时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n 都成立 试题解析：（Ⅰ）∵，∴
，即a 1＝1
∵，即a 1＋a 2＝4―a 2―1，∴a 2＝1， ∵，即a 1＋a 2＋a 3＝4―a 3―
，∴a 3＝，
∵
，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4―a 4―，∴a 4＝，
（Ⅱ）猜想
证明如下：①当n ＝1时，a 1＝1，此时结论成立； ②假设当n ＝k （k ∈N *）结论成立，即，
那么当n ＝k ＋1时，有
,这就是说n ＝k ＋1时结论也成立. 综上所述，对任何n ∈N *时.
【考点】数列的求和；数学归纳法
6.已知函数．
（1）当时，求函数
的单调区间； （2）设，如果对任意
，均存在，使得成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为，
，单调递减区间为
（2）
【解析】（1）将
代入原函数，通过函数导数的正负得到函数的增减区间；（2）由已知，在（0，2]上有，从而求导确定函数的最值，从而由最值确定a 的取值范围
试题解析：（1）， 所以
， 其单调递增区间为
，
，单调递减区间为
． （2）若要命题成立，只需当时，．
由
可知，当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
，故，
所以只需． 对函数
来说，
．
当≤0时，由，，函数在区间上单调递增，
，故≤0 当≤2时，
，由，
，故
，
函数在区间上单调递增，
，
故≤2满足题意 当
时，
，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
．
若时，显然小于，满足题意；
若时，可令，，
可知该函数在时单调递减，
，满足题意，所以满足题意．
综上所述：实数a的取值范围是
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。