高三数学 提高题专题复习等差数列多选题专项训练练习题含答案

高三数学 提高题专题复习等差数列多选题专项训练练习题含答案
一、等差数列多选题
1．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n
a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）
A ．2-
B ．
2
3 C ．
32
D ．3
解析：BD 【分析】
根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】
因为数列{}n a 满足112
a =-，11
1n n a a +=-，
2121
31()
2
a ∴=
=--；
32
1
31a a =
=-； 41311
12
a a a =
=-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-
，2
3
，3； 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
解析：AC 【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，
∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧
=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n
n n S n +-==
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．下列命题正确的是（ ）
A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111
,,a b c
可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 解析：BCD 【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；
C 选项：1a b c ===时，
111
1a b c
===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以
11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；
故选：BCD 【点睛】
本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.
4．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．170S <
解析：ABD 【分析】
结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案. 【详解】
由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确； 由56S S <，可得6560S S a -=>， 由78S S >，可得8780S S a -=<，
所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确； 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <， 所以()
117179171702
a a S a +=
=<，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及
()
12
n n n a a S +=
，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 5．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）
A ．1d =-
B ．413a a =
C ．n S 的最大值为8S
D ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得12
15
d a =-⎧⎨=⎩，再逐
项判断即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意，11154111051122
15
a d a d a ⨯⨯⎧
+
=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2
211168642
n n n a n d n n n S -=+
=-+=--+，
所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()2
8640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.
6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n
a n
C ．2
28n S n n =- D ．2
4n S n n =-
解析：AD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得11
45
460a d a d +=⎧⎨
+=⎩，进而得13,2a d =-=，故
25n a n =-，24n S n n =-.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==
所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：11
45
460a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解方程组得：13,2a d =-=，
所以()31225n a n n =-+-⨯=-，2
4n S n n =-.
故选：AD.
7．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S += B ．27S S =
C ．5S 最小
D ．50a =
解析：BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则81187
88282
S a d a d ⨯=+
=+，91198
99362
S a d a d ⨯=+
=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，
解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()21
9122
n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2
8
88942
d S d -⨯=
=-，A 选项错误； 对于B 选项，()2
2
29272
d S
d -⨯=
=-，()2
7
79772
d S
d -⨯=
=-，B 选项正确；
对于C 选项，()2
298192224n d d S n n n ⎡⎤
⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.
8．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
9．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 解析：ABC
【分析】
由2
n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c
时，{}n a 是等差数列， 0
0a c b ==⎧⎨
≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54
C ．S 2020＝a 2022－1
D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋
a 2021＝a 2022 解析：BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递
推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 11．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)n n
F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
解析：BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪
+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
11515()n F F n n -
+=++， 令
1
12n
n n F b -=
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，则11n n b +=
+，
所以1n n b b +=-，
所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭
以
510-
3
2-为公比的等比数列，
所以1
n n b -+， 所以(
)11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
12．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2 B ．5
C ．3
D ．4
解析：BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112
111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
2
1
n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 解析：ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+
n 递减，且1
223n
<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 14．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）
A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1
C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021
D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
解析：ABD 【分析】
对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】
由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n
－1
2
＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋
(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；
由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题15．题
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17．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)
2
1212n n a a -=
+-，则关于数列
{}n a 的说法正确的是 （ ）
A ．27a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．221n a n n =+-
D ．数列{}n a 为周期数列
解析：ABC
【分析】
由)2
12n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.
【详解】
当2n ≥时，由)212n a =
-，
得)221n a +=，
1=，又12a =，
所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
即221n a n n =+-，故C 正确；
所以27a =，故A 正确；
()2
12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；
故选：ABC
18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ）
A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a > 解析：ABC
【分析】
因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()
()
118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；
对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <， 所以614a a <，故选项D 不正确，
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.
19．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）
A ．数列{}n a 的公差d <0
B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C ．S 10>0
D ．S 11>0 解析：AC
【分析】
由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案
【详解】
解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，
所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102
a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误，
故选：AC
20．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．68S a =
B ．733S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=
解析：BCD
【分析】
根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．
【详解】
对A ，821a =，620S =，故A 不正确；
对B ，761333S S =+=，故B 正确；
对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；
对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，
()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，
故2222123202020202021a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.。