湖北省长阳县第一高级中学高一数学上学期期中试题

长阳一中2015-2016学年度第一学期期中考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则C U (A ∪B ) = ( )
A ．{}134，，
B ．{}34，
C ． {}3
D ． {}4
2. 设α角属于第二象限，且2
cos
2
cos
α
α
-=，则
2
α
角属于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D/ 第四象限
3、下列各组中两个函数是同一函数的是（ ） A ．4444
)()()(x x g x x f ==
B ．33)()(x x g x
x f ==
C.x
e x
f ln )(=与x
e
x g ln )(=
D ．2)(2
4
)(2-=+-=
x x g x x x f 4．三个数 a=0.67
,b=70.6
,c=log 0.76
错误!未找到引用源。

的大小关系为( )
A ． b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
5．函数12
log (32)y x =
-的定义域是（ ）
A ．[)1,+∞
B ．2(,)3+∞
C ．2[,1]3
D ．2(,1]3
6.如图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )
A.①13
y x = ②2
y x = ③12
y x = ④1
y x -= B.①13y x = ②12
y x = ③2
y x = ④
1y x -=
C.①2
y x = ②3
y x = ③12
y x = ④1y x -= D.①3y x = ②2
y x = ③12
y x = ④
1y x -=
7. 已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2
()()221f x g x x x +=-+，则(1)f -=（ ）
A ．3
B ．3-
C ．2
D ．2-
8. 下列函数中值域是),0(+∞的是（ ）
A ．232++=x x y
B ．21
2+
+=x x y
C ．||1x y =
D ．12+=x y
9.函数
()43x f x e x =+-的零点所在的大致区间是（ ）
A （-
1
4
,0） B （0,
14） C （14,12） D （12,34
）
10. 若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集是 ( )
A ．(0,100)
B ．1(,100)100
C ．1(,+)100∞
D ．1(0)100
，∪(100，＋∞)
11. 若函数()x
x
f x ka a
-=-（a ＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，
则函数g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 已知函数2
1(0)
()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ． 2
D ．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2
2cm ，则扇形的中心角的弧度数是
14.
已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2
+=，
则函数R x x f ∈),(的解析式为f(x)= ．
15.若角⎪⎭⎫
⎝
⎛-
-∈2,ππα，则
α
α
ααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = 16. 已知()()
212
log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是
_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
（1）. 计算：221
3
log lg14
81
2
lg
1)27100
-
⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
(2). 已知角α顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在函数3(0)y x x =-≤的图像上．
求
α
αα
αcos 5sin 3cos 2sin 4+-的值；
18. （本题满分12分）
已知函数x x y -•+=
52的定义域为集合Q,集合}321|{+≤≤+=a x a x P 。

（1）若3a =，求()R C P Q I ；
（2）若P Q Q =U ，求实数a 的取值范围。

19. （本题满分12分）
已知函数432)(2
+++=m mx x x f ，
（1）m 为何值时，()f x 有两个零点且均比－1大；
(2)求()f x 在[0,2]上的最大值()g m ．
20. （本题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数()v x 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)
()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．
21. （本题满分12分） 已知2
1()log 1x
f x x
+=- （1）判断()f x 奇偶性并证明；
（2）判断()f x 单调性并用单调性定义证明； （3）若11
(
)()033
f f x +-<-，求实数x 的取值范围．
22. （本题满分12分）
已知函数2
()21(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，有最小值1， 设()
()g x f x x
=
. （1）求,a b 的值；
（2）不等式(2)20x x
f k -⋅≥在[1,1]x ∈-时恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若方程2(|21|)(3)0|21|
x
x f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.
高一数学期中考试参考答案
一、 BCBCD,DACCD,CA
二、 13. 1或4, 14. {
222(0)2(0)
()x x x x x x f x +≤-+>= 15. 2tg α- 16. 44a -<≤
三、17. （1）原式21219
()21134344
-=
--+=--=-……………………. 5分 （2）由三角函数的定义得：3tg α=- 原式=4235tg tg αα-+=7
2
…………………….10分
18.
.
（2）P Q Q =U P Q ⇔⊆当φ=P 时，即132+<+a a ，得2-<a ，此时有P Q =∅⊆；………….7分
当
φ
≠P 时，由P Q ⊆得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧+≤+≤+-≥+32153221a a a a 解得
12≤≤-a ………………………………………………………10分
综
上有实数a 的取值范围是
1≤a ………………………………………………………………………………………………………………12分
19. (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ>0，－m >－1，
f －1>0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.
20.（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =； 当20200x ≤≤时，()v x ax b =+．
再由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),20200.3x v x x x ≤<⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3
x x f x x x x ≤<⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=； 当20200x ≤≤时，211(200)10000
()(200)[]3323
x x f x x x +-=
-≤=
， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．
所以，当100x =时，()f x 在区间[20,200]上取得最大值
10000
3． 综上，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值10000
33333
≈，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333辆/小时．
21.（1）
10111x
x x
+>∴-<<∴-定义域为(1,1)-，关于原点对称 ………………2分 12
22111()log log ()log ()111x x x
f x f x x x x
--++-===-=-+-- ∴()f x 为(1,1)-上的奇函
数 ……………...4分 设1211x x -<<< 则12122
212
11()()log log 11x x f x f x x x ++-=---12212(1)(1)
log (1)(1)x x x x +-=-+
又1211x x -<<<121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x ∴+---+=-< 即12120(1)(1)(1)(1)x x x x <+-<-+1212(1)(1)
01(1)(1)
x x x x +-∴<
<-+
12212(1)(1)
log 0(1)(1)
x x x x +-∴<-+12()()f x f x ∴<()f x ∴在(1,1)-上单调递增 (8)
分
（3）Q ()f x 为(1,1)-上的奇函数 ∴111()()()333
f f f x <--=- 又()f x 在(1,1)-上单调递增∴ 11
133
x -<<- 2x ∴<或6x > ………12分
22. 解：（1）由条件得，0(2)11(3)9614a g b g a a b >⎧⎪=+=⎨⎪=-++=⎩或0(2)14(3)9611a g b g a a b <⎧⎪
=+=⎨⎪=-++=⎩
解得：1,0a b ==或1,3a b =-=（舍去） ………3分
（2）2
()21g x x x =-+，∴221
()x x f x x
-+=
令2x
t =，∵[1,1]x ∈-，∴1[,2]2
t ∈
不等式(2)20x x
f k -⋅≥可化为：
2210t t k t t
-+-⋅≥ 问题等价于
2210t t k t t -+-⋅≥在1
[,2]2
t ∈时恒成立；
即：211()21k t t ≤-⋅+在1[,2]2t ∈时恒成立，而此时11[,2]2
t ∈
所以0k ≤
…………………8分
注：用二次函数2
(1)210k t t --+≥讨论不解，相应给分。

（3）令|21|x
m =-，则方程2
(|21|)(
3)0|21|
x
x
f k -+-=-有三个不同的实数解 ⇔关于m 的方程2
()(3)0f m k m
+-=有两个不等的根，其中一个根大于
1，另一根
大于0且小于1；
…………………13分
2
()(3)0f m k m
+-=可化为：
2212(3)0m m k m m -++-= 化简得：2
(23)10m k m -++=，它的两根分别介于(0,1)和(1,)+∞ 只要2
1(23)110k -+⋅+<，
∴0k >为所求的范围.
…………………12分。