2020版高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第4讲函数及其表示课时达标理(含解析)新人教A版

第4讲 函数及其表示
课时达标
一、选择题
1．函数y ＝ln(x 2
－x )＋4－2x
的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)
D ．(－∞，2)
B 解析 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x >0，
4－2x
≥0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <0或x >1，
x ≤2⇒x ∈(－∞，0)∪(1,2]．故选B ．
2．(2019·广州模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )
A ．2
1＋x B ．21＋x 2 C ．1－x 2
1＋x
2 D ．1－x 1＋x
A 解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，
即f (x )＝21＋x
.故选A ．
3．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos πx ，x ≤1，
f x －＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43的值为( )
A ．12
B ．－12
C ．－1
D ．1
D 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1π＋1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝1
2＋1－12＝1.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，x ≤0，
log 3x ，x >0，设a ＝log 12 3，则f (f (a ))＝( )
A ．1
2 B ．2 C ．3
D ．－2
A 解析 －1<a ＝log 12
3<0，则f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝1
2.
5．(2019·福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 019)＝ ( )
A ．0
B ．1
C ．2 019
D ．2 020
D 解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 019)＝2 020.
6．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ＞0，0，x ＝0，
－1，x ＜0，则( )
A ．|x |＝x |sgn x |
B ．|x |＝x sgn |x |
C ．|x |＝|x |sgn x
D ．|x |＝x sgn x
D 解析 当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C 项．故选D ．
二、填空题
7．若函数f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝
f
x －
x －
的定义域是________．
解析 因为y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，所以－1≤x ＋1≤4，即f (x )的定义域是[－1,4]，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤2x －1≤4x －1>0，
x －1≠1，
解得1<x <2或2<x ≤5
2
.
答案 (1,2)∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤2，52 8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
－1，x ≤0，x 1
2 ，x >0，
若f (a )>3，则a 的取值范围是________．
解析 由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤0，
2a
－1>3或⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，a 12 >3，
解得a >9.
答案 (9，＋∞)
9．(2019·常州中学月考)若函数y ＝ax ＋1
ax 2
＋2ax ＋3
的定义域为R ，则实数a 的取值范围
是________．
解析 因为函数y ＝
ax ＋1ax 2
＋2ax ＋3
的定义域为R ，所以ax 2
＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数
u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0
时，则Δ＝(2a )2
－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．
答案 [0,3)
三、解答题
10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋b ，x <0，
2x
，x ≥0，
且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．
解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨
⎪⎧
－2a ＋b ＝3，
－a ＋b ＝2，
解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x <0，
2x
，x ≥0.
(2)f (x )的图象如图所示．
11．(2019·巴蜀中学期中)已知f (x )＝x 2
－1，g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1，x ＞0，
2－x ，x ＜0.
(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．
解析 (1)由已知条件可得g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.
(2)当x ＞0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2
－1＝x 2
－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2
－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2
－1＝x 2
－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ＞0，
x 2
－4x ＋3，x ＜0.
当x ＞1或
x ＜－1时，f (x )＞0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g (f (x ))
＝2－f (x )＝3－x 2
.所以g (f (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2，x ＞1或x ＜－1，3－x 2
，－1＜x ＜1.
12．已知函数f (x )＝x 2
＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域．
解析 (1)因为f (x )＝x 2
＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)，所以n ＝1＋m ＋n ，m ＝－1，f (x )＝x
2
－x ＋n .因为方程x ＝f (x )有两个相等的实数根，所以方程x ＝x 2
－x ＋n 有两个相等的实数根，即方程x 2
－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(－2)2
－4n ＝0，所以n ＝1，所以
f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)由(1)知f (x )＝x 2
－x ＋1.此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，所以
当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12
＋1＝34，f (0)＝1，f (3)＝32
－3＋1＝7，
所以当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，7.
13．[选做题](2019·金陵中学期中)若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则(1)f
f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12＝________；
(2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12 019＝________.
解析 (1)因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0，
所以f x f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1(x ≠±1)，所以
f f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫12＝－1.
(2)因为f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝0，…，f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫12 019＝0，所以f (3)
＋f (4)＋…＋f (2 019)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12 019＝0.
答案 (1)－1 (2)0。