经典例题讲解——函数对称性与零点(老黄讲数学)
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。
在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。
一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。
对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。
通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。
这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。
下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。
二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。
我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。
这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。
接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。
对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。
我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。
通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。
这在计算机科学和数值计算中经常会用到。
四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。
对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。
对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。
对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。
五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。
考前送招，不看后悔：零点对称有妙解
考前送招，不看后悔：零点对称有妙解2017年全国卷考到了下面这道函数题.1命题人的意图全国卷的命题，要考虑到各省市的情况，所以命题比较稳定、可预测.拿小题来说，越靠后的题目会越难，这一点好理解.更重要的事情是，小题难题设置的目标，是考察学生灵活处理新问题的能力，并不是让你死算.要大算的地方有，但不是在这里，比如圆锥曲线综合题就承担了考察学生运算能力的任务.所以，小题要综合运用数形结合、特殊极限、选项比较等综合手段巧解巧算.2多思少算回到本题.观察所给函数的特点.不难看出，这个函数的图象关于x=1对称.既然函数图象关于x=1对称，那么函数的零点也必然关于x=1对称.也就是说，如果在x=1的左边有一个零点，那么在x=1的右边也应该有一个对称的零点.这样说来，零点的个数不应该是偶数个吗？为什么题目告诉我们，只有一个零点呢？稍加思考，我们恍然大悟：原来1就是函数的一个零点.所以f（1）=0，计算得a=½，选C.3故伎重演1：零点、交点的平均值2016年全国卷第12题：分析：由函数方程f（-x）=2-f（x），我们知道，f（x）的图象是关于（1,0）对称的.然后，我们画出y=（x+1）/x，发现它的图象也是关于（1,0）对称的.于是，它们的交点也关于（1,0）对称.故，交点的横坐标的平均值是1，纵坐标的平均值是0.4故伎重演2：反向利用零点对称2013年全国卷第16题.分析：函数f（x）有两个明显的零点：1和-1.因为函数图象关于x=-2对称，所以零点也关于x=-2对称.于是，我们轻松地找到了另外两个零点：-5和-3.这样，我们就能够秒写函数的解析式.求函数的最大值，我们当然可以求导.也可以不求导，还是利用式子的对称性，实现速解.经验证，取等条件可以取到.5今年考不考？大家看到了吗？这一类经典问题，反复考，从不同角度考，正反考，为什么是这样呢？当然，首先是因为，这个内容是函数的重点和热点.更重要的是，教育部考试中心有个专家库，每年从这些库里抽人出题，为保证命题的稳定性，通常每隔几年换一拨人.你可能问我：今年考不考这类的题目？我也不知道.谁知道这拨人换没换呢？准备一下总是有必要的.时间紧迫，如果你身边有参加高考的孩子，转发给他们看看.。
高中数学讲义：函数零点的性质问题
函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数()f x 的零点Þ方程()0f x =的根¾¾¾¾®方程变形方程()()g x h x =的根Þ函数()g x 与()h x 的交点2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值，3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x L ，将关于12,,x x L 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。
将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A.()+¥ B.)é+¥ë C.()3,+¥ D.[)3,+¥思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=ìï>í=ïî，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e -ì=-=ìïÞíí==ïîî，所以122t t a b e e+=+，而0te >，所以()123,t t e e+Î+¥答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。
说题：利用函数的对称性解决函数零点问题
1
数学思想
（1）转化划归思想 （2）函数与方程思想 （3）数形结合思想
数学方法——函数图象的对称性
（09年山东理16题）已知定义在R上的奇函数 f ( x 4 ) ，且在区间[0，2]上是增 f ( x) 满足 函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间 [-8，8]上有四个不同的根 x1, x 2 , x 3 , x 4 , 则 x1 x 2 x 3 x 4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
说试题立意
• 考查方程的根与零点
• 考查函数图象的对称
• 考查数形结合的思想 • 考查函数与方程的思想
《高中数学考试大纲》：结合二次函数的图
像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元
二次方程根的存在性及根的个数。
• 函数的零点与方程根 课本：必修一P88 例1 求函数 f ( x ) ln x 2 x 6 的零点个数
函数 f ( x ) x 2 x , 3
2
,若函 g (x) m
数f(x)与g(x)有两个交点 x 1、x ,求m的取值 2
范围及 x 1 x 2的值
• 解析：y 1 x 的对称中心是（1,0）也是 y 2 sin x ( 2 x的中心，他们的图像在x=1的左侧 4) 有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。不妨把他们 x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 的横坐标由小到大设为 ，则 x 所以选D1 x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5 2
利用函数的对称性解决函数零点问题
周述斌
• 2011年全国高考ຫໍສະໝຸດ 学新课标卷第12题 函数y 1 x 1
零点的判定典例精讲
零点的判定典例精讲例1：函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()020f =-<11232022f ⎛⎫=+⋅-=< ⎪⎝⎭()12310f e e =+-=->()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,e D.(),e +∞思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
1x →时，()ln 1x -→-∞，从而()f x ⇒-∞，313ln 0222f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =答案：A例3：已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（）A.()()120,0f x f x <<B.()()120,0f x f x <>C.()()120,0f x f x >< D.()()120,0f x f x >>思路：条件给出了()f x 的零点，且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数，所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>=答案：B例4：已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n =________思路：由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数，所以0x 是唯一的零点。
透视高考中“函数零点”问题
（x-1）x2- k x2＝x2（x- k+２ ）.
２
２
取 x0＝k+1， 则 f（x0）＞0. 又 k+1＞k-1＞lnk（k＞1）， 此时函数 f（x）在（lnk，x0）内只有一个零点.
综上所述， 当 k＞0 时， 函数 f（x）＝（x-1）ex- k x2 在 R 上只 ２
（Ⅱ）
当
x∈[
仔 4
，
仔 2
]
时，
证明：
f（x）+g（x）（
仔 2
-x）≥0；
（Ⅲ）
设
xn
为函数
u（x）＝f（x）-1在区间（2n仔+
仔 4
，
2n仔+
仔 2
）
内的零点，
其中 n∈N. 证明：
2n仔+
仔 2
-xn＜
e-2n仔 sinx0-cosx0
.
解析：
（Ⅰ）
易得 f（x）的单调递增区间是
[2k仔-
零点是-3， 3， 符合条件. 此时 f ′（x）=3（x+3）（x-1）， f（x）的极
小值是 f（1）=-32.
当 b＝1，
2a+b 3
＝-3
时，
a＝-5，
不合题意. 当 b＝1，
2a+b 3
＝3
时， a＝4 不合题意.
当
b＝3，
2a+b 3
＝1
时，
a＝0，
不合题意.
当
b＝-3，
2a+b 3
＝3时，
高考数学复习压轴题专题讲解05 与函数的对称性相关的零点问题
【解析】由圆方程 ，可得 ，圆心坐标为(−3, 2)
，其对称中心为(−3, 2).
在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示：
数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3, 2)对称，
故可得其交点A和C，B和D都关于点M(−3, 2)对称.
6.【答案】B
【分析】该题设计抽象函数 关于点 成中心对称，函数 由奇函数 向上平移一个单位得到，也关于点 成中心对称，因而两函数图象的交点为也关于点 成中心对称， ，考虑倒序相加法，可得 ， ，故 .
7.【答案】2020
【提示】两边取自然对数得
设 ，则易得其为 上的单增奇函数
所以 ，
故 .
8.【答案】
设 ，显然 关于直线 对称，顶点为 .
若 ，则函数 关于直线 对称，且在 上是减函数，在 上是增函数，最大值为 ， .
若 的图象与 的图象有一个公共点A，根据对称性必有另一个公共点B.所以， 不合题意；
若 ，函数 关于直线 对称，且在 上是增函数，在 上是减函数，最小值为 .若 的图象与 的图象只有一个公共点，必有 ，得 .
故 ，
所以 .
9.【答案】 或
10.【答案】A
点评：
f(0)＝0仅是函数存在零点的必要条件，要注意检验充分性，一般是代入检验进行取舍.
【巩固训练】
1.已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx－ax，若函数f(x)恰有5个零点，则实数a的取值范围是.
2.若函数 的零点有且只有一个，则实数 .
3.若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．
函数专题：利用函数对称性看函数零点问题
导数专题从图象的对称性入手解决两函数图象交点问题在函数的零点问题中，有一类题型依附于函数的对称性命题，通过函数图象的对称性分析得到函数零点（图象交点）的对称性，从而求得零点个数（零点之和）等。
【2011课标卷12题】函数11 yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【答案】D【解析】如图函数和的对称中心均是（1,0）它们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。
不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以和为8.【题后反思】该题需要从以下几个方面突破难点：（1）分式函数的对称中心会求么?（2）两图象交点中的特殊点能把握么？（3）能否意识到图象交点的对称性？【2016理数全国Ⅱ卷12题】已知函数()()f x x R∈满足()2()f x f x-=-,若函数1xyx+=与()y f x=的图象的交点为11(,)x y,22(,)x y,…, (,)m mx y,则1()mi iix y=+∑等于( )11yx=-2sin(24)y x xπ=-≤≤1,2345678,,,,,,x x x x x x x x182736452x x x x x x x x+=+=+=+=A.0B. mC. 2mD. 4m【答案】B 【解析】由()()2f x f x -=-,知函数() f x 的图像关于点()0,1对称, 而函数111x y x x+==+的图像也关于点()0,1对称, 因此函数1x y x +=与函数()y f x =图象的交点成对出现, 且关于()0,1对称,则110,m m i i i i x y m ====∑∑,所以()1mi i i x y m =+=∑.【题后反思】在该题中，特别要注意抽象函数所体现出的对称性，充分结合两个函数的公共对称中心解题。
【模考题】在平面直角坐标系xOy 中，如果相异两点),(),,(b a B b a A --都在函数)(x f y =的函数图象上，那么称B A ,为函数)(x f 图象上的一对关于原点对称的点对（B A ,与A B ,为同一点对）。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
关于原点对称的点的坐标(九上数学课件)老黄讲数学
例 (P68)如图，利用关于原点对称的点的坐标关系，
作出与△ABC关于原点对称的图形.
解：点P(x,y)关于原点的对称点P’(-x,-y),
因此△ABC的三个顶点
y
A(-4,1), B(-1,-1), C(-3,2)
C
关于原点的对称点分别为
A
B’
A’(4,-1), B’(1,1), C’(3,-2), 顺次连接A’B’C’， △A’B’C’就是所求.
O B
x
A’ C’
练习 (P69)1、下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A(-5,0), B(0,2), C(2,-1), D(2,0), E(0,5), F(-2,1), G(-2,-1).
(3)你能写出(x,y)关于原点对称的点的坐标吗？
探究 如图，在直角坐标系中，作出下列已知点
关于原点O的对称点，并写出它们的坐标. 这些坐
标与已知点的坐标有什么关系？
A(4,0), B(0,-3), C(2,1), D(-1,2), E(-3,-4).
如图，点A的对称点A’在横轴
y
的负半轴上，且OA’=OA. ∴A’(-4,0). 同理B’(0,3).
(1)(2,3)和(2,-3)关于__x_轴___对称，属于___轴___对称； (2)(2,3)和(-2,-3)关于_原__点__对称，属于_中__心___对称； (3)(2,3)和(-2,3)关于_y_轴___对称，属于___轴___对称； (4)(-3,-3)和(3,3)关于_原__点__对称，属于_中__心___对称.
3、如图，已知点A的坐标为( -2 ,2), 点B的坐标为
高考数学复习考点知识与结论专题讲解7 函数的对称性
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第7讲函数的对称性对称轴 : 0x =对称轴 : x a =对称轴 :每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的 0 ,两函数值相等,有()()f x f x =-. 因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上,所以若()()22,x f x 和()()11,x f x 两点关于x a =轴对称, ()()12f a x f a x +=-, 则两自变量满足122(x xa +=因为中点在对称轴上).通关二、中心对称对称中心:每个点绕着对称中心旋转180︒后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中间的0, 两函数值中点是0 ,有()()0f x f x +-=. 若将对称中心移到点(,)a b , 可同理,从a 出发,向左向右距离相等,使其自变对称,则它们对应的函数值的中点应为b , 所以()()2f a x f a x b ++-=.当自变量关于a 对称时, 函数值关于b 对称.通关三、常见对称性结论结论一、()()f a x f a x +=-型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线x a =对称. 【例1】如果函数2()f x x bx c =++对任意的实数x ,都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么（）A ．(0)(2)(2)f f f <<-B ．(0)(2)(2)f f f <-<C ．(2)(0)(2)f f f <<-D ．(2)(0)(2)f f f -<<【答案】A【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知函数()f x 图像的对称轴为12x =,且抛物线的开口向上,则1113150,2,2222222-=-=--=,根据到对称轴的距离远的函数值较大得(2)(2)(0)f f f ->>,故选A .【变式】若函数||()2()x a f x x -=∈R 满足(2)(2)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞上单调递增,则实数m 的最小值等于_______. 【答案】2【解析】由(2)(2)f x f x +=-得函数()f x 关于2x =对称,故2a =,则|2|()2x f x -=,由复合函数单调性得()f x 在[2,)+∞上递增,故2m …,所以实数m 的最小值等于2. 结论二、()()f a x f b x +=-型对函数(),()()y f x f a x f b x =+=-成立()y f x ⇔=的图像关于直线2a bx +=对称. 【例2】对于函数()f x ,若存在常数0a ≠,使得x 取定义域内的每一个值,都有()(2)f x f a x =-,则称()f x 为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是（）A ．()f x =B ．2()f x x =C ．()tan f x x =D ．()cos(1)f x x =+【答案】D【解析】由题意可得准偶函数的图像关于直线(0)x a a =≠对称,即准偶函数的图像存在不是y 轴的对称轴.选项,A C 中函数的图像不存在对称轴,选项B 中函数的图像的对称轴为y 轴,只有选项D 中的函数满足题意.故选D .【变式】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=-,则以下结论中正确的是（）A ．(0)(2)(5)f f f <-<B ．(2)(5)(0)f f f -<<C ．(2)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(5)(2)f f f <<-【答案】A【解析】若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=-,则2()f x x =+bx c +的对称轴为1x =且函数的开口方向向上,则函数在(1,)+∞上为增函数.又(0)f (2),(2)(4)f f f =-=,所以(2)(4)(5)f f f <<,即(0)(2)(5)f f f <-<.故选A . 结论三、()y f x a =+为偶函数型()y f x a =+为偶函数()y f x ⇔=的图像关于x a =对称.【例3】函数()y f x =在[0,2]上单调递增,且函数(2)f x +是偶函数,则下列结论成立的是（）A ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】函数(2)f x +是偶函数,则其图像关于y 轴对称,所以函数()y f x =的图像关于2x =对称,则5371,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又因为函数()y f x =在[0,2]上单调递增,则有13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C .【变式】已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数,且函数(8)y f x =+为偶函数,则（）A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】因为(8)y f x =+是偶函数,所以(8)(8)f x f x +=-+,即()y f x =关于直线8x =对称,所以(6)(10),(7)(9)f f f f ==.又因为()f x 在(8,)+∞为减函数,所以()f x 在(,8)-∞上为增函数,所以(6)(7)f f <,即(10)(7)f f <.故选D . 结论四、()()f a x f a x +=--型对函数(),()()y f x f a x f a x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称. 【例4】若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=,则()f x 的图像的对称中心为_______. 【答案】(1,0) 【解析】因为1112x x++-=,所以()f x 的对称中心为(1,0). 【变式已知函数()f x 当4x >时,()2013f x x =-,且(4)(4)0f x f x -++=恒成立,则当4x <时,()f x =____.【答案】2005x + 【解析】因为4442x x-++=,所以()f x 的对称中心为(4,0),所以(8)()0f x f x -+=,()(8)f x f x =--,当4x <时,则84x ->,所以(8)820132005f x x x -=--=--,所以()2005f x x =+.结论五、()()f a x f b x +=--型对函数(),()()y f x f a x f b x =+=--成立()y f x ⇔=的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例5】定义域在(,)-∞+∞上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=--,函数()f x 关于________对称. 【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为(1)()f x f x +=--,则由函数()y f x =的对称性结论得()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称.【变式】已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+,且函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增.如果122x x <<,且124x x +<,则()()12f x f x +的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】D【解析】由()(4)f x f x -=-+可得()f x 关于(2,0)中心对称,所以有(4)()f x f x -=-.代入1x 可得()()114f x f x -=-,从而()()()()21120f x f x f x f x <-⇒+<.故选D .结论六、()()f a x f b x c ++-=型对函数(),()()y f x f a x f b x c =++-=成立()y f x ⇔=的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭对称.【例6】已知()y f x =满足(1)(1)2f x f x ++-+=,则以下四个选项一定正确的是（）A ．(1)1f x -+是偶函数B ．(1)1f x -+-是奇函数C ．(1)1f x ++是偶函数D ．(1)1f x +-是奇函数【答案】D【解析】根据(1)(1)2f x f x ++-+=可得()y f x =的对称中心为(1,1),把()y f x =的图像向左并且向下平移1个单位之后即得奇函数(1)1f x +-的图像,所以(1)1f x +-是奇函数.故选D . 【变式】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ,则()m iiix y +=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】由()2()f x f x -=-,得()f x 关于(0,1)对称,而111x y x x+==+也关于(0,1)对称,所以对于每一组对称点0,2i i i i x x y y +'=+'=,所以()11mmmi i i ii i mi x y x y ===+=+∑∑∑022mm =+⋅=.故选B .结论七、()y f x a =+为奇函数型()y f x a =+为奇函数()y f x ⇔=的图像关于点(,0)a 对称.【例7】若函数(1)y f x =-是奇函数,那么函数()y f x =的图像关于________对称. 【答案】(1,0)-【解析】因为(1)y f x =-是奇函数,所以(1)y f x =-关于(0,0)对称,(1)y f x =-的图像向左平移1个单位即得()y f x =的图像,所以()y f x =的图像关于(1,0)-对称.【变式】已知函数(1)y f x =+是奇函数,当1x >时,2()41f x x x =-+,则当1x <时,()f x =________. 【答案】23x -+【解析】因为(1)y f x =+为奇函数,所以()y f x =关于(1,0)对称,即()(2)0f x f x +-=,所以()(2)f x f x =--.当1x <时,则21x ->,所以2(2)(2)4(2)1f x x x-=---+23x =-,所以2()3f x x =-+. 结论八、()ax bf x cx d+=+型 简单分式函数()(0,0)ax b f x c ax b cx d +=≠+≠+,由变量分离法得对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【例8】函数21()1x f x x -=+的对称中心是（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【答案】D 【解析】因为213()211x f x x x -==-++,所以函数21()1x f x x -=+的图像的对称中心的坐标为(1,2)-.故选D .【变式】函数()1x af x x a -=--的图像的对称中心是(4,1),则a =____.【答案】3【解析】因为111()1111x a x a f x x a x a x a ---+===+------,所以函数()f x 的图像的对称中心是(1,1)a +,由已知得14a +=,故3a =.结论九、含绝对值的函数对称性1.()||f x x a =-的图像关于直线x a =对称，且函数的最小值为0;2.()||||f x x a x b =-+-的图像关于直线2a bx +=对称，且函数的最小值为||b a -; 3.()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，且函数的值域为[||,||]a b a b ---,【例9】设函数()|1|||f x x x a =++-的图像关于直线1x =对称,则a 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A【解析】由题知()|1|||f x x x a =++-的对称轴为12a x -=,即112a -=,解得3a =.故选A . 【变式】设函数()||||f x x a xb =---的图像关于点(1,0)对称,且函数的最大值为2,则a =______. 【答案】12或0【解析】因为()||||f x x a x b =---的图像关于点,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以12a b +=.当a b >时,2a b -=,解得2a =;当a b <时,2b a -=,解得0a =.所以2a =或0a =.结论十、两个函数的对称性若函数()y f x =定义域为R ,则函数()y f a x =+与()y f b x =-两函数的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-可得).【例10】对任意的函数()y f x =在同一直角坐标系中,函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =--的图像恒（） A ．关于x 轴对称 B ．关于直线1x =对称C ．关于直线1x =-对称D ．关于y 轴对称【答案】C【解析】函数()y f x =与()y f x =-的图像关于y 轴即0x =对称,因为(1)y f x =+的图像是由函数()y f x =的图像向左平移一个单位得到的;函数(1)[(1)]y f x f x =--=-+是由函数()y f x =-的图像向左平移一个单位得到的,所以两个函数的对称轴也向左平移了一个单位,故所求的对称轴是1x =-.故选C .【变式】函数(2)y f x =+的图像与函数(4)y f x =-的图像的关系为( )A ．关于1x =对称B ．关于3x =对称C ．关于(1,0)对称D ．关于(3,0)对称【答案】A【解析】由题意可判断两个函数的图像关于直线对称,可设函数(2)y f x =+图像上的任意点(,)A x y ,该点关于直线x a =的对称点为(2,A a x y '-在(4)y f x =-的图像上,故(4(2))(42)y f a x f x a =--=+-,而(2)y f x =+,所以(42)(2)f x a f x +-=+对任意x ∈R 恒成立,所以422a -=,即1a =.故选A .结论十一、对称轴斜率为1或－11.(,)a b 关于y x =对称的点的坐标为(,)b a .2.(,)a b 关于y x =-对称的点的坐标为(,)b a --.【例11】已知函数2()()g x f x x =+是奇函数,当0x >时,函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称,则(1)(2)g g -+-=（）A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-【答案】C【解析】因为0x >时,()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y x =对称;所以0x >时()2x f x =;所以x >时,2()2x g x x =+.又()g x 是奇函数,所以(1)(g g -+-[(1)(2)](2g g =-+=-+++=-.故选C . 【变式】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称,且(2)(4)1f f -+-=,则a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点,它关于直线y x =-对称的点的坐标为(,)y x --,由题意知(,)y x --在函数42x y +=的图像上,所以2y a x -+-=,解得2l o g ()y x a =--+,即2()log ()f x x a =--+,所以2(2)(4)log 2f f a -+-=-+-2log 41a +=,解得2a =.故选C .结论十二、对称性与单调性结论1.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递减的,右侧区间是递增的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值小,即若1020x x x x -<-,则()()12f x f x <;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x -<-;2.如果函数()f x 在对称轴0x x =左侧区间是递增的,右侧区间是递减的,则自变量12,x x 谁距离对称轴0x x =近,谁的函数值大,即若1020x x x x -<-,则()1f x ()2f x >;反之,若()()12f x f x <,则1020x x x x ->-.【例12】已知函数()f x 的定义域为R ,且满足下列两个条件:①对任意的12,[4,8]x x ∈,当12x x <时,都有()()12120f x f x x x ->-;②(4)y f x =+是偶函数.若(6),a f =-(11),()b f c f π==,则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】D【解析】由条件①可以判断出()f x 在[4,8]上是增函数,由条件②可以判断出函数()f x 关于4x =对称,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.所以|64||114||4|,a b c π-->->->>.故选D . 【变式】已知定义在R 上的函数()f x 满足(32)(21)f x f x -=-,且()f x 在[1,)+∞上单调递增,则（）A ．()()()0.3 1.130.2log 0.54f f f << B ．()()()0.3 1.130.24log 0.5f f f << C ．()()()1.10.3340.2log 0.5f f f << D ．()()()0.3 1.13log 0.50.24f f f <<【答案】A【解析】根据题意可得,()f x 的图像关于直线1x =对称.所以()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以自变量距离对称轴越近,所对应的函数值越小.因为0.300.21,<<133 1.111log log 0.50,4443-=<<>=,所以0.31.131log 0.512,00.211,413<-<<-<->,所以1.10.3341l o g 0.510.21->->-.由题意可得()()0.330.2log 0.5f f <<()1.14f .故选A .。
有关函数对称的试题的解法
有关函数对称的试题的解法作者：谭忠新来源：《新课程·教育学术》2011年第03期函数的对称性不仅是函数的重要性质，而且是近年来高考的热点问题之一，本文对有函数对称的试题进行归纳总结，以提示这类问题求解的一般规律。
一、与函数的奇、偶性有关的对称问题这类试题一般利用奇、偶函数的定义及奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称的性质来解。
例1.定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在［0,+∞］的图像与f（x）的图像重合，设a>b>0，给出不等式：①f（b）-f（-a）>g（a）-g（-b）；②f（b）-f（-a）g（b）-g（-a）；④f（a）-f（-b）（）A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④解：根据奇、偶函数和增函数的定义，在题设下，4个不等式可化为：①f（b）>0；②f （b）0；④f（a）b>0，故f（a）>f（b）>f（0）=0，从而上述不等式中成立的是①和③，得答案为C。
例2.如果奇函数f（x）在［a，b］上是减函数，那么f（x）在［-b，-a］上是（）A.增函数B.减函数C.常函数D.上面A、B、C都不对解：应分三种情况讨论：①b>a>0；②a0，就第一种情况假设f（a）>f（b）>0，由奇函数关于原点对称有：f（-a）二、二次函数的对称性问题解决这类问题的关键是抓住对应抛物线的开口方向和对称轴。
例3.已知二次函数满足条件f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个不等实根，求两实根的和。
解：由f（3+x）=f（3-x）可知函数f（x）的对称轴为x=3，与轴x的两个交点x1，x2，也关于x=3对称，假设它们与x=3的距离均为a（a>0）。
则：x1+x2=（3+a）+（3-a）=6，所求两根之和为6。
三、三角函数的对称问题注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来讨论函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
函数周期性对称性零点
函数周期性、对称性、零点一、函数的周期性：对于函数()y f x =，如果存在大于零的常数，使得x 取定义域内的任意值时都有()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，T 叫做周期。
最小正周期：如果()y f x =是以T 为周期的函数，那么()kT k Z ∈也是()y f x =的周期，因而，周期函数会有无数多个周期，如果这些周期中存在最小的值，那么这个最小的周期就叫做最小正周期。
例1：已知对于定义域内的任意一个x 都有()()2f x f x +=，切当[)1,1x ∈-时，有()2f x x =，求()2014f ，()2013.5f周期函数的判定以及性质：1. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()f x T f x +=-，那么函数()f x 就是以2T 周期的函数。
2. 如果对于定义域内的任意x ，()f x 满足()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数就是以b a -为周期的函数。
二、函数的对称性：如果函数()f x 的定义域为M ，如果存在实数a ，使得对于任意的,a x a x M +-∈，都有()()f a x f a x +=-，那么()f x 是以x a =为对称轴的对称函数。
例2：已知二次函数()22f x x mx m =-++-满足()()11f x f x +=-，求函数()f x 的解析式。
函数对称性判定以及性质：1. 如果()f x 是以x a =为对称轴的对称函数，那么必有()()2f x f a x =-，同理如果函数()f x 满足()()2f x f a x =-，那么()f x 是以x a =为对称轴。
2. 如果函数满足()()f a x f b x +=-，那么函数()f x 一定是对称函数，对称轴为()()22a xb x a b x ++-+==。
例3：求证函数()y f x k =-关于x k =对称。
专题07零点问题(解析版)
专题07零点问题(解析版)函数的零点连接着函数,方程和图像,充分体现了函数与方程的关系,包含了数形结合的思想.在高考试卷中经常看到函数的零点问题,学生容易在此处失分.零点问题易错点易错点1：因＂望文生义＂而致误求函数的零点有两个方法,⑴代数法：求方程()0=x f 的实数根,⑵几何法：由公式不能直接求得,可以将它与函数的图象联系起来,函数的图象与x 轴交点的横坐标．即为所求．易错点2：因函数的图象不连续而致误对函数零点个数的判定,可以利用零点存在性定理来判定,涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即()()0<b f a f ,则在区间()b a ,内,函数()x f 至少有一个零点,即相应的方程()0=x f 在区间()b a ,至少有一个实数解．然而对于函数的()x f ,若满足()()0<b f a f ,则()x f 在区间[]b a ,内不一定有零点；反之,()x f 在区间[]b a ,内有零点也不一定有()()0<b f a f ．前者是因为图象不连续,后者是因为方程有重根．如下图所示：易错点3：因函数值同号而致误对有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号．如函数2)1(-=x y 有零点１,(如上图)但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续曲线,②在区间端点的函数值符号相反,即()()0<b f a f ．易错点4：因忽略区间端点而致误在求参数时,要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合,进行分类讨论使复杂的问题简单化．题组一：判断零点所在区间1. 函数3log )(3-+=x x f x零点所在大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【解析】因为函数3log )(3-+=x x f x的定义域为：0x ,函数是连续函数33322log 223log 0,3log 333103f f根据函数的零点判定定理,故选C.2.设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是( ) A. B. C. D.【解析】由函数零点的定义,知0f x不存在零点,,即方程4sin 210x x 在这个区()4sin(21)f x x x =+-()f x []4,2--[]2,0-[]0,2[]2,4间上无解.设4sin 21,y g x x y h x x ,则这两个函数图像在这个区间上无交点.做出4sin 21,yg xx y h xx 的图像,观察图像知选A.题组二：求零点个数3.(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____．【解析】由题意知,cos(3)06x π+=,所以362x k πππ+=+,k ∈Z ,所以93k x ππ=+,k ∈Z ,当0k =时,9x π=；当1k =时,49x π=； 当2k =时,79x π=,均满足题意,所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．4.(2019全国Ⅲ理11改编)关于函数在有_______个零点.【解析】()()sin sin sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=,则函数()f x 是偶函数,()sin |||sin |f x x x =+[,]-ππ()0,()sin sin 2sin x f x x x x π≤≤=-+-=当,由()0f x =得2sin 0x =,得0x =或x π=,由()f x 是偶函数,得在[),0π-上还有一个零点x π=-,即函数()f x 在[],ππ-上有3个零点5．(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于________.【解析】图像法求解．的对称中心是(1,0)也是的中心,他们的图像在1x =的左侧有4个交点,则1x =右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为,则,所以选D()()()20,,-3+2=f x f x f x 2xcos 1x 12x 1x 1π⎧-≤≤⎪⎨⎪-⎩=6.已知函数的实根的个数是___.，★则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2fx f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f 2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时,＞，数π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨∈-⎩=->⎪11y x =-2sin (24)y x x π=-≤≤24x -≤≤1,2345678,,,,,,x x x x x x x x 182736452x x x x x x x x +=+=+=+=()2=1cos111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===±()2=212,3f x x x 时，所以-==±()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程题组三：根据零点个数求参数7.(2018全国卷Ⅰ)已知函数()⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,x x x e x f x ,()()a x x f x g ++=．若()x g 存在2个零点,则a 的取值X 围是( )A ．[–1,0)B ．[0,+∞)C ．[–1,+∞)D ．[1,+∞)【解析】函数()()=++g x f x x a 存在,2个零点,即关于x 的方程()=--f x x a 有2,个不同的实根,即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点,作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象,如图所示,由图可知,1-≤a ,解得1≥a ,故选C ．★8．(2017新课标Ⅲ)已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1xy–1–2123–1–2123O【解析】令()0f x =,则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解,设2()2h x x x =-+,11()x x g x ee --+=+,则()h x 与()g x 有唯一交点,又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥,当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤,此时1x =时取得最大值1,()()ag x h x =有唯一的交点,则12a =．选C ．9. 已知函数()f x =3231axx -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x ＞0,则a 的取值X 围为A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)【解析】303a f x 当时，有两个零点不合题意， /2/1222033=00,,af x ax x a xf x x x aa当时，-6，令得 20,0,20,a f x aa若时，则可判断在和单调递增，在单调递减，01,,0.f xf f x 极大值在必有一个零点，与题意矛盾20,0,20,a f x aa若时，则可判断在和单调递减，在单调递增，02241,f xff x R aa极小值要使在有唯一一个零点x ， 22410,2,f xfa B a a 极小值只需解得故选★10.(2019全国Ⅲ理12节选)设函数,已知在[]π20，有且仅有5个零点．的取值X 围是____________.【解析】当时,,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,因为()f x 在[]02π，有且仅有5个零点,所以52+65πππωπ≤<,所以1229510ω≤<,11．(2010新课标)已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a = ()f b =()f c ,则abc 的取值X 围是A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)()sin()(0)5f x x πωω=+>()f x ω[0,2]x ∈π【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设a b c <<,因为()()()f a f b f c ==,所以1ab =,c 的取值X 围是(10,12),所以abc 的取值X 围是(10,12)．题组四：大题中的零点问题12.(2019全国Ⅱ理20(1))已知函数,讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点；【解析】f (x )的定义域为(0,1)(1,)+∞.因为211()0(1)f x x x '=+>-,所以()f x 在(0,1),(1,+∞)单调递增． 因为f (e)=e 110e 1+-<-,22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--, 所以f (x )在(1,+∞)有唯一零点x 1,即f (x 1)=0．又1101x <<,1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-, 故f (x )在(0,1)有唯一零点11x ．综上,f (x )有且仅有两个零点．1()1x f x lnx x +=--()f x ()f x13．(2016年全国Ⅲ)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点．(I)求a 的取值X 围；【解析】Ⅰ)．(i)设,则,只有一个零点．(ii)设,则当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,则 ,故存在两个零点． (iii)设,由得或．若,则,故当时,, 因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．若,则,故当时,； 当时,．因此在上单调递减,在上单调递增．又当时,,'()(1)2(1)(1)(2)xxf x x e a x x e a =-+-=-+0a =()(2)xf x x e =-()f x 0a >(,1)x ∈-∞'()0f x <(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,1)-∞(1,)+∞(1)f e =-(2)f a =b 0b <ln2a b <223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->()f x 0a <'()0f x =1x =ln(2)x a =-2ea ≥-ln(2)1a -≤(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (1,)+∞1x ≤()0f x <()f x 2ea <-ln(2)1a ->(1,ln(2))x a ∈-'()0f x <(ln(2),)x a ∈-+∞'()0f x >()f x (1,ln(2))a -(ln(2),)a -+∞1x ≤()0f x <所以不存在两个零点．综上,的取值X 围为．14．(2017新课标Ⅲ)已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值X 围．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+,(Ⅰ)若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． (Ⅰ)若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增．(2)(Ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点． (Ⅰ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+． ①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a-+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时,11ln 0a a-+<,即(ln )0f a -<． ()f x a (0,)+∞又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-, 则00000000()e (e 2)e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点． 综上,a 的取值X 围为(0,1)．15.(2019全国Ⅰ理20(2))已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：()f x 有且仅有2个零点．【解析】()f x 的定义域为(1,)-+∞.(i)当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.(ii)当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >. 从而()f x 在0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦π没有零点. (iii)当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. (iv)当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点.。
专题3 函数的零点问题(精讲深剖) 2021年高考数学高频考点全突
专题3 函数的零点问题（精讲深剖） 2021年高考数学高频考点全突专题3函数的零点问题（精讲深剖）-2021年高考数学高频考点全突-----------阐述深剖面函数零点和方程根的方法灵活、全面。
这也是高考的一个热点。
它经常给人们带来“不知道庐山真容”的困惑，并对其问题进行归纳、分类和分析。
这类问题不仅注重函数方程的检验、变换与变换、分类与讨论，而且在检验函数零点方程根的基础上，数形结合的思维方法体现了对数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象、数学抽象，逻辑推理、数学建模、数学运算和直觉想象。
本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。
希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。
? x2？2ax？a、一,。
[2022天津高考理科试题14]知道a吗？0，函数f（x）？？2.十、2ax？2a，x？0，x？0.如果关闭于x的方程f(x)?ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是__________.【答案】(4,8)【点评】本课题是分段函数的零点问题。
首先，对分段函数条件进行分类和求解，即当x？当0时，得到：x2？2ax？A.斧头，?x2?,x?0?x2x2?x?1,将零点个数问,同理可得：a?,此时建立函数g(x)??2然后分离变量得：a??x?1x?2?x,x?0??x?2题，转化为函数图像（借助对勾函数和图像平移）的交点问题解决。
同时，绘制功能图，如图所示，并调查临界条件，结合a?0，y?a观察可得,实数a的取值范围是(4,8)。
【点评】：首先根据分段函数条件分类解决问题，即当x？当0时，得到：x2？2ax？A.Ax，然后分离变量：x2x2a??,化为函数g(x)??，运用导数研究函数，将零点个数问题转化为函数图像的交点问题决。