大学物理(下册) 12.5麦克斯韦气体分子速率分布律
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Maxwell首先从理论上导出了在
f (v) dN Ndv
f (v)
平衡态下，当气体分子间相互作
用忽略不计时，气体分子按速率
的分布规律：平衡态，分子间作 o 用忽略时，分布在 v v dv
v
内的分子数dN占总分子数N的比
率是：
dN f (v)dv 4π(
m0
)3
2
e
m0 v2 2kT
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数；
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比；
区间的分
12.5.2 麦克斯韦气体分子速率分布律
速率分布函数：f (v) lim N 1 lim N 1 dN (1) v0 Nv N v0 v N dv
总之：三种统计速率各自对应不同的物理意义，拥 有不同的用途。他们都具有统计平均意义，反映的 是大量分子作热运动的统计规律性。
12.5 麦克斯韦气体分子速率分布律 12.5.1 测定气体分子速率的实验
实验验证：大量分子的速率分布遵从一定的统计规 律 —— 分子速率分布规律； 接抽气泵
实验装置
2
l v vl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Hg
金属蒸汽 狭 缝
真空
显 示
屏
l
实验验证：大量分子的速率分布遵从一定的规律,即 分子速率分布规律；
(6)
vrms
v2
3kT
m0
3RT M
(7)
4. 关于三种统计速率的讨论
vp v v2
(8)
vrms
v2
3kT m0
3RT M
v= 8kT 1.60 kT 1.60 RT
m0
m0
M
(9)
vp
2kT m0
三者用途：
2RT M
A.讨论速率分布用最概然速率；
v2dv
(6)
N
2πkT
麦氏分布函数：
f (v) 4π(
m0
) e v 3 2
m0v2 2kT
2
(7)
2πkT
其中：
1. 麦氏分布函数：
f (v) 4π(
m0
) e v 3 2
m0v2 2 kT
2
(7)
2πkT
2. N表示气体总分子数；
3. dN表示速率分布在 v v dv 内的分子数；
dN
4. N 表示速率限制在 v v dv 间分子数
占总分子数的比率；反映理想气体在热动平衡条件 下，各速率区间分子数占总分子数百分比规律 ；
12.5.3理想气体的三种统计速率
f (v)
由Maxwell 分布曲线看出：
f max
a.速率较小的分子数非常少， 而速率很大的分子数也较少；
o vp v
f (v)
速率位于v v dv 内分子数：
dN Nf (v)dv
(3)
o
速率位于 v1 v2 区间的分子数：
S
v1 v2 v
N
v2
v1
N
f
(v)dv
(4)
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比：
S
N (v1 N
v2 )
v2
v1
f
(v)dv
(5)
麦克斯韦气体分子速率分布律：
B.讨论分子自由程用平均速率；
C.讨论分子平均平动动能用方均根速率；
vp
2kT m0
v 8kT πm0
v2 3kT m0
f (v)
T1 300K
f (v)
T2 1200K
O2
H2
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温度下 的速率分布
o vp0 vpH
v
同一温度下不同气体 的速率分布
相关实验：
1.1859年Maxwell首先理论导出分布律；
2.1920年O.Stern首次实验验证（早期、定性实验）。 后人对此实验作改进，物理学家葛正权有贡献。
3.1955年Miller、Pkusch对麦氏分布律作高精度实验 验证。Langmuir实验：定量研究分布律著名实验。
总之：实验验证了，大量气体分子速率分布规律的正 确性，既气体分子速率分布遵从一定的规律——分子 速率分布规律；
的平均速率，表示为 v ，于是有：
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
N
N
vf (v)dv
8kT
0
πm
(3)
v 1.60 kT 1.60 RT
m0
M
(4)
3. 方均根速率
N v2dN v2 Nf (v)dv
v2 0
0
(5)
N
N
v2 3kT m0
f (v)
物理意义：表示在温度为 T 的
平衡状态下，速率在 v 附近单
dS
位速率区间的分子数占总数的
百分比；
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
表示速率在 v v dv区间的
分子数占总分子数的百分比；
归一化条件：
N dN
f (v)dv 1
0N
0
(2)
b.有一峰值，在该特定速率附近分子数最多；
1.最概然速率：
df (v) dv
vvp
0
vp
2kT 1.41 kT
m0
m0
(1)
M m0NA , R NA k vp 1.41
RT M
(2)
物理意义：气体在一定温度下分布在最概然速率
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 。
2.平均速率 平均速率：大量分子的速率之算术平均值称为分子
f (v) dN Ndv
f (v)
平衡态下，当气体分子间相互作
用忽略不计时，气体分子按速率
的分布规律：平衡态，分子间作 o 用忽略时，分布在 v v dv
v
内的分子数dN占总分子数N的比
率是：
dN f (v)dv 4π(
m0
)3
2
e
m0 v2 2kT
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数；
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比；
区间的分
12.5.2 麦克斯韦气体分子速率分布律
速率分布函数：f (v) lim N 1 lim N 1 dN (1) v0 Nv N v0 v N dv
总之：三种统计速率各自对应不同的物理意义，拥 有不同的用途。他们都具有统计平均意义，反映的 是大量分子作热运动的统计规律性。
12.5 麦克斯韦气体分子速率分布律 12.5.1 测定气体分子速率的实验
实验验证：大量分子的速率分布遵从一定的统计规 律 —— 分子速率分布规律； 接抽气泵
实验装置
2
l v vl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Hg
金属蒸汽 狭 缝
真空
显 示
屏
l
实验验证：大量分子的速率分布遵从一定的规律,即 分子速率分布规律；
(6)
vrms
v2
3kT
m0
3RT M
(7)
4. 关于三种统计速率的讨论
vp v v2
(8)
vrms
v2
3kT m0
3RT M
v= 8kT 1.60 kT 1.60 RT
m0
m0
M
(9)
vp
2kT m0
三者用途：
2RT M
A.讨论速率分布用最概然速率；
v2dv
(6)
N
2πkT
麦氏分布函数：
f (v) 4π(
m0
) e v 3 2
m0v2 2kT
2
(7)
2πkT
其中：
1. 麦氏分布函数：
f (v) 4π(
m0
) e v 3 2
m0v2 2 kT
2
(7)
2πkT
2. N表示气体总分子数；
3. dN表示速率分布在 v v dv 内的分子数；
dN
4. N 表示速率限制在 v v dv 间分子数
占总分子数的比率；反映理想气体在热动平衡条件 下，各速率区间分子数占总分子数百分比规律 ；
12.5.3理想气体的三种统计速率
f (v)
由Maxwell 分布曲线看出：
f max
a.速率较小的分子数非常少， 而速率很大的分子数也较少；
o vp v
f (v)
速率位于v v dv 内分子数：
dN Nf (v)dv
(3)
o
速率位于 v1 v2 区间的分子数：
S
v1 v2 v
N
v2
v1
N
f
(v)dv
(4)
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比：
S
N (v1 N
v2 )
v2
v1
f
(v)dv
(5)
麦克斯韦气体分子速率分布律：
B.讨论分子自由程用平均速率；
C.讨论分子平均平动动能用方均根速率；
vp
2kT m0
v 8kT πm0
v2 3kT m0
f (v)
T1 300K
f (v)
T2 1200K
O2
H2
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温度下 的速率分布
o vp0 vpH
v
同一温度下不同气体 的速率分布
相关实验：
1.1859年Maxwell首先理论导出分布律；
2.1920年O.Stern首次实验验证（早期、定性实验）。 后人对此实验作改进，物理学家葛正权有贡献。
3.1955年Miller、Pkusch对麦氏分布律作高精度实验 验证。Langmuir实验：定量研究分布律著名实验。
总之：实验验证了，大量气体分子速率分布规律的正 确性，既气体分子速率分布遵从一定的规律——分子 速率分布规律；
的平均速率，表示为 v ，于是有：
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
N
N
vf (v)dv
8kT
0
πm
(3)
v 1.60 kT 1.60 RT
m0
M
(4)
3. 方均根速率
N v2dN v2 Nf (v)dv
v2 0
0
(5)
N
N
v2 3kT m0
f (v)
物理意义：表示在温度为 T 的
平衡状态下，速率在 v 附近单
dS
位速率区间的分子数占总数的
百分比；
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
表示速率在 v v dv区间的
分子数占总分子数的百分比；
归一化条件：
N dN
f (v)dv 1
0N
0
(2)
b.有一峰值，在该特定速率附近分子数最多；
1.最概然速率：
df (v) dv
vvp
0
vp
2kT 1.41 kT
m0
m0
(1)
M m0NA , R NA k vp 1.41
RT M
(2)
物理意义：气体在一定温度下分布在最概然速率
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 。
2.平均速率 平均速率：大量分子的速率之算术平均值称为分子