河南省开封市(新版)2024高考数学人教版测试(综合卷)完整试卷

河南省开封市（新版）2024高考数学人教版测试(综合卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
如图，在四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的表面积为
（）
A
．B．C．D．
第(2)题
在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（）
A．B．C
．2D．
第(3)题
若正数满足，则的最小值是（）
A．B．C．D．
第(4)题
设等差数列的前项和为，若，则（）
A．B．C．5D．7
第(5)题
设函数，若，满足不等式，则当时，
的最大值为
A．B．C．D．
第(6)题
已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，且的内心坐标为
，若线段上靠近点的三等分点恰好在上，则的离心率为（）
A．B．C．D．
第(7)题
已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的
表面上，则该球的表面积为（）
A
．B．C．D．
第(8)题
将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使得不等式对任意
恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）
A ．函数在上满足阶李普希兹条件.
B．若函数在上满足一阶李普希兹条件，则的最小值为2.
C．若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方
程在区间上的唯一解.
D ．若函数
在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存
在
，使得
.
第(2)题
已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A ．的最小值为B
．的最小值为2
C
．
的最小值为
D ．
的最大值为1
第(3)题
已知
为偶函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为
，的最小
值为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ）
A
．B
．函数在上单调递减C ．是函数
图象的一个对称中心
D
．若方程
在
上有两个不等实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在
第5次集齐3种玩偶的概率为__________.
第(2)题
抛物线
的准线方程是___________________.
第(3)题
已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,
，则圆台甲与乙的体积之比
为______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
如图1，在矩形中，
，延长
到点，且．现将沿着折起，到达的位
置，使得
，如图2所示．过棱的中点作于点．
(1)若
，求线段的长；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求的值．
第(2)题
已知函数，其中
.
(1)当时，，求的取值范围.(2)若，证明：
有三个零点，，（
），且，，成等比数列.
(3)证明：
（
）.
第(3)题
已知数列的各项均为正数且，数列是公差为的等差数列，且，设的前项和为，满足
．
(1)求的通项公式；
(2)若在与之间插入一个数，使，，成等差数列，在与之间插入两个数，，使，，，成等差数列，
…，在与之间插入个数，使其构成等差数列，将插入的数字按从大到小的顺序排成一列即，，，…，，…，求
，，，…，的平均值．
第(4)题
已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限．
(1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离；
(3)若，求与的面积之比．
第(5)题
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点在底面圆周上，为垂足.
(1)求证：.
(2)当直线与平面所成角的正切值为2时，
①求平面与平面夹角的余弦值；
②求点到平面的距离.。