衡水中学2022年高考数学复习分项汇编 专题08 数列【文科】(原卷版+解析版)

专题08 数列
一、单选题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】若各项均为正数的数列{}n a 满足1154,256n n a a a a +==
，则使得不等式
(
)
41331n n a <+成立的最大正整数n 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
12
1a a +=，2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为（ ） A ．6
B ．-2
C ．-2或6
D ．2或6
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，
*1
(1),N 2
n n n n S a n =--∈，则12100S S S ++
+=（ ）
A ．100
11132⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
B ．98
11132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
C ．50
11132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．49
11132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则
3
6
3S S = A ．
134
B ．
1312
C ．
94
D ．
1112
5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-.若2020m a =，则m =（ ）
A ．671
B ．672
C ．2013
D ．2014
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ）
A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
三、填空题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________.
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______.
四、解答题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知数列{}n a 是递增的等差数列，112
a =，且满足4a 是2a 与8a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数. （1）证明：S n +1＝2S n +λ；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________， （1）判断123,,S S S 的关系并给出证明. （2）若133a a -=，设12
n n n b a =
，{}n b 的前n 项和为n T ，证明4
3n T <.
甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213S a =，且23464a a a =.
（1）求n a 及n S ；
（2）记()2
2(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =， 981S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12201711
1
12
2017
S S S +++
+++的值.
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列{}n a 中，11a =，()*13
n
n n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足的()312n
n n n n b a =-⋅
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112
n
n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()2125log 1,,
,,
n n n a n b a n +⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
专题08 数列
一、单选题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】若各项均为正数的数列{}n a 满足1154,256n n a a a a +==
，则使得不等式
(
)
41331n n a <+成立的最大正整数n 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】各项均为正数的数列{}n a 满足14n n a a +=，可得1
4n n
a a +=， 则数列{}n a 是公比为4的等比数列， 又15256a a =，∴241256a q =，即11a =， ∴11
24(2)n n n a --==
12
n -
，
由不等式4133(1n <成立，
得0
1
2
1
124133(12222)133(1)133212
n
n
n n --<++++⋯+=+
=⨯-， 821332n ∴<<，即8n <，可得最大正整数n 的值为7．
故选：C ．
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
121a a +=，2
a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为（ ） A ．6 B ．-2 C ．-2或6 D ．2或6
【答案】C 【解析】
设{}n a 公差为d ，则由2
122414a a a a ⎧+=⎨+=⎩得()()()2111
11
34a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，
解得101a d =⎧⎨=⎩或18
5a d =-⎧⎨=⎩
，
10,1a d ==时，401236S =+++=， 18,5a d =-=时，48(3)272S =-+-++=-．
故选：C ．
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，
*1
(1),N 2
n n n n S a n =--∈，
则12100S S S ++
+=（ ）
A ．100
11132⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
B ．98
11132⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
C ．50
11132⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
D ．49
11132⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 由*1
(1),2
n n a n S a n =--
∈N ， 当1n =时，1112
S a =--，得114
a =-；
当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=--
--+n
n n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n n
n n n n
a a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11
(2)2n n a n -=-
≥，所以112
n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，111111
12(2)2222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12
n n a =（n 为正偶数），
所以122211,22a a -=
=，所以4123424
1111
2,,2222a a a a -+=⨯=-==， 所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯
=⋯-==，所以991001009911
222
a a -+=⨯=. 因为123100S S S S +++
+()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-++
+-+-2
1001112
22⎛⎫+
++
⎪⎝⎭
35
9911112222=
++++
210011122
2⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭5010011
111124221
1114
2
⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 故选：A
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则
3
6
3S S = A ．
134
B ．
1312
C ．
94
D ．
1112
【答案】C 【解析】
258,2,3a a a 成等差数列，52843a a a ∴=+，即476311143,3410a q a q a q q q =+-+=，解得31
3
q =
或31q =（舍
去），
()
()
3
136
611133139
1314119
1a q S q
S a q q
-⎛⎫
⨯
- ⎪
-⎝⎭===---，故选C.
5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-.若2020m a =，则m =（ ）
A ．671
B ．672
C ．2013
D ．2014
【答案】B 【解析】 设公差为d ，
由5211411
1214221
22322a a a d a d a a a d a =-+=+-⎧⎧⇒⎨⎨=++=+⎩⎩，
得137
d a =⎧⎨=⎩， 则由13(1)73(1)2020m a a m m =+-=+-=， 解得672m =. 故选：B.
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
【答案】C 【解析】
设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．
故选：C 二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为
n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ）
A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
【答案】BD 【解析】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22
171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤
--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎢⎥⎣⎦，
当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD. 三、填空题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，且52,9,a a 成等差数列，则-a b 的值为___________. 【答案】-2 【解析】
因为等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a b =+⋅，
当2n ≥时；()()111222n n n n n n a S S a b a b b ---=-=+⋅-+⋅=⋅； 当1n =时，01122a S a b b ==+=⋅， 所以0a b +=①， .又52,9,a a 成等差数列，
所以2518a a +=，即42218b b +⋅=② .由①②解得1,1a b =-=， 所以2a b -=-. 故答案为：-2
2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，
()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______. 【答案】21n - 【解析】
因为()*
211n n n S a a n +++=-∈N ，所以()*
1112,n n n S a a n n N
-++=-≥∈
两式相减，得212n n n n a a a a ++=-+，即212n n a a ++=， 又当1n =时，113211a S a a +=+=-，11a =，22a =， 所以34a =，满足322a a =，212a a =，
所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以1(12)
12n n S ⨯-==-21n -
故答案为：21n - 四、解答题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知数列{}n a 是递增的等差数列，11
2
a =，且满足4a 是2a 与8a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.
【答案】（1）2n n
a =；（2）
41
n n +. 【解析】
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得124281,
2,a a a a ⎧
=⎪⎨⎪=⎩即()()()121111,237.a a d a d a d ⎧=⎪⎨
⎪+=++⎩ 由于0d >，解得11,2
1.2a d ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以1(1)2n n
a a n d =+-=
.
（2）记数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，
由（1）知
114114(1)1n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 则1111
11441223
11
n n S n n n ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪++⎝⎭. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数. （1）证明：S n +1＝2S n +λ；
（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，λ＝1 【解析】
（1）证明：∵a n +1＝S n +1﹣S n ，22
11n n n S a S λ++=-，
∴2
211()n
n n n S S S S λ++=--， ∴S n +1（S n +1﹣2S n ﹣λ）＝0， ∴a n ＞0，∴S n +1＞0， ∴S n +1﹣2S n ﹣λ＝0； ∴S n +1 ＝ 2S n +λ
（2）解：∵S n +1＝2S n +λ，S n ＝2S n ﹣1+λ（n ≥2），
相减得：a n +1＝2a n （n ≥2），∴{a n }从第二项起成等比数列， ∵S 2＝2S 1+λ即a 2+a 1＝2a 1+λ， ∴a 2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，
∴a n ()2
11122n n n λ-=⎧=⎨+≥⎩
，，， 若使{a n }是等比数列
则2
132a a a =，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，
∴λ＝1经检验得符合题意.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知____________，
（1）判断123,,S S S 的关系并给出证明.
（2）若133a a -=，设12
n n n b a =，{}n b 的前n 项和为n T ，证明43n T <. 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）补充的条件为12
q =-， 123,,S S S 的关系为132,,S S S 成等差数列.
证明如下： 若12
q =-则11S a =， 2121111122
S a a a a a =+=-=， 31231111113244
S a a a a a a a =++=-+=， 可得1232S S S +=，因此132,,S S S 成等差数列.
（2）证明：由133a a -=，可得11134
a a -=， 解得1114,42n n a a -⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭ 1
1241212232n n n n n n n b a -⎛⎫==⨯-=⋅ ⎪⎝⎭， 则1232111112332222n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭， 2341121111123232222n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭
， 上面两式相减可得234111111211111121221232222
223212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++++-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 整理可得12242213232n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为*12N ,112n n n ++∈-<，所以43
n T <.
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213S a =，且23464a a a =.
（1）求n a 及n S ；
（2）记()2
2(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .
【答案】（1）12n n a -=，21n n S =-；（2）2
22n T n n =-.
【解析】
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q .
由213S a =，得211(1)3S a q a =+=，①
由23464a a a =，得2
314a a q ==，②
由①②解得11a =，2q ，
1112n n n a a q --∴==，12
2112n
n n S -==--.
（2）由（1）可得()()2
21
222(1)log (1)log 2(1)(1)n n n n n n b a n -=-⋅=-⋅=-⋅-，
设1n c n =-，则()2
(1)n n n b c =-⋅，
21234212n n n T b b b b b b -=++++⋯++
()()()()()()222222
1234212n n c c c c c c -⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+-+⎣⎦⎣⎦
()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-+++⋯+-++
1234212n n c c c c c c -=++++⋯++
22(021)
22n n n n +-==-.
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =， 981S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求1220171
11122017S S S ++++++
的值.
【答案】（1）21n a n =-（2）2017
2018
【解析】
(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由981S =，得5981a =，
则有59a =，所以51912514
a a d --===-，故()12121n a n n =+-=-()*n N ∈. (2)由(1)知，()213521n S n n =+++⋯+-=，则()111111
n S n n n n n ==-+++， 所以
12201711111111112201722320172018S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12017120182018
=-=. 6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n a a n N a +=
∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足的()312n n n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112
n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.
【答案】（1）231n n a =
-；（2）23λ-<<. 【解析】
（1）由()*13
n n n a a n N a +=∈+， 得13131n n n n
a a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列， 所以1113322n n
a -+=⨯，即231n n a =-. （2）12n n n
b -= ()01221
11111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222
n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:
012111111222222222
n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ∴1
242n n n T -+=-，
因为不等式()112n n n n T λ--<+
对一切*n N ∈恒成立， 所以()12142n n λ--<-
，对一切*n N ∈恒成立， 因为1
242n t -=-单调递增， 若n 为偶数，则1242
n λ-<-，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<； 若n 为奇数，则1242n λ--<-
，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>- 综上：23λ-<<.
7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()2125log 1,,,,
n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
【答案】（1）2n n a =；（2）2n S 12252n n n +=++-.
【解析】
解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2，
所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．
因为234,,4a a a -成等差数列，
所以1118284a a a =+-，
解得12a =，所以2n n a =．
（2）由（1
）可得51,,n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以()()21321242n n n S b b b b b b -=++
+++++ ()(616104)242n n =+++-++++ ()212(6104)212
n n n -+-=+- 21522n n n +=++-
12252n n n +=++-．。