长宁嘉定区2014年高三数学理科二模试卷

2013学年度上海市长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知i 为虚数单位，计算：
=-+i
i
23___________． 2．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2R ∈≤-=x x x B ，则=B A _______．
3．函数2
)cos (sin x x y +=的最小正周期是__________________． 4．8
)1)(1(+-x x 展开式中含5
x 项的系数是_________．
5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽 取__________人． 6．在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，则=⋅AC AB __________． 7．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)
1(log 11
1)(--=x x f a 的反函数)(1
x f
-的图像经
过的定点的坐标是______________．
8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,
21,)1(1,
10,)(2
x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．
9．已知点),4(m P 在曲线C ：⎩
⎨⎧==t y t x 4,
42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离
为_______________．
10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面
宽是____________米（精确到01.0米）． 11．设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：
x
1 2
)(x P =ξ
a
b
c
其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为
3
4
，则ξ的方差为___________． 12．若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 13．设⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x n x f n 2πsin )(（*N ∈n ），若△ABC 的内角A 满足 ++)()(21A f A f
0)(2014=+A f ，则=+A A cos sin ____________．
14．定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，
2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元
素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
++∞→n n a a a 1
11lim 21 ________________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数……（ ）
A ．1+=x y 的图像上
B ．x y 2=的图像上
C ．x
y 2=的图像上 D ．12
-=x y 的图像上
16．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ）
A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12
=x ，则1≠x ” B ．“1-=x ”是“022
=--x x ”的必要不充分条件
C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题是真命题
D ．“1t a n =x ”是“4
π
=
x ”的充分不必要条件
17．设1F 、2F 是双曲线C ：122
22=-b
y a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，
若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程
是………………………………………………………………………………………（ ）
A ．02=±
y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有
b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数 3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为……………………（ ）
A ．4027
B ．4027-
C ．8054
D ．8054-
开始
结束
1,1←←y x
5<x
输出),(y x y y x x 2,1←+←
否 是
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且2
4
1b ac =
． （1）当4
5
=
p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，
DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2
1
=
=． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；
（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆Γ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．
A B
C D P
Q
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，2
1n
n n c a b +=
+，2
1n n n b a c +=
+（*
N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式；
（2）求证：对任意*
N ∈n ，n n c b +为定值；
（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*
N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求
实数p 的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设a 是实数，函数|2|4)(a x f x
x
-+=（R ∈x ）． （1）求证：函数)(x f 不是奇函数；
（2）当0≤a 时，求满足2
)(a x f >的x 的取值范围； （3）求函数)(x f y =的值域（用a 表示）．
2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理）参考答案与评分标准
2014年4月
注：解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意．
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1．i +1 2．}1,0,1{- 3．π 4．14 5．8 6．16 7．)2,1( 8．π 9．5 10．66.5 11．9
5
12．]0,3[- 13．2 14．2
二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．D 16．C 17．B 18．D
三．解答题（共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）由正弦定理得，pb c a =+，所以4
5
=
+c a ， …………（2分） 又41=ac ，所以⎪⎩⎪⎨⎧==41,1c a 或⎪⎩⎪⎨
⎧
==.
1,
41c a …………（5分）（少一组解扣1分） （2）由余弦定理，B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22
2
2
2
--+=-+=，……（1分）
即)cos 1(212
2
22
B b b p b +-
=， …………（2分） 所以B p cos 2
1232
+=． …………（4分）
由B 是锐角，得)1,0(cos ∈B ，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,232
p ． …………（6分） 由题意知0>p ，所以⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,26p ． …………（7分）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分） 设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，
故),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=， ………………（3分） 因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，
即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分）
所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分） （2）因为⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量
为)1,0,0(1=n
， …………（1分） 点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，…………（2分） 设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅QC n
， 故⎩⎨
⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩
⎨⎧=+--=+-,0,
0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，
故)1,1,0(2=n
． ………………………（5分）
设1n 与2n 的夹角为θ，则222
1||||cos 2121=
=⋅=n n n n θ． ………………………（7分） 所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4
π
． ……………………（8分） 解法二：
（1）因为⊥CD 平面PDAQ ，所以PQ CD ⊥， ………………………………（1分） 作DP QE ⊥，E 为垂足，则四边形ADEQ 是正方形，设a AB =，则a DE =，a DQ 2=，
又a DP 2=，所以E 是AP 的中点，a EP =，所以a PA 2=
，
所以2
2
2
DP PQ DQ =+，所以PQ DQ ⊥． ………………………………（5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………………（6分） （2）连结CE ，由（1）知DP QE ⊥，又CD QE ⊥，所以⊥QE 平面DCP ，…（2分） 所以CE QE ⊥，所以CED ∠为所求二面角的平面角． ………………………（4分） 因为△CED 是等腰直角三角形，所以CED ∠4
π=
． ………………………（7分）
所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为
4
π
． …………………（8分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）由已知得22=c ，因为椭圆Γ过点)1,3(，所以⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+,8,1192222b a b a ………（2分）
解得⎪⎩⎪⎨⎧==.
4,1222b a …………………………………（5分）
所以，椭圆Γ的方程为14
122
2=+y x ． …………………………………（6分） （2）设直线l 的方程为m x y +=， …………………………………（1分）
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=,14
12,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① …………………………………（2分）
因为直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，所以△0)123(16362
2
>--=m m ，
所以162
<m ． ……………………………………………………………（3分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，所以2
321m
x x -=+， 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -
=+=
，4
00m
m x y =+=， …………（4分） 因为AB 是等腰三角形PAB 的底边，所以AB PE ⊥，向量PE 是直线l 的一个法向量， 所以PE ∥向量)1,1(-，即⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-
24,343m m ∥向量)1,1(-，
所以
24
343-=-m
m ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642
=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ．
又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离22
32
|223|=+--=d ， ………（7分）
所以△PAB 的面积2
9
||21=⋅=
d AB S ． ………………………………………（8分）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*
N ∈n ）， …………………（１分）
所以222421+=+=+=
+n n n n n c c c a b ，2221+=+=+n n n n b
b a
c ， )(2
1
)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++， …………………………………（2分）
即数列}{n n b c -是首项为2，公比为2
1
-的等比数列， …………………………（3分）
所以1
212-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⋅=-n n n b c ． ………………………………………………………（4分）
（2）解法一：4)(2
1
11++=
+++n n n n c b c b ， ……………………………………（1分） 因为811=+c b ，所以822=+c b ，833=+c b ，
猜测：8=+n n c b （*
N ∈n ）． ……………………………………………………（2分）
用数学归纳法证明：
①当1=n 时，811=+b a ，结论成立； ………………………………………（3分）
②假设当k n =（*
N ∈k ）时结论成立，即8=+k k c b ，那么当1+=k n 时，
84)(2
1
11=++=+++k k k k b a b a ，即1+=k n 时结论也成立． …………………（5分）
由①，②得，当*
N ∈n 时，8=+n n b a 恒成立，即n n b a +恒为定值．…………（6分）
解法二：4)(21
11++=
+++n n n n c b c b ， ……………………………………（1分） 所以)8(2
1
42811-+=-+=-+++n n n n n n c b c b c b ，………………………………（4分）
而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*
N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即
n n b a +恒为定值．………………………………………………………………………（6分）
（3）由（1）、（2）知⎪⎩
⎪⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1
212,8n n n n n b c c b ，所以1
214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…………（1分）
所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫
⎝⎛--+=n
n
n n n S 2113242112114，
所以⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=
-⋅n
n p n S p 21132)4(， …………………………………………（2分）
由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤
n
p ， 因为0211>⎪⎭
⎫
⎝⎛--n
，所以
n
n
p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--≤≤
⎪⎭⎫ ⎝⎛--21133
22111， ……………………（3分）
当n 为奇数时，
n n
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<
n
，
当n 为偶数时，
n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递减，且
12111
>⎪⎭
⎫ ⎝⎛--n
，
所以，
n
⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为
3
4，n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--2113的最小值为2． …………………（4分）
由
n
n
p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--≤≤
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--21133
22111
，得
23
234≤≤p ，解得32≤≤p ． …………（6分） 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）假设)(x f 是奇函数，那么对于一切R ∈x ，有)()(x f x f -=-，
从而)0()0(f f -=-，即0)0(=f ，但是0|1|1|2|4)0(0
≠-+=-+=a a f ，矛盾． 所以)(x f 不是奇函数．（也可用0)1()1(≠-+f f 等证明） …………………（4分）
（2）因为02>x ，04>x
，所以当0≤a 时，a x f x
x
-+=24)(，由2
)(a x f >，得
224a a x x >-+，即0)1(24>+-+a a x x ，0)12)(2(>++-a a x x ，…………（2分）
因为02>-a x ，所以012>++a x
，即)1(2+->a x
． ………………………（3分）
①当01≥+a ，即01≤≤-a 时，)1(2+->a x
恒成立，故x 的取值范围是R ；（4分） ②当01<+a ，即1-<a 时，由)1(2+->a x
，得)]1([log 2+->a x ，故x 的取值范围是
),)]1([(log 2∞++-a ． …………………………………………………（6分）
（3）令x
t 2=，则0>t ，原函数变成||2
a t t y -+=．
①若0≤a ，则a t t y -+=2
在),0(∞+∈t 上是增函数，值域为),(∞+-a ．…（2分）
②若0>a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<+-=.
,,
0,22a t a t t a t a t t y ………………………………………（3分）
对于a t ≤<0，有41212
-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=a t y ，当210<<a 时，y 是关于t 的减函数，y 的取值
范围是),[2
a a ；当21≥
a 时，41min -=a y ，当121<≤a 时，y 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣
⎡
-a a ,41，
当1≥a 时，y 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
2,41a a ． …………………………………………（5分) 对于a t >，有a t t y -+=2
4121--⎪⎭
⎫
⎝⎛+=a t a
是关于t 的增函数，
其取值范围),(2
∞+a ． ……………………………………………（7分） 综上，当0≤a 时，函数)(x f y =的值域是),(∞+-a ； 当2
10<<a 时，函数)(x f y =的值域是),[2
∞+a ； 当21≥a 时，函数)(x f y =的值域是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+-,41a ． ………………………………（8分）。